5.3 正方形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 5.3正 第1课时 正 白基础进阶 1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD 相交于点O.有下列条件：①∠BAO十 ∠ABO=90°；②∠BAO=∠ABO;③AB= BC;④AC=2OD.其中，能使菱形ABCD为 正方形的是 ( A.①③ B.②③ C.②④ D.①②③ (第1题) (第3题) 2.在四边形ABCD中，∠A=90°，AB∥CD, ∠B=∠D.如果添加一个条件，即可推出该 四边形是正方形，那么这个条件可以是 A.∠D=90° B.AB=CD C.BC=CD D.AC=BD 3.如图所示为一张矩形纸片ABCD,小明把矩 形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使 AB与边AD上的AF重合，则四边形ABEF 就是一个正方形，他的判定依据是 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,点E,F在对角线BD上，且BE DF,OE=OA.求证：四边形AECF是正 方形 (第4题) 94 方形 方形的判定 >“答案与解析”见P42 幻素能攀升 5.如图，一个四边形添加条件后可以得到正方 形，数学课上老师给出了下列四个条件：a: 两组对边分别相等；b:一组对边平行且相等； c:一组邻边相等；d:一个角是直角.有三名同 学给出了不同的组合方案：①a,c,d; ②b,c,d;③a,b,c.其中，能得到正方形的是 () A.① B.③ C.①②D.②③ 0 添加条件 四边形 正方形 (第5题) (第6题) 6.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,E,F分 别是AD,BC的中点，连结AF与BE,CE与 DF分别交于点M,N,连结EF,则图中正方 形的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D,E 分别在边AB,AC上，连结CD,BE,DE, 分别取DE,BE,BC,CD的中点F,G,H,I, 则要使四边形FGHI是正方形，需满足的条 件是 ) G H (第7题) A.CD=BE B.CD⊥BE C.BD=CE D.AB=AC 8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC DC,AC,BD相交于点O.关于四边形ABCD 的形状，甲、乙、丙三名同学的说法如下！ 甲：若添加“AB∥CD”,则四边形ABCD是 菱形； 乙：若添加“∠BAD=90”,则四边形ABCD 是矩形； 丙：若添加“∠ABC=∠BCD=90°”，则四边 形ABCD是正方形， 其中，说法正确的同学是 D (第8题) 9.新考法·探究题如图，在□ABCD中，分别延 长BA,DC到点E,H,使得BE=2AB, DH=2CD,连结EH,分别交AD,BC于点 F,G,连结BD,交EH于点O. (1)求证：AF=CG. (2)若EH⊥BD,则当AB与AD满足什么 数量关系时，四边形BEDH是正方形？请说 明理由， (第9题 第5章特殊平行四边形 份思维拓展 0.*(1)如图①，在△ABC中 ∠BAC=45°，AB=AC,AD⊥BC 于点D,将△ABC沿AD剪开，并 分别以AB,AC所在直线为轴翻转，E,F 是点D的对应点，得到△ABE和△ACF (均与△ABC在同一平面内)，延长EB, FC相交于点G.求证：四边形AEGF是正 方形. (2)如图②，如果(1)中AB≠AC,其他条 件不变，那么四边形AEGF是否仍为正方 形？请说明理由 (3)在(2)中，若BD=2,CD=3,求AD的长， D B G G ① (第10题) 95 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 第2课时正 自基础进阶 1.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形 CDE,连结AE,BE,则∠AEB的度数是 ( A.45°B.30° C.22.5°D.15° D (第1题) (第2题) 2.如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一 点，PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线 AB的距离为 3.如图，正方形ABCD的边长为 1,连结AC,BD,CE平分 ∠ACD,交BD于点E,则BL DE= (第3题) 4.如图，正方形ABCD的边长为1，连结AC, 点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°且 AE=AF,FM⊥AC于点M. (1)求证：BE=FM. (2)求BE的长. (第4题) 96 方形的性质 >“答案与解析”见P43 幻素能攀升 5.如图，P为AB上任意一点，分别以AP,PB 为边在AB同侧作正方形APCD和正方形 PBEF.设∠CBE=a,则∠AFP为() A.2a B.90°-a C.45°+a D.90°- 20 (第5题) (第6题) 6.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE,过点D作DF⊥DE,交BC的延 长线于点F,连结EF.若AE=1,则EF的 长为 () A.3 B.√10 C.23 D.4 7.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,M是边AD上一点，连结OM,过点 O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形 MOND的面积是1，则AB的长为() A.1 B.√2 C.2 D.22 D (第7题) (第8题) 8.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三 角形AEF的顶点E,F分别在边BC,CD上 给出下列结论：①CE=CF;②∠AEB=75°； ③S正形ABD=2十3.其中，正确的是（) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 9.如图，在边长为2√2的正方形 ABCD中，E,F分别是边AB,BC 的中点，连结CE,DF,G,H分别是 CE,DF的中点，连结GH,则GH的长为 G/ B (第9题) 10.如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD 上一点（不与点B,D重合），GE⊥CD, GF⊥BC,垂足分别为E,F,连结EF,AG, 延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明 理由， H (第10题) 第5章特殊平行四边形 的思维拓展 1.新考法·探究题如图①，在正方形 ABCD中，E,F分别是边BC,AB 上的点，且CE=BF.连结DE,过 点E作EG⊥DE,使EG=DE,连结 FG,FC. (1)请判断：FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 (2)如图②，若E,F分别是正方形ABCD 的边CB,BA延长线上的点，其他条件不 变，(1)中的结论是否仍然成立？请作出判 断并给予证明， (3)如图③，若E,F分别是正方形ABCD 的边BC,AB延长线上的点，其他条件不 变，(1)中的结论是否仍然成立？请直接写 出你的判断 ① ② FG ③ (第11题) 97所以四边形OBCD是菱形 D E C (第10题) 方法归纳 判定一个四边形为菱形的方法 (1)用对角线进行判定：先证明 四边形是平行四边形，再证明对角线 互相垂直或直接证明四边形的对角 线互相垂直且平分 (2)用边进行判定：先证明四 边形是平行四边形，再证明一组邻 边相等或直接证明四边形的四条 边都相等. 11.(1)EG与HF互相垂直平分. (2)成立. 理由：如图，连结AD,BC. 因为∠APC=∠BPD, 所以∠APC+∠CPD=∠BPD+ ∠CPD,即∠APD=∠CPB. 在△APD和△CPB中， AP=CP. ∠APD=∠CPB, PD-PB, 所以△APD≌△CPB. 所以AD=CB 因为E,F,G,H分别是AC,AB, BD,CD的中点， 所以EF,FG,GH,HE分别是 △ABC,△ABD,△BCD,△ACD的 中位线。 所以EF=GH=2CB,IHE=FG= 合AD 所以EF=FG=GH=HE. 所以四边形EFGH是菱形. 所以EG与HF互相垂直平分. (第11题) 5.3正方形 第1课时正方形的判定 1.C2.C3.有一组邻边相等的 矩形是正方形 4.因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 因为BE=DF, 所以OB一BE=OD一DF,即OE=OF. 所以四边形AECF是平行四边形 因为AC⊥BD,即AC⊥EF, 所以四边形AECF是菱形. 因为OE=OA=OF, 所以OE=OF=OA=OC. 所以EF=AC. 所以四边形APCF是正方形， 5.C6.D 7.C解析：因为F,G,H,I分别是 DE,BE,BC,CD的中点，所以FG∥ BD,FG=BD,HI∥BD,H 2BD.所以FGHI,FG=HL,所以 四边形FGHI是平行四边形.同理， 可得FI/CE,F1=多CE.因为 ∠BAC=90°，所以BD⊥CE.所以 HI⊥FL.所以四边形FGHI是矩形. 当BD=CE时，FG=FI,则四边形 FGHI是正方形 8.甲、丙解析：因为AB=AD, BC=DC,所以AC垂直平分BD.若 添加“AB∥CD”,则∠ABO=∠BDC. 因为BC=DC,所以∠BDC= ∠CBO.所以∠ABO=∠CBO.在 △ABO和△CBO中， I∠ABO=∠CBO, BO=BO, 所以 ∠BOA=∠BOC=90°， △ABO≌△CBO.所以BA=BC.所 以AB=BC=CD=DA.所以四边形 ABCD是菱形.故甲同学的说法正 确.若添加“∠BAD=90”,无法证明 四边形ABCD是矩形，故乙同学的说 法错误.若添加“∠ABC=∠BCD= 90”,则∠ABC+∠BCD=180°，所以 ABCD.由证明甲同学的说法可知， 四边形ABCD是菱形.因为∠ABC= 42 90°，所以四边形ABCD是正方形.故 丙同学的说法正确.综上所述，说法正 确的同学是甲、丙 9.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以AB=CD,∠BAD=∠BCD, AB//CD. 所以∠AEF=∠CHG. 因为BE=2AB,DH=2CD, 所以BE=DH. 所以AE=BE=2DH=CH. 因为∠BAD+∠EAF=180°， ∠BCD+∠HCG=180°， 所以∠EAF=∠HCG. 在△EAF和△HCG中， I∠AEF=∠CHG, AE=CH. I∠EAF=∠HCG, 所以△EAF≌△HCG. 所以AF=CG. (2)当AD=√5AB时，四边形BEDH 是正方形. 理由：由(1)，易知BEDH,BE=DH, 所以四边形BEDH是平行四边形. 因为EH⊥BD, 所以四边形BEDH是菱形 所以DE=BE=2AB. 因为AE=号BE, 所以AE=AB. 所以AE2+DE2=AB2+(2AB)2= 5AB2. 因为AD2=(√5AB)2=5AB2, 所以AE2+DE=AD2. 所以∠BED=90°. 所以四边形BEDH是正方形. 所以当AD=√5AB时，四边形 BEDH是正方形 10.(1)因为AB=AC,AD⊥BC, 所以∠BAD=∠CAD=∠BAC= 22.5°，∠ADB=∠ADC=90°. 因为△ABD翻转得到△ABE, 所以△ABE≌△ABD. 所以AE=AD,∠E=∠ADB=90°， ∠BAE=∠BAD. 所以∠DAE=2∠BAD=45 同理，可得AF=AD,∠F=90, ∠DAF=45°， 所以AE=AF,∠EAF=∠DAE+ ∠DAF=90°. 所以∠E=∠F=∠EAF=90°. 所以四边形AEGF是矩形. 又因为AE=AF, 所以四边形AEGF是正方形. (2)四边形AEGF仍是正方形 理由：由(1)可知，∠BAE+∠CAF= ∠BAC=45°，∠E=∠F=90°， AE=AF, 所以∠EAF=90° 所以∠E=∠F=∠EAF=90. 所以四边形AEGF是矩形 又因为AE=AF, 所以四边形AEGF是正方形 (3)设AD=x,则AE=EG=FG=x, 易得BG=x一2，CG=x-3. 因为在Rt△BCG中，BG+CG=BC2， 所以(x一2)2+(x-3)2=(2十3)2， 解得x1=6,x2=一1（不合题意，舍 去). 所以AD的长为6. 一方法归纳 证明一个四边形是正方形的方法 要证明一个四边形是正方形， 常有以下两种方法： (1)先证明这个四边形是矩 形，再证明这个矩形有一组邻边相 等或对角线互相垂直 (2)先证明这个四边形是菱 形，再证明这个菱形有一个内角为 直角或对角线相等， 第2课时正方形的性质 1.B2.33.2-1 4.(1)因为四边形ABCD是正方形， ∠EAF=45°， 所以∠B=90°，∠CAB=∠CAE+ ∠EAB=45°，∠EAF=∠CAE+ ∠FAM=45. 所以∠EAB=∠FAM. 因为FM⊥AC, 所以∠AMF=90°. 在△ABE和△AMF中， ∠ABE=∠AMF=90°， ∠EAB=∠FAM, AE=AF, 所以△ABE≌△AMF」 所以BE=FM. (2)因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC=1,∠B=90, ∠ACD=45. 所以AC=√AB2+BC2= √2+1=√2. 因为FM⊥AC, 所以∠FMC=90°. 所以∠CFM=90°-∠FCM=90°- 45°=45. 所以∠CFM=∠FCM. 所以FM=CM. 由(1)知，△ABE≌△AMF, 所以AM=AB=1,BE=FM=CM. 所以CM=AC-AM=√2-1. 所以BE=√2-1. 5.B解析：因为四边形PBEF为正 方形，所以∠PBE=90°.因为 ∠CBE=a,所以∠PBC=90°-a.因 为四边形APCD和四边形PBEF均 为正方形，所以AP=CP,∠APF= ∠CPB=90°，PF=PB,所以 △APF≌△CPB.所以∠AFP= ∠PBC=90°-a. 6.B解析：因为四边形ABCD是正 方形，所以AB=BC=CD=AD, ∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°. 因为DF⊥DE,所以∠EDC+ ∠CDF=90°.因为∠ADE十 ∠EDC=90°，所以∠ADE=∠CDF. 因为∠A=∠DCF=90°，所以 △ADE≌△CDF,所以AE=CF=1. 因为E是AB的中点，所以BE= AE=1,AB=BC=2AE=2.所以 BF=BC+CF=2+1=3.所以在 Rt△BEF中，EF=V√BE+BF= √2+3=√/10. 7.C解析：因为四边形ABCD是正 方形，所以∠MDO=∠NCO=45°， OD=OC,∠DOC=90°.所以 ∠DON+∠CON=90°.因为ON⊥ OM,所以∠MON=90°.所以 43 ∠DON+∠DOM=90°.所以 ∠DOM=∠CON.在△DOM和 ∠DOM=∠CON, △CON中，{OD=OC, 所以 ∠MDO=∠NCO, △DOM≌△CON.因为四边形 MOND的面积是1，四边形MOND 的面积=△DOM的面积十△DON 的面积，所以四边形MOND的面 积=△CON的面积+△DON的面 积=△DOC的面积.所以△DOC的 面积是1.所以正方形ABCD的面积 是4.所以AB2=4.所以AB=2. 8.D解析：因为四边形ABCD是正 方形，所以∠B=∠C=∠D=90°， BC=CD=AB=AD.因为△AEF是 等边三角形，所以∠AEF=60°，AE= AF.在Rt△ABE和Rt△ADF中， AE=AF, 所以Rt△ABE≌Rt△ADF. AB-AD, 所以BE=DF.所以BC一BE= CD-DF,即CE=CF.故①正确.因 为CE=CF,∠C=90°，所以 ∠CEF=45°.因为∠AEF=60°，所以 ∠AEB=180°-45°-60°=75°.故② 正确.设正方形的边长为x.因为 EF=2,所以易得CF=√2，则DF= x-√2.因为∠D=90°，所以AD2+ DF2=AF2.所以x2十(x-√2)2= 2,解得工=2（负值舍去.所 2 以S正方形AD=x2=2十√3.故③正 确.综上所述，正确的是①②③. 9.1解析：连结CH并延长，交AD 于点M,连结EM.因为四边形ABCD 为正方形，所以AD∥BC. 所以∠MDH=∠CFH,∠DMH= ∠FCH.因为H是DF的中点， 所以DH=FH.在△DMH和 ∠DMH=∠FCH, △FCH中，∠MDH=∠CFH, DH=FH, 所以△DMH≌△FCH.所以DM= FC,MH=CH.所以H是CM的中 点.因为F是BC的中点，E是AB的 中点，AB=BC=AD=2√2，所以 FC=号BC=E,AE=2AB=E. 所以DM=√2.所以AM=AD DM=√2.所以在Rt△MAE中， EM=√AM2+AE2= √(2)2+(2)2=2.因为G是CE 的中点，H是CM的中点，所以 GH-7EM-1. 10.(1)因为四边形ABCD是正 方形， 所以∠ADC=90. 因为GE⊥CD, 所以∠GEC=∠ADC=90°. 所以ADGE 所以∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF 理由：连结CG,交EF于点O. 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ECF=90°，∠ADB ∠CDB=45°，AD=CD. 在△ADG和△CDG中， DG-DG. ∠ADG=∠CDG, AD-CD, 所以△ADG≌△CDG. 所以∠DAG=∠DCG 由(1)，得∠DAG=∠EGH, 所以∠EGH=∠DCG. 因为GE⊥CD,GF⊥BC, 所以∠GEC=∠GFC=90°=∠FCF 所以四边形ECFG为矩形， 所以F=CG,0E=号m,0C 2cc 所以OE=OC 所以∠OEC=∠OCE=∠EGH. 因为∠GC=90,即∠OC+∠GEH=90, 所以∠GH+∠GEH=90°，即∠GHE=90. 所以AH⊥EF 11.(1)FG-CE:FG//CE. 解析：设DE与CF交于点M.因为四 边形ABCD是正方形，所以BC=CD, ∠ABC=∠DCE=90°.在△CBF和 BF=CE, △DCE中，{∠CBF=∠DCE,所以 BC=CD, △CBF≌△DCE.所以∠BCF= ∠CDE,CF=DE.因为∠BCF+ ∠DCM=90°，所以∠CDE+ ∠DCM=90°.所以∠CMD=90°.所 以CF⊥DE.因为EG⊥DE,所以 EG∥CF.因为EG=DE,CF=DE, 所以EG=CF.所以四边形EGFC是 平行四边形.所以FG=CE,FGCE. (2)(1)中的结论仍然成立 如图，过点G作GH⊥CB,交CB的 延长线于点H. 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ABC=∠BCD=90°. 因为EG⊥DE, 所以∠GEH+∠DEC=90°」 因为GH⊥CB, 所以∠GHE=90° 所以∠GEH+∠HGE=90°. 所以∠DEC=∠HGE. 在△HGE和△CED中， ∠GHE=∠ECD=90°， ∠HGE=∠CED, EG-DE, 所以△HGE≌△CED. 所以GH=CE,HE=CD. 因为CE=BF, 所以GH=BF 因为∠GHE=∠ABC=90°， 所以GHBF. 所以四边形GHBF是平行四边形 所以FG=BH,FGCH」 所以FGCE. 因为四边形ABCD是正方形， 所以CD=BC. 所以HE=BC. 所以HE+EB=BC十EB, 即BH=CE. 所以FG=CE. (3)(1)中的结论仍然成立. 因为四边形ABCD是正方形 所以BC-CD,∠ABC=∠DCB=9O°. 所以∠CBF=∠DCE=90. 在△CBF和△DCE中， BF=CE, ∠CBF=∠DCE, BC=CD, 所以△CBF≌△DCE. 44 所以∠BCF=∠CDE,CF=DE. 因为EG=DE, 所以CF=EG. 因为DE⊥EG, 所以∠DEC+∠CEG=90. 因为∠CDE+∠DEC=90°， 所以∠CDE=∠CEG. 所以∠BCF=∠CEG 所以CFEG. 所以四边形CEGF是平行四边形 所以FGCE,FG=CE. (第11题) 专题特训八特殊四边形的 性质与判定的灵活应用 1.C解析：过点A作AH⊥DE于 点H,交BC于点F.因为四边形 BCDE是矩形，所以BC=DE,BE= CD,BE∥CD,∠EBF=∠BEH= 90°.因为AH⊥DE,所以∠EHF= 90°，所以四边形BFHE是矩形.所以 FH=BE=CD,BE∥FH∥CD.所以 △ABE的边BE上的高等于EH的 长，△ACD的边CD上的高等于DH 的长.所以S-S,-S,=3DE· 1 AH-2BE·EH-2CD·DH= 2DE·AH-是FH·E阴 2FH·DH=3DE·AH FH·(EH+DH)=专DE· AH-专FH·DE=DEAH FH)=专DEAF=专BC.AF S△AC.所以只需知道△ABC的面积 就可求出S-S,-S,的值. 2.(1)因为四边形ABCD是平行四 边形， 所以AD=BC,AD∥BC. 因为BE=DF, 所以AD一DF=BC一BE. 所以AF=EC.