黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025--2026学年度下学期期中考试 高二年级数学答案 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A D B D BCD BCD ACD 12.a 13. 3 14.V3+1 15.【详解】(1)设{an}公差为d,因a2=3,S,=25, 则 a=a,+d=3a,=1 s,=5+10d=25→{d=2'从而a,=g+(n-1)d=2n-l, 1 (2)由(1)， 1-1(1-1 a.a1(2n-0(2n+122n-12n+i1 一十 a1a2a243 16.【详解】(1)过点E作EMI∥CD,交PD于点M,连接AM, 因为PE=PC.所以EM=CD=2, 3 3 因为ABIIC D,AB=2,所以EM I/AB,EM=AB, 所以四边形ABEM为平行四边形，所以AM∥BE. 又AMC平面PAD,，BE文平面PAD,所以BEI∥平面PAD. (2)因为PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥CD,又AD⊥CD,所以AD,CD,DP两两垂直. 以D为原点，以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),B(4,2,0),P(0,0,6),E(0,2,4), 所以DB=4,2,0,DE=0,2,4,DP=(0,0,6· 设平面BDE的法向量为n=(a,b,c, 则 n:DB=0.即a+h=0 n·DE=02b+4c=0 令a=1,得b=-2,c=1,则n=(1,-2,1), DB·m=04x+2y=0 设平面PBD的法向量为m=x,y,z,则 ,即 DP.m=06z=0 令x=1,得y=-2,z=0,则m=1,-2,0. 设平面BDE与平面PBD的夹角为0， 则cos6=lcos(mn= mn。5 =V30 m:m5x√66 所以平面BDE与平面PBD夹角的余弦值为V 6 17.【详解】(1)8台机器中，故障率小于2%的机器有6台：P=6=3 84 (2)故障率小于2%的机器共6台，其中故障率小于1%的有3台， X的可能值为02,6PX=0之0·PX==答=3号 (X=2)-Cic-(X=3)-CC- C。20 C320 X的分布列为： X 0 1 2 3 1 9 9 1 P 20 20 2020 数学期望： E(X)=0.1 9 9 +1 13 +2 +3 0 20 20 202 (3)设Y为抽取的5台中故障率小于2%的台数，则Y B5,4 Pv=1-rr=o-PrY==1-c-c=4点器 18【详释】》由烟可得：e=后，。=1，可得c=5,6=a-c-1, 所以精圆E的标准方程为二+y少=1。 4 (2)由题意可知：A-2,0),直线MN的斜率存在， V 设直线MN:y=kx+m,Mx,y),N(x2,y2), y=kx+m 联立方程{x2 Z+少2=，消去y可得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0) 则△=64k2m2-44k2+14m2-4>0,可得m2<4k2+1, 8km 4k2+1’53= 4m2-4 则x1+X2=- 4k2+11 因为kwkw=上，上，=包+m刚，+则_5 x1+2x2+2（x1+2)(x2+2)4 整理可得4k2-5xx2+(4km-10)(x+x2)+4m2-20=0, 即4k2-54m-48m4kn-10）+4m-20=0. 4k2+1 4k2+1 整理可得m2-5km+6k2=0,解得m=2k或m=3k, 若m=2k,则直线MN:y=kx+2k=kx+2过定点A-2,0),不合题意： 若m=3k,则直线MN:y=kx+3k=k(x+3)过定点(-3,0)，符合题意； 综上所述：直线MN过定点(-3，O). 19.【详解】(1)fx)的定义域为(0，+0) f(x)=x-(a-2）-2a-2-(a-2x-2a_(x-aj(x+2) 其中x>0,则x+2>0,故只需讨论x-a的符号. 当a≤0时，x-a>0,则f'(x)>0,f(x在(0，+o)上单调递增. 当a>0时，令f'(x=0,解得x=a. 当0<x<a时，'x<0,fx单调递减： 当x>a时，f'(x)>0,fx)单调递增， 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+oo)上单调递增 综上，当a≤0时，f(x在(0，+o)上单调递增； 当a>0时，fx)在(0，a)上单调递减，在(a,+oo)上单调递增. 2)当a=-2时，f=x+4x+4n,f川到=x+4+手 到-对=司4+到后++4小4-h: =-4nx+4. 令g-4nx+4>0.则g刘=-44+2x-2到 当0<x<2时，g'x)<0,gx单调递减；当x>2时，g'x>0,gx单调递增， 故g)在=2处取号最小，82到=方×2-4h2+4=6-4n2>0, 因此g到=号-4nx+4>0,即可->0，所以x>f (3)由(1)知，当a>0时，f(x)在(0，a上单调递减，在(a,+oo）上单调递增， 故f(y在x=a处取得最小值，为fa)=a2-(a-2)a-2al1na=-a2+2a-2alna. 若使f升≥02+a恒成立，只若02+2a-2aha≥分Q2+a恒成立，即-g2+a-2alna≥0恒政 2 立即可. 又a>0,即-a+1-2lna≥0恒成立. 令h(a)=-a+1-2na(a>0),则h(a=-1-2<0, a 故h(a在(0，+oo)上单调递减，且h(1=-1+1-2ln1=0,所以0<a≤1. 故实数a的取值范围为(0,1. 2025----2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1．若，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8 3．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A． B． C． D． 4．某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A．150 B．90 C．60 D．30 5．已知的面积是，，，是的内角平分线，D在边上，则（ ） A．1 B． C． D．2 6．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（ ） A．1120 B． C． D．448 7．记为等差数列的前n项和，若，，则数列的前20项和是（ ） A．40 B．20 C．10 D．0 8．已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9．为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分 C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10．如图，A，B，C是函数（）的图象与直线（）的三个相邻交点，若，则（ ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．的单调递增区间为（） D．将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为（） 11．在棱长为2的正方体中，点P是棱的中点，点Q在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A．点Q的轨迹经过线段的中点 B．点Q的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12．若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 13．某知识过关题库中有A，B，C三种难度的题目，数量分别为300，200，100．已知小明做对A，B，C型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________． 14．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P是C上一点且位于第一象限，若，的平分线所在直线的斜率与的平分线所在直线的斜率分别为，，且，则C的离心率为__________． 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15．（本题13分） 已知是等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 16．（本题15分） 如图，在四棱锥中，，，，点E满足． （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本题15分） 某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% （1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； （2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量X表示其中故障率小于1%的机器台数，求X的分布列和数学期望； （3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率． 18．（本题17分） 已知椭圆E：（）的离心率为，以椭圆E的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是 边长为2的菱形． （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知A为椭圆E的左顶点，M，N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满足直线与直线的斜率之积为．求证：直线过定点． 19．（本题17分） 已知函， （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：恒成立； （3）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $