2026届高考数学全国一卷考前仿真卷(二)

**基本信息** 高考仿真卷（二）以核心素养为导向，覆盖函数、几何、概率等模块，通过无人机测试、空间几何等真实情境设计梯度化试题，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、命题、椭圆、向量、统计、三角、函数|第5题结合数据百分位数考查统计素养，第8题抽象函数性质体现数学抽象| |填空题|3题/15分|二项式定理、排列组合、解三角形|第14题解三角形与中线结合，考查逻辑推理| |解答题|5题/77分|数列、概率、立体几何、双曲线、导数|第16题无人机测试数据考查相关系数与期望，第19题导数证明与三角结合，凸显数学建模与逻辑推理|

高考仿真卷(二) (时间：120分钟　分值：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知a∈R，若(a-2)+(a-1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　因为(a-2)+(a-1)i(i为虚数单位)是纯虚数， 所以解得a=2. 2.已知命题p：∀x∈R，x2>0；命题q：∃x>0，ln x<0.则(　　) A.p和q都是真命题 B.p是假命题，q是真命题 C.p是真命题，q是假命题 D.p和q都是假命题 答案　B 解析　对于命题p：∀x∈R，x2>0， 当x=0时，x2=0，故命题p是假命题； 对于命题q：∃x>0，ln x<0， 当x=时，ln=-1<0， 故命题q是真命题. 3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 答案　A 解析　由题意得解得 又椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为+=1. 4.已知向量=(3，m)，=(1，)，且|+|=|-|，则△ABC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　A 解析　因为|+|=|-|， 得到+2·+=-2·+， 化简得·=0，所以AB⊥AC， 又=(3，m)，=(1，)， 所以3+m=0，得到m=-， 所以=(3，-)， 则||==2，||==2， 所以△ABC的面积为 S=×||·||=×2×2=2. 5.下列说法不正确的是(　　) A.现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4 B.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x10+1的方差为18 D.若事件A，B相互独立，P(A)=，P(B)=，则P(B)= 答案　A 解析　将数据从小到大排列为3，3，4，5，6，7，7，9，9，9，因为10×0.3=3，所以这组数据的第30百分位数为=4.5，故A不正确； 事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”不能同时发生且必有一个发生，是对立事件，故B正确； 若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x10+1的方差为2×32=18，故C正确； 因为事件A，B相互独立，所以 ，B相互独立，P(B)=P()P(B)=×=，故D正确. 6.已知tan α=2，tan(α+β)=-1，则等于(　　) A. B. C.2 D. 答案　D 解析　因为tan α=2， 所以tan β=tan[(α+β)-α]===3， 所以====. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=BC=2，PA=PB=，PC=PD=，则该四棱锥的体积为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案　B 解析　如图，取AB，CD的中点分别为E，F，连接PE，PF，EF， 则PE⊥AB，EF⊥AB，且PE∩EF=E，PE，EF⊂平面PEF，故AB⊥平面PEF， 又AB⊂平面ABCD，故平面ABCD ⊥平面PEF，平面ABCD ∩平面PEF=EF， 过P作EF的垂线，垂足为O，即OP⊥EF，OP⊂平面PEF，故OP⊥平面ABCD， 由题意可知 PE===， PF===，EF=3， 由余弦定理可得cos∠PFE===， ∵∠PFE∈(0，π)，∴∠PFE=，故OF=OP=PF=1， ∴四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为V=S矩形ABCD·OP=×6×1=2. 8.对于∀x∈[0，1]，f(x)+f(1-x)=2，且f(x)=2f，当0≤x1≤x2≤1时，f(x1)≤f(x2)，则f等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　令x=， 则f+f=2 ⇒ f=1. 所以f=2f⇒ f=， 进而f=2f⇒ f=， 同理可得f=f=， f=f=. 令x=0，则 ⇒ 所以f=f(1)=1， f=f=， f=f=， f=f=， f=f=. 因为0<<<<1， 所以f≤f≤f， 即≤f≤. 所以f=. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期大于，若曲线y=f(x)关于点中心对称，则下列说法正确的是(　　) A.f=- B.y=f是偶函数 C.x=是函数f(x)的一个极值点 D.f(x)在上单调递增 答案　ABC 解析　因为f(x)=sin(ω>0)的最小正周期大于，所以>，即0<ω<4. 又y=f(x)关于点中心对称， 所以ω+=kπ(k∈Z)， 所以ω=-1+3k，因为0<ω<4， 所以当k=1时，ω=2， 所以f(x)=sin. 对于A，f=sin=-sin =-，故A正确； 对于B，f=sin =sin=cos 2x， 由cos(-2x)=cos 2x且x∈R， 所以y=f是偶函数，故B正确； 对于C，f'(x)=2cos，令f'(x)=0得x=+，k∈Z， 当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 所以x=是函数f(x)的极大值点，故C正确； 对于D，由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 当k=0时，x∈， 当k=1时，x∈， 显然函数f(x)在上不单调，故D不正确. 10.设抛物线C：x2=4y的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结论正确的是(　　) A.点P到F的距离比到x轴的距离大2 B.点P到直线y=x-3的最小距离为 C.以PF为直径的圆与x轴相切 D.记点P在C的准线上的射影为H，则△PFH不可能是正三角形 答案　BC 解析　由抛物线C：x2=4y，可得焦点F(0，1)，准线方程为y=-1，设P(x0，y0)， 因为|PF|-y0=y0+1-y0=1<2，因此A不正确； 因为y0=， 则点P到直线y=x-3的距离d==≥=， 当x0=2时取等号，可得点P到直线y=x-3的最小距离为，因此B正确； 设PF的中点为M，则yM==|PF|，于是以PF为直径的圆与x轴相切，因此C正确； H(x0，-1)，令|PH|=|FH|，则y0+1=，又=4y0，解得y0=3， 此时|PH|=|PF|=|FH|=4，△PFH是正三角形，因此D不正确. 11.函数y=ex叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其他函数进行运算产生新的函数.已知函数f(x)=ex，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)在上单调递减 B.函数f(x)既有极大值，也有极小值 C.方程f(f(x))=0有2个不同的实数解 D.在定义域内，恒有exf(2-x)+e2-xf(x)=4e2 答案　BCD 解析　易知f(x)=ex的定义域为{x|x≠1}， f'(x)=ex=， 对于A，由f'(x)<0，得0<x<，且x≠1， 所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，，故A错误； 对于B，由f'(x)=0，得x=0或x=， 当x<0时，f'(x)>0，当0<x<1时，f'(x)<0， 当1<x<时，f'(x)<0， 当x>时，f'(x)>0， 所以f(x)的极大值为f(0)，极小值为f，故B正确； 对于C，由B知，f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，，单调递减区间为(0，1)，， 当x→-∞时，f(x)→0+， 当x∈(0，1)时，f(x)单调递减，且当x=0时，f(0)=1， 当x→1-时，f(x)→-∞， 当x→1+时，f(x)→+∞， 且当x=时，f=4， 当x→+∞时，f(x)→+∞， f(x)的大致图象如图所示，由图知，f(x)只有一个零点x0，且x0∈(0，1)， 令f(x)=t，由f(t)=0，得到t=x0，所以f(x)=x0，令y=x0∈(0，1)， 由图知，y=x0与y=f(x)的图象有且仅有两个交点，故C正确； 对于D，令g(x)===2+， 易知g(x)的图象关于点(1，2)对称， 所以g(2-x)+g(x)=4，即+=4， 得exf(2-x)+e2-xf(x)=4e2，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥1，n∈N)，若a5>a4，且a5>a6，则ai=　　　　　.  答案　1 023 解析　因为(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥1，n∈N)，若a5>a4，且a5>a6， 则n=10，令x=1，a0+a1+a2+…+an=210， 又a0=1，所以ai=ai=210-1=1 023. 13.(2025·松江模拟)有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有　　　　　种不同的停放方法.  答案　12 解析　因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车，有种排法，与余下的两辆车全排列，有种排法， 所以共有=12(种)不同的停放方法. 14.已知△ABC中，2(cos2A-cos2B+sin2C)=sin Bsin C. (1)cos A=　　　　　；  (2)D为边BC的中点，若AD=AB，则=　　　　　.  答案　(1)　(2) 解析　(1)2(cos2A-cos2B+sin2C)=2[(1-sin2A)-(1-sin2B)+sin2C] =sin Bsin C， 即2(sin2B+sin2C-sin2A)=sin Bsin C， 设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理可得2(b2+c2-a2)=bc， 由余弦定理可得cos A==. (2)设BC=2t(t>0)， 由余弦定理并结合(1)得4t2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc， 在△ABD中，cos B=， 在△ABC中，cos B=， 所以2t2=b2-c2，即4t2=2b2-2c2， 则b2+c2-bc=2b2-2c2， 所以b2+bc-3c2=0， 等式两边同时除以b2可得 1+×-3×=0， 解得=或=-(舍去)， 所以由正弦定理可得=. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an(an+1). (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)证明：++…+<2.(7分) (1)解　因为2Sn=an(an+1)，① 所以2Sn+1=an+1(an+1+1)，② 2S1=a1(a1+1)，③ 由③得a1(a1-1)=0，又an>0，所以a1=1， ②-①得2an+1=(-)+(an+1-an)，整理得(an+1+an)(an+1-an-1)=0， 又因为{an}各项均为正数，所以an+1-an=1， 所以{an}是公差d=1的等差数列， an=a1+(n-1)d=1+(n-1)=n. (2)证明　由(1)得Sn==， 所以==-， 所以++…+=++…+=2-<2. 16.(15分)(2025·长沙模拟)某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高.已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立. (1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标xi，yi(i=1，2，3，4，5)，数据如表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 x 2 4 5 6 8 y 3 4 4 4 5 试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x的线性相关程度；(若|r|>0.75，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高)(7分) (2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机；若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机，求操作成功的次数的数学期望.(8分) 附：r=， ≈0.95. 解　(1)由题可知==5， ==4， (xi-)(yi-)=6， = =2， = =， 则样本相关系数r= ==≈0.95， 因为r>0.75，所以y与x的线性相关程度较高. (2)设操作成功的次数为X，则X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)=××+××=， P(X=1)=××+××+××+××=， P(X=2)=××+××=， 所以E(X)=0×+1×+2×=. 17.(15分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面边长为2，A1B1=AB，M为BC的中点，已知点P满足=(1-λ)+λ+λ，其中λ∈(0，1). (1)求证：D1P⊥AC；(6分) (2)已知平面AMC1与平面ABCD夹角的余弦值为，当λ=时，求直线DP与平面AMC1所成角的正弦值.(9分) (1)证明　方法一　∵A1B1=AB， ∴·=·=2×=2. ∵=--， ∴=+=(1-λ)++(λ-1)， ∴· =· =(1-λ)++(λ-1)·+(λ-1)· =8(1-λ)+8+4(λ-1)=0. ∴⊥，即D1P⊥AC. 方法二　以底面正方形ABCD的中心O为原点，以方向为y轴正方向，过O点平行于方向为x轴正方向， 以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设正四棱台的高为h，则有A(，-，0)， B(，，0)，C(-，，0)，D(-，-，0)， A1，C1， D1，M(0，，0)， =(-2，2，0)， =(1-λ)(0，2，0)+λ(-2，0，0)+λ=， =， =+ =. 故·=-2×+2×=0， 所以D1P⊥AC. (2)解　同(1)方法二建立空间直角坐标系.设平面ABCD的法向量为n=(0，0，1)， 平面AMC1的法向量为m=(x，y，z)， =(-，2，0)，=， 则有即 令x=2h，则m=(2h，h，3). 又题意可得|cos〈m，n〉|===，可得h=2. 因为λ=，所以=+=(，-，0)+=， 故P，=. 将h=2代入，可得平面AMC1的法向量 m=(4，2，3). 设直线DP与平面AMC1所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈，m〉|===. 18.(17分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，C上一点P满足cos∠F1F2P=-，且△PF1F2的面积为2. (1)求C的方程；(5分) (2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TM||TN|的最小值.(12分) 解　(1)在△PF1F2中，因为cos∠F1F2P=-，所以sin∠F1F2P==. 所以=×|F1F2||PF2|sin∠F1F2P=×4×|PF2|×=2， 解得|PF2|=. 在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2||F1F2|cos∠F1F2P =19+2××4×=27， 所以|PF1|=3. 因为P在双曲线上，所以2a=|PF1|-|PF2|=2，得a2=3，b2=c2-a2=1. 所以C的方程为-y2=1. (2)方法一　设T(x0，y0)，则-=0， 当直线l⊥y轴时，设直线l：y=y0与C交于点M(x1，y0)，N(-x1，y0)， 所以-=1，即-3=3， 所以|TM||TN|=|x1-x0||x1+x0|=|-|=|-3|=3. 当直线l与y轴不垂直时，设直线l的方程为x=my+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，利用对称性不妨设T(x0，y0)在直线x-y=0上. 联立得y0=. 联立并消去x，得(m2-3)y2+2mny+n2-3=0， 所以 则|TM|=|y0-y1|， 同理，得|TN|=|y0-y2|. 所以|TM||TN|=(1+m2)|y0-y1||y0-y2| =(1+m2)|-y0(y1+y2)+y1y2| =(1+m2) ==≥1(当且仅当m=0时，取等号，满足Δ>0)， 综上，|TM||TN|的最小值为1. 方法二　设T(x0，y0)，则-=0， 当直线l⊥x轴时，则直线l的方程为x=x0(|x0|>)，设M(x0，y1)，N(x0，-y1)， 则|TM||TN|=|y0-y1||y0+y1|=|-|. 因为两式相减，得-=1， 所以|TM||TN|=1. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-x0)+y0，M(x1，y1)，N(x2，y2)，利用对称性不妨设T(x0，y0)在直线x-y=0上，故y0=x0， 由消去y并化简， 得(1-3k2)x2+(6k2-2k)x0x+(-3k2+2k-1)-3=0. 所以 则|TM|=|x0-x1|， 同理|TN|=|x0-x2|. 所以|TM||TN|=(1+k2)|x0-x1||x0-x2| =(1+k2)|-x0(x1+x2)+x1x2| =(1+k2)· ==>1. 综上所述，|TM||TN|的最小值为1. 19.(17分)函数f(x)=(1+x)r-rx-1(x>-1，且r>0). (1)当r≠1时，判断f(x)的单调性；(4分) (2)若θ∈，判断2cos2θ与的大小(n∈N*，且n≥2)，并说明理由；(5分) (3)证明：对于任意的n∈N*，θ∈，有(sin2θ+sin3θ+…+sin2nθ+sin2n+1θ)+(cos2θ+cos3θ+…+cos2nθ+cos2n+1θ)≥(+2).(8分) (1)解　由于f'(x)=r(1+x)r-1-r(x>-1)，f'(0)=0， 当r>1，x∈(-1，0)时，f'(x)<0； 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0， 故当r>1时，函数f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 同理，当0<r<1时，函数f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减. (2)解　由(1)可知，当0<r<1时，f(x)≤0， 故(1+x)r≤rx+1， 令x=cos 2θ，r=，n∈N*，且n≥2， 由于θ∈，则cos 2θ>-1， 可得(2cos2θ≤cos 2θ+1， 所以2cos2θ≤， 当且仅当θ=时等号成立. (3)证明　由(1)可知，当r>1时，f(x)≥0. 又当r=1时，f(x)=0， 故当r≥1时，f(x)≥0，即(1+x)r≥rx+1， 令x=2sin2θ-1，r=n，n∈N*， 由于θ∈，则2sin2θ-1>-1， 可得(2sin2θ)n≥n(2sin2θ-1)+1， 令x=2cos2θ-1，r=n，n∈N*， 由于θ∈，则2cos2θ-1>-1， 可得(2cos2θ)n≥n(2cos2θ-1)+1， 两式相加可得2n(sin2nθ+cos2nθ)≥2， 即sin2nθ+cos2nθ≥， 所以(sin2θ+cos2θ)+(sin4θ+cos4θ)+…+(sin2nθ+cos2nθ)≥1++…+=2， 当且仅当θ=时等号成立. 由(1+x)r≥rx+1可得xn+1≥(n+1)(x-1)+1， 令x=， 由于θ∈，则>， 可得≥(n+1)+1=-n， 两边同乘sinn+1θ， 整理得nsinn+1θ≥(n+1)sinnθ-， 用2n替换n可得2nsin2n+1θ≥(2n+1)sin2nθ-， 同理可得2ncos2n+1θ≥(2n+1)cos2nθ-， 两式相加可得2n(sin2n+1θ+cos2n+1θ)≥(2n+1)(sin2nθ+cos2nθ)-· ≥(2n+1)·-·=2n·， 故sin2n+1θ+cos2n+1θ≥， 所以(sin3θ+cos3θ)+(sin5θ+cos5θ)+…+(sin2n+1θ+cos2n+1θ) ≥++…+=，当且仅当θ=时等号成立. 所以(sin2θ+sin3θ+…+sin2nθ+sin2n+1θ)+(cos2θ+cos3θ+…+cos2nθ+cos2n+1θ)≥(+2)， 当且仅当θ=时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考仿真卷(二) (时间：120分钟　分值：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知a∈R，若(a-2)+(a-1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知命题p：∀x∈R，x2>0；命题q：∃x>0，ln x<0.则(　　) A.p和q都是真命题 B.p是假命题，q是真命题 C.p是真命题，q是假命题 D.p和q都是假命题 3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 4.已知向量=(3，m)，=(1，)，且|+|=|-|，则△ABC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 5.下列说法不正确的是(　　) A.现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4 B.某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据3x1+1，3x2+1，…，3x10+1的方差为18 D.若事件A，B相互独立，P(A)=，P(B)=，则P(B)= 6.已知tan α=2，tan(α+β)=-1，则等于(　　) A. B. C.2 D. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=BC=2，PA=PB=，PC=PD=，则该四棱锥的体积为(　　) A.1 B.2 C. D. 8.对于∀x∈[0，1]，f(x)+f(1-x)=2，且f(x)=2f，当0≤x1≤x2≤1时，f(x1)≤f(x2)，则f等于(　　) A. B. C. D. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期大于，若曲线y=f(x)关于点中心对称，则下列说法正确的是(　　) A.f=- B.y=f是偶函数 C.x=是函数f(x)的一个极值点 D.f(x)在上单调递增 10.设抛物线C：x2=4y的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结论正确的是(　　) A.点P到F的距离比到x轴的距离大2 B.点P到直线y=x-3的最小距离为 C.以PF为直径的圆与x轴相切 D.记点P在C的准线上的射影为H，则△PFH不可能是正三角形 11.函数y=ex叫自然指数函数，是一种常见的超越函数，它常与其他函数进行运算产生新的函数.已知函数f(x)=ex，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)在上单调递减 B.函数f(x)既有极大值，也有极小值 C.方程f(f(x))=0有2个不同的实数解 D.在定义域内，恒有exf(2-x)+e2-xf(x)=4e2 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥1，n∈N)，若a5>a4，且a5>a6，则ai=　　　　　.  13.(2025·松江模拟)有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有　　　　　种不同的停放方法.  14.已知△ABC中，2(cos2A-cos2B+sin2C)=sin Bsin C. (1)cos A=　　　　　；  (2)D为边BC的中点，若AD=AB，则=　　　　　.  四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an(an+1). (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)证明：++…+<2.(7分) 16.(15分)(2025·长沙模拟)某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高.已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立. (1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标xi，yi(i=1，2，3，4，5)，数据如表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 x 2 4 5 6 8 y 3 4 4 4 5 试求y与x之间的样本相关系数r，并利用r说明y与x的线性相关程度；(若|r|>0.75，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高)(7分) (2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机；若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机，求操作成功的次数的数学期望.(8分) 附：r=， ≈0.95. 17.(15分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面边长为2，A1B1=AB，M为BC的中点，已知点P满足=(1-λ)+λ+λ，其中λ∈(0，1). (1)求证：D1P⊥AC；(6分) (2)已知平面AMC1与平面ABCD夹角的余弦值为，当λ=时，求直线DP与平面AMC1所成角的正弦值.(9分) 18.(17分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，C上一点P满足cos∠F1F2P=-，且△PF1F2的面积为2. (1)求C的方程；(5分) (2)过C的渐近线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TM||TN|的最小值.(12分) 19.(17分)函数f(x)=(1+x)r-rx-1(x>-1，且r>0). (1)当r≠1时，判断f(x)的单调性；(4分) (2)若θ∈，判断2cos2θ与的大小(n∈N*，且n≥2)，并说明理由；(5分) (3)证明：对于任意的n∈N*，θ∈，有(sin2θ+sin3θ+…+sin2nθ+sin2n+1θ)+(cos2θ+cos3θ+…+cos2nθ+cos2n+1θ)≥(+2).(8分) 学科网（北京）股份有限公司 $