精品解析：山西省定襄县定襄中学校2026届高考临考预测数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式 【详解】因为，， 所以. 3. 已知直线，平面，则“”是“存在直线满足，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】充分性：若，由线面平行的性质，过直线作平面与平面相交于直线，则. 因为，，由线面垂直的性质可知：. 又因为，所以. 所以当时，存在直线满足，且.即充分性成立. 必要性：当存在直线满足，且时，或.所以必要性不成立. 综上：“”是“存在直线满足，且”的充分不必要条件. 4. 设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导后代入求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角. 【详解】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则， 因为，所以. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 48 D. 288 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得：  ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 7. 在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据面面垂直的性质，结合直角三角形的性质判断球心的位置，进而列方程求得半径，再利用球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 所以是以为斜边的等腰直角三角形， 设的中点为，连接， 因为是边长为2的等边三角形， 所以，且. 又因为二面角的大小为， 所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设为， 如图，连接，设球的半径为， 所以有， 所以三棱锥外接球的表面积为. 8. 一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件为第一次和第三次摸到红球，事件为第二次摸到绿球，分别求解，再结合条件概率公式计算. 【详解】设事件：第一次和第三次摸到红球，事件：第二次摸到绿球，可得： 第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个； 第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个； 第三次摸红球：11球中5红，概率； 所以. 因为连续三次摸到红球的概率：； 三次摸球顺序为红，绿，红的概率：； 三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：， 所以， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（），则（ ） A. 的最大值为2 B. 当时，在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D. 若在上有两个零点，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】由辅助角公式化简原函数，结合正弦型函数的性质可以判断A；结合正弦型函数的单调性可以判断B；结合三角函数图象平移变换规律可以判断C；结合“整体法”和正弦型函数零点的性质可以判断D. 【详解】由题意得 选项A，当时，的最大值为2，正确； 选项B，当时，，时，， 在上单调递减，因此在区间上单调递减，错误； 选项C，图象右移个单位可得：， 仅当时才得到，对任意不成立，错误； 选项D，时，，即， 要区间内有两个零点，即有两个落在内， 对应两个零点为、， 则，解得， 即，正确. 10. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心，为半径作圆，记圆与交于，两点，则（ ） A. B. 当时，的面积为 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题可知，圆, 联立方程，消去并化简得：， 解得（负值舍去）， 对于A，因为圆与交于，两点，所以， 即，解得，A正确； 对于B，当时，或 ， 所以，所以，B正确； 对于C，根据对称性可知，所以， 化简得，解得，C错误； 对于D，不妨取， 则， 所以，D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（ ） A. B. 存在使得 C. D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过赋值法求的值，判断选项A；构造辅助函数，确定的表达式，进而根据的值域判断选项B；求导，判断选项C；利用函数的对称性判断选项D． 【详解】令，代入等式得：， 解得或， 若，令，则对任意有，此时， 与矛盾，故，A正确； 构造辅助函数，可得， 即，由可导知，故， 求导得，代入得， 故， 指数函数对任意恒成立，故恒成立， 不存在使得，故B错误； 由且，得，故C正确； ，故， 对任意，， 故的图象关于直线对称，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量坐标的数量积运算，将不等式转化为关于t的不等式，解不等式即可． 【详解】因为，，故； ； 故等价于， 即，即，解得：； 故的取值范围是． 13. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线定比分点公式求出点坐标，结合中垂线性质建立参数关系，最后代入椭圆方程求解离心率. 【详解】设（），由得， 整理得. 因的中垂线过点，故，即. 即. 化简得，解得. 从而点的纵坐标平方为，横坐标平方为. 将点坐标代入椭圆方程，得. 两边同乘并利用及变形得. 令，整理得，即. 解得或，因，故，即. 14. 在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】设， ， 因为，的角平分线交于点， 所以， 由正弦定理，得， 所以可得， 则由， 由正弦定理，得 ，或， 当时，因为，且， 所以解得，，负值舍去， 当时，，因为， 所以方程没有实数解， 综上所述：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . 【小问2详解】 由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 16. 已知函数． （1）若是的极值点，求； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零构造方程求解，注意最后要检验； （2）把有两个零点，转化为方程有两个正实数根，分离参数得到，令问题转化为与的交点个数，令求导，并分析的单调性求出最小值，再分段讨论求解． 【小问1详解】 函数求导得，已知是极值点， 则，解得． 当时，， 当时，；当时，，故是极小值点，符合题意． 故． 【小问2详解】 已知有两个零点，即方程有两个正实数根， 则， 设，问题转化为与的交点个数， 令，则， ，令，得， 当时，，单调递减； 当且时，，单调递增； 当时，在处取得极小值，， 故在处取得极小值，为； 当和时，； 当时，且单调递增，故单调递增且， 故方程最多有一个零点； 要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即． 17. 如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至． （1）是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． （2）当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】（1）翻折到时，平面，此时. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面得，再根据时，结合勾股定理，进而即可证明平面，此时求得； （2）结合（1），建立空间直角坐标系，设，，再根据向量法求解线面角，并结合三角恒等变换求解即可. 【小问1详解】 因为在中，，垂足为， 所以，翻折至时，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为，． 所以，， 所以，当翻折到时，，即， 因为，平面， 所以平面， 综上，当翻折到时，平面，此时. 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，整理得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 ， 因为， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为. 18. 某实验室研究某细胞繁殖过程中的变异规律、细胞的变异等级用正整数表示，初始等级记为．每繁殖一代，变异等级按以下规律变化：若当前等级为（，）.则下一代等级为的概率为，为的概率为，不变的概率为，其中，且．特别地，当变异等级为1时，下一代变异等级为2的概率为，保持不变的概率为．各代变异相互独立．已知初始等级，概率，． （1）求经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率． （2）记为细胞经过两代繁殖后的变异等级，求的分布列和数学期望． （3）实验室计划在细胞繁殖时进行干预，调整下一代的变异情况，每次干预需选择以下方案之一（每次干预只影响一代）． 方案：，； 方案：，． 现计划在第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次．若规定第三代变异等级为危险事件，请制定干预策略（每次干预独立选择方案或），使发生危险事件的概率最小，并求出该最小概率． 【答案】（1）经过两代繁殖后变异等级为4的概率为0.3； （2）的分布列为： 1 2 3 4 5 0.04 0.12 0.29 0.3 0.25 ； （3）最优干预策略为第二代繁殖和第三代繁殖均选择方案A，发生危险事件的最小概率为0.222. 【解析】 【分析】(1)初始等级,经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4有两种途径:和，分别计算对应概率即可； (2)类比（1），分析细胞变异的途径，分别计算对应概率，再利用期望公式求值; (3)分析可知第三代变异等级有3种途径，且干预策略有，，，四种，分别计算对应概率，再比较即可求解. 【小问1详解】 初始等级,经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4,有两种路径： 路径1:，； 路径2:，； 所以经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率. 【小问2详解】 可能的取值为：1,2,3,4,5, ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 0.04 0.12 0.29 0.3 0.25 . 【小问3详解】 由题可知， 若，则第三代变异等级路径有， 若，则第三代变异等级路径有，或6, 第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次，共4种策略组合：，，，. 策略：. 策略：. 策略：. 策略：. 由上可知：最优干预策略为第二代繁殖和第三代繁殖均选择方案A，发生危险事件的最小概率为0.222. 19. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，设为上一点，为双曲线渐近线上一点（在第一象限），且，． （1）求的离心率． （2）设，过点的直线与的右支交于，两点． （ⅰ）证明：以为直径的圆过定点； （ⅱ）若的外接圆与内切圆半径的比值为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由题和（1）可知，所以双曲线方程为：， 设直线的方程为：，， 联立，化简得：， 所以，， 所以， 因为直线与的右支交于，两点，所以， 所以以为直径的圆的圆心坐标为， ， 所以以为直径的圆的方程为：， 去分母得：， 令，则， 即， 则，解得，所以以为直径的圆过定点; （ⅱ）或. 【解析】 【分析】（1）利用点在渐近线上，设，根据垂直两直线斜率积为，列方程求出的坐标，设，根据求出坐标，结合在双曲线上，列方程，求出离心率； （2）（ⅰ）设直线方程，和双曲线联立，根据韦达定理求出的中点坐标，即圆心坐标，求出，即圆的直径，写出圆的标准方程，令，求出定点； （ⅱ）根据三角形的面积公式表示出的外接圆与内切圆半径，再根据比值列方程，代入化简求解. 【小问1详解】 由题可知，双曲线的渐近线方程为，， 设，则， 因为，所以， 化简得，因为在第一象限，所以，所以， 则， 又，所以，解得， 所以，因为为上一点，所以， 化简得，即，所以（舍去）， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）根据双曲线的定义有， 所以， ， 设的外接圆半径为，内切圆的半径为， 则，，所以， 又，所以， 又，所以 ， 所以， 化简得：，解得， 所以， 所以直线的方程为，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，平面，则“”是“存在直线满足，且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 48 D. 288 6. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数（），则（ ） A. 的最大值为2 B. 当时，在区间上单调递增 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D. 若在上有两个零点，则的取值范围是 10. 已知抛物线：的焦点为，以为圆心，为半径作圆，记圆与交于，两点，则（ ） A. B. 当时，的面积为 C. 当时， D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，，且，则（ ） A. B. 存在使得 C. D. 的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则的取值范围是________． 13. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在轴的正半轴上，是椭圆上一点，且满足．若的中垂线过点，则椭圆的离心率为________． 14. 在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）若是的极值点，求； （2）若有两个零点，求的取值范围． 17. 如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至． （1）是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． （2）当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 18. 某实验室研究某细胞繁殖过程中的变异规律、细胞的变异等级用正整数表示，初始等级记为．每繁殖一代，变异等级按以下规律变化：若当前等级为（，）.则下一代等级为的概率为，为的概率为，不变的概率为，其中，且．特别地，当变异等级为1时，下一代变异等级为2的概率为，保持不变的概率为．各代变异相互独立．已知初始等级，概率，． （1）求经过两代繁殖后，细胞的变异等级为4的概率． （2）记为细胞经过两代繁殖后的变异等级，求的分布列和数学期望． （3）实验室计划在细胞繁殖时进行干预，调整下一代的变异情况，每次干预需选择以下方案之一（每次干预只影响一代）． 方案：，； 方案：，． 现计划在第二代繁殖和第三代繁殖时各干预一次．若规定第三代变异等级为危险事件，请制定干预策略（每次干预独立选择方案或），使发生危险事件的概率最小，并求出该最小概率． 19. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，设为上一点，为双曲线渐近线上一点（在第一象限），且，． （1）求的离心率． （2）设，过点的直线与的右支交于，两点． （ⅰ）证明：以为直径的圆过定点； （ⅱ）若的外接圆与内切圆半径的比值为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $