27.2.2 反比例函数图象和性质的综合运用（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的综合运用，通过课前3道点坐标比较函数值大小的题目复习旧知，搭建从性质理解到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题链引导探究，结合待定系数法和k的几何意义，培养数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（模型观念）。如例2由图象分支求m范围，练习中函数交点问题用方程思想，帮助学生深化性质理解，教师可高效开展教学。

27.2　反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数图象和性质的综合运用 人教版 九年级 数学（上） 第27章 反比例函数 新课导入 1．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－上，则y1，y2的大小关系为_________． y1>y2 2 2．若点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_________． 3．点A(－2，a)，B(－1，b)，C(3，c)在双曲线y＝(k>0)上，则a，b，c的大小关系为_______． y2>y1>y3 c>a>b 探究新知 例1 已知反比例函数的图象经过点A(−2，4). 点A(－2，4)在第几象限？ A(−2，4) 点A(－2，4)在第二象限. 解：因为点A(－2，4)在第二象限， 所以这个函数的图象位于第二、第四象限， 在每一个象限内，y随x的增大而增大. （1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ A(−2，4) 对于第(1)问，还有其他的解答方法吗？ 要判断函数的性质，我们首先可以求反比例函数的解析式. 求反比例函数的解析式一般用什么方法？ 待定系数法 解：设这个反比例函数的解析式为y＝ . 已知图象经过点A(－2，4)， 将x=－2，y=4代入解析式： 4＝ . 解得：k=4×(－2)=－8. 所以这个反比例函数的解析式为：y＝－ . 因为k<0, 所以这个函数的图象位于第二、四象限. 在每一个象限内，y随x的增大而增大. （2）点B(1，−8)，C(2，−3)，D(2，4)是否在这个函数的图象上？ A(−2，4) B(1，−8) C(2，−3) D(2，4) y＝－ 因为点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上. 我们如何判断点在不在函数的图象上？ 例2 图中的曲线是反比例函数 y = 的图象的一支，根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1) 和点B(x2，y2). 如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 反比例函数图象的分布有哪几种可能？ ①位于第一、第三象限; ②位于第二、第四象限. 位于第一象限. 由图可知这个函数的图象的一支位于第几象限？ y = 所以另一支必位于第几象限？ 怎么求常数m的取值范围？ 位于第三象限. y = m−5>0， 解得m>5， 要比较y1和y2的大小，可以根据反比例函数的什么来解答？ y = 可以根据反比例函数的增减性（单调性）来解答. 因为m－5>0，所以这个函数的性质是什么？ 因此当x1>x2时，y1和y2有怎样的大小关系？ 在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小， y = y1＜y2 B(x2，y2) A(x1，y1) x2 x1 第(2)问除了课本上的解答方法，还有其他方法吗？ 如图①，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，连接PO.若S△PAO＝8，则这个反比例函数的解析式是_________； y＝－ 如图②，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，四边形PAOB的面积为12，则这个反比例函数的解析式是__________． y＝－ 你有什么发现？ 知识归纳 已知反比例函数的图象经过点A(a，b)(其中a≠0，b≠0)，可求出这个反比例函数的解析式．解题步骤如下： (1)设这个反比例函数的解析式为________； y＝ (2)把x＝______，y＝______代入这个反比例函数的解析式，解出________； (3)所求的反比例函数的解析式为________； (4)过点A分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积S＝______． a b k＝ab y＝ |k| 例 1 例题与练习 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点． (1)根据图象，写出点A，B的坐标； 解：(1)A(－6，－2)，B(4，3). (2)求出两函数的解析式； (2)把B(4，3)代入y＝，得3＝， ∴m＝12， ∴y＝. 把A(－6，－2)，B(4，3)代入y＝kx＋b， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋1. (3)根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ (3)由图象可知，当－6<x<0或x>4时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 例 2 如图，已知反比例函数y＝(k>0)的图象经过点A(1，m)，过点A作AB⊥y轴于点B，且△AOB的面积为1. (1)求m，k的值； 解：(1)由已知，得S△AOB＝×1×m＝1， 解得m＝2. 把A(1，2)代入y＝，得k＝2. (2)若一次函数y＝nx＋2(n≠0)的图象与反比例函数y＝的图象有两个不同的公共点，求实数n的取值范围． (2)由(1)知反比例函数的解析式是y＝， 则＝nx＋2有两个不同的解． 方程整理，得nx2＋2x－2＝0， 则Δ＝4＋8n>0， 解得n>－且n≠0. 1.已知一个反比例函数的图象经过点A（2，6）. （1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ 第一、三象限 在每一个象限内， 随 的增大而减小 （2）点B（3，4），C（−2，−4），D（2，−6）是否在这个函数的图象上？为什么？ B（3，4） C（−2，−4） D（2，−6） 2.反比例函数 y = 的图象的一支位于第二象限, 图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 第四象限 所以 的取值范围是 . 第二、四象限的反比例函数，， 3.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上. 如果x1<x2，且x1，x2同号，那么y1，y2有怎样的大小关系？为什么？ 反比例函数 中 ， 在每个象限内， 随 的增大而减小. 已知 且 同号，说明两点在同一象限： 若 ，则 ； 若 ，则 . 所以结论： 4．反比例函数y＝与正比例函数y＝2kx在同一个平面直角坐标系中的图象不可能是下列选项中的 ( ) D 5．如图，双曲线y＝与直线y＝－x交于A，B两点，且点A(－2，m)，则点B的坐标是 ( ) A．(2，－1) B．(1，－2) C．(，－1) D．(－1，) A 6．如图，已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； 解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限， 则m－7>0， 解得m>7. (2)O为坐标原点，点A在该反比例函数图象位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值． (2)设线段AB交x轴于点C. ∵△OAB的面积为6, ∴△OAC的面积为3. ∴(m－7)＝3， ∵点B与点A关于x轴对称， ∴AC＝BC. 解得m＝13. 课堂小结 1．反比例函数图象上点的坐标特征． 2．反比例函数与一次函数的交点问题． 3．反比例函数中系数k的几何意义． 随堂检测 1、已知反比例函数y=的图象经过点（2，-4），下列说法正确的是（　 　） A. 点（-4，1）在它的图象上 B. 它的图象分布在一、三象限 C. 当x>0时，y随x的增大而增大 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 C 2、在反比例函数 (k<0)的图象上有三点 P1 (x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，若 x1<x2<0<x3 ,则下列结论正确,的是( ) A. y1<y2<y3 B. y3<y1<y2 C. y3<y2<y1 D. y1<y3<y2 B 3、如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为－2，当y1＜y2时，x的取值范围是(　　) A．x＜－2或x＞2 B．x＜－2或0＜x＜2 C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞2 B 4、正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点的纵坐标为4.求当x=-2时，反比例函数y=的对应函数值. 解：由题意可知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象均过点（4，4）， 所以4 = ， 所以反比例函数为y = . 当x=−2时，反比例函数y = = −8. 所以k=16， 作业布置 (1)教材P73　习题27.2第4，6题； (2)对应课时练习． $