5.3正方形 自主达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力进阶、综合拓展三层设计，覆盖正方形定义判定、性质应用及综合探究，适配新授课知识内化与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正方形定义、性质（边、角、对角线）|单选1-4直接考查判定条件与简单性质，填空9-12聚焦基础计算，培养几何直观| |进阶层|性质综合应用（旋转、全等、勾股定理）|单选5-8结合图形变换，填空13-16融入坐标系与最值问题，发展推理能力| |拓展层|动态问题与综合证明|解答题17-24含多问探究（如24题问题情境-尝试探究-拓展延伸），强化空间观念与创新意识|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．在四边形中，，再添加下面一个条件，能使该四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为144，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，以对角线为边在右侧作菱形，点、分别在、的延长线上，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接，交边于点．点为的中点，连接并延长交于点．若时，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 8．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是________． 10．如图，点E是正方形内部一点，连接，，若，，则的度数为_____． 11．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 12．正方形边长为，在边上，在边上，．则的最小值为___________． 13．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_______． 14．如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若正方形的面积为6，，则的长为__________． 15．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 16．如图，点P是正方形的对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论： ①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤．其中正确的结论是 _______ （填序号）． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长． 18．（6分）如图，四边形是正方形，点E是边上一点，且，且交正方形外角平分线于点F．求证：． 19．（9分）如图，正方形的边长为1，、分别为边、上的点，的周长为2，连接．求证： (1)； (2)． 20．（9分）如图，在正方形中，点，（不在正方形的顶点上）分别在，上，，连接． (1)求证：． (2)已知分别是的高线和的中线，若，求的度数． 21．（10分）如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 22．（10分）如图①，以的边为边，向外作正方形，过点A作于点M，过点E作交的延长线于点P． (1)求证：； (2)如图②，若，以为边向外作正方形，连接交于点N．求证：． 23．（10分）在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F．求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G． ①求证：． ②连接，若，求的长． 24．（12分）【问题情境】正方形是我们熟悉的几何图形，八年级一班小明同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下的探究：如图①，已知正方形的对角线，相交于点O，E是上一点，连接，过点A作，垂足为M，交于点F． （1）求证：； 【尝试探究】（2）如图②，若点E在的延长线上，交的延长线于点 M，交的延长线于点 F，其他条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）若，点E在线段上(不与端点A，C重合)运动，请你直接写出 的最小值． 参考答案 1．C 【分析】本题考查了正方形的判定，由可推知四边形为矩形，要使矩形成为正方形，需添加邻边相等或对角形互相垂直的条件，逐项判断，即可求解． 【详解】解：， ， ∴ 四边形是矩形． 当添加时，矩形中邻边相等， ∴ 四边形是正方形． 故选项C符合题意； 选项A：为矩形对边相等，总是成立，无法判断四边形是正方形； 选项B：为矩形对角线相等，总是成立，无法判断四边形是正方形； 选项D：已隐含，无法判断四边形是正方形； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出是解答的关键． 由旋转性质得，再根据全等三角形的性质得到，进而求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 故选：B． 3．A 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点顺时针旋转至，证明，得到，利用三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，    ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了正方形、菱形的性质和等腰直角三角形的判定和性质，掌握以上图形的性质是解决本题的关键． 根据题意可证是等腰直角三角形，则即可求出的度数，再根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， 故选C． 5．C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据正方形的性质得出直角，确定旋转角度，根据旋转的性质得出为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 根据旋转的性质得，旋转角为，即， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 连接，，，先证明，得到直线是线段的垂直平分线，设，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 设， ∵，， ∴，，， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴，，，，， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据四边形是正方形，得到，即可判断；根据已知条件求出，得到，即可判断；连接，交于点，证明，则，，根据勾股定理求出即可判断；根据三角形面积的关系计算，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； 如图，连接，交于点， ∵四边形和是正方形， ∴，，，，，， ∴，即 ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵，， ∴，故错误； 综上可知：正确的是，共2个， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．64 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：64 11． 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是证明 过点A，B，作轴，轴于点D，E，证明 ，根据勾股定理得，，进而可得A点坐标． 【详解】解：如图，过点A，B，作轴，轴于点D，E， ， 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形， ，， ， ， ，， 点横坐标为， ， ， 点坐标为， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．掌握“将军饮马”模型，理解当，，三点共线时，取得最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，，得到，， 再利用“”证明得到，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，则，， 四边形是正方形， ，， 又 ， ， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ，，， ， 的最小值为， 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接、，先证明，然后利用勾股定理分别求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， ∵，， ，， 在中，， 是的中点， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质,掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 由题意可证明，即可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由全等三角形的性质得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，且面积为6， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 16．①② 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 作，垂足为点N，延长，交于点M，连接，根据矩形的性质证明即可判断①和④；再根据三角形内角和定理即可判断②；在根据点P的任意性可以判定③和⑤． 【详解】解：过点P作，垂足为点N，延长，交于点M，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴共线， ∵ ∴四边形，都是矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， 四边形为矩形， ∴， ∴，故①正确； 在与中 则， ∴， ∵ ∴，故④错误； 与中，，， ∴ ∴，故②正确； P是上任意一点，因而不一定是等腰三角形，故③错误； ∵在中，， 在矩形中，， ∴，故⑤错误； 故答案为：①②． 17． 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理． 由正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，从而可证明，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴在中，． 18．见解析 【分析】在上取点P，使，连接，利用正方形的性质构造三角形全等即可证明． 【详解】证明：在上取点P，使，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ，， 是正方形外角的平分线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】对于本题，重点掌握截长补短法证明全等三角形． （1）延长至点，使，连结、，先证明，再根据全等三角形的性质进行线段的转化证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：如答图，延长至点，使，连结、． ∵四边形是正方形， ，， ． 在和中， ， ， 设，，则，． 的周长为， ， ， ． （2）解：由（1）得． 在和中， ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质得到，据此利用可证明结论； （2）由三角形的高线的定义和直角三角形的两锐角互余求出的度数，由全等三角形的性质得到的度数，再由直角三角形的性质得到，据此由等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是的高线， ∴，即 ． ∵， ． 是斜边上的中线， ， ． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作 交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：如图②，连接，，． 正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点， ，． 垂直平分， ， ， ． ， ， ， ， ． 由（1），知， ， ． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点G作于点H．同（1）方法证明，，得到，再证明可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，， ，， ， ． ， ， ； （2）如答图，过点G作于点H． 由（1）同理，得，， ，， ． ，， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质，找到全等三角形或添加辅助线构造全等三角形证明线段相等是解答的关键． 23．(1)证明见解析 (2)证明见解析； 的长为2 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）由正方形的性质可得，，再由，利用同角的余角相等判断出，即可证明； （2）同（1）的方法判断出，即可得出结论；②利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，M是的中点， ∴， 由可知， ∴，即的长为2． 24．（1）见解析；（2）成立，见解析；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得、，结合，利用的判定方法证得，从而得出结论； （2）易得、，结合，利用的判定方法证得，从而得出结论； （3）易得，利用的判定方法证得，进而得到是直角三角形，取中点H，连接、、，根据直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，最后利用三角形三边关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，相交于点O， 、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：结论“”成立，理由如下： 正方形的对角线，相交于点O， 、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图： 当点E在线段上时，同（1）可得， 在正方形中，、， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 取中点H，连接、、， 、， 在中，根据三边关系可得， 的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $