2026年中考数学复习《相似三角形的应用》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 聚焦相似三角形实际应用，以“模型建构-比例计算-跨情境迁移”为主线，系统整合A字模型、镜面反射等解题方法，强化数学眼光与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|14题（选择/填空）|相似比转化（对应边/高/影长）、构造A字模型|从相似性质（比例关系）到实际测量（树高/河宽/视力表）| |综合实践|6题（解答题）|动态问题分类讨论、跨学科建模（杠杆/光学）|结合函数思想与几何直观，构建“性质-模型-应用”逻辑链|

2026年九年级数学中考复习《相似三角形的应用》考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、单选题 1．如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字高度为，当测试距离为时，最大的“E”字高度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，港口B位于岛A的北偏西方向，灯塔C在岛A的正东方向，，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，，则的值是（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 3．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面的宽度为（   ） A． B． C． D． 4．为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 5．图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，，点到的距离为4米，点到的距离为2米．若像的高度米，则物体的高度为（    ） A．2.4米 B．2米 C．1.6米 D．1.2米 6．为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 7．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小亮在点处测得自己的影长，沿方向从后退到处，测得自己的影长，如果小亮的身高，则路灯杆的高度是______米． 9．如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是_____． 10．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 11．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 12．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______cm． 13．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为的竹竿影长，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示．他测得留在地面部分的影子长，留在墙壁部分的影高，则树的高度为_____． 14．某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 三、解答题 15．综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． (1)当时，证明：，并据此完成填空； (2)证明：． 16．《金戈》是以紫铜锻造而成，突出表现了秦国在统一历程中推行“耕战”国策的雄略主题，周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量这座雕塑最高点到地面的距离．如图，小华在点D处竖立一根标杆，小亮站在斜坡的点F处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在E处时，他的视线从E点通过标杆顶端C点正好落在雕塑顶端A点处．已知、、均与地面垂直，测得米，米，点F到地面的距离米，米，米，，点B、D、G、M、H在一条水平线上，图中所有点均在同一平面内，求雕塑最高点到地面的距离． 17．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点恰观测到露台A点；当他位于点时，视线从点通过D点正好落在遮阳篷B点处．这样观测到的两个点A，B间遮阳篷的宽点C在上，，均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米，请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽约为多少米？（结果精确到米） 18．【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，则此时刻角的正切值_________； ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天14时不被阳光照射到，身高1.1米的小明将绿萝搬至14时刚好不被阳光照射到的地方，请通过计算判断他在绿萝摆放处站直时头顶是否会碰到摇臂？ 19．问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直于地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 (1)人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． 【探究二】 (2)如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 (3)通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长． 20．综合与实践： 背景 晚上小明在广场上散步，如图①，，是广场上的两根电线杆，小明站在点处，在两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，． 素材1 两盏路灯，的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 ，，，，在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题 提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 (1)如图②，当小明影子长为时，小明到电线杆的距离为多少？ (2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长发生变化，请说明理由． (3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 参考答案 1．A 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的对应边成比例，得出，据此代入数值求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数求出，在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 3．B 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：， 第二个高脚杯盛液体的高度为：， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】注意相似三角形的对应高之比等于相似比． 4．A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 5．C 【分析】过点O分别作于点E，延长交于点F，推导出，继而得出，得到，即可解答． 【详解】解：过点O分别作于点E，延长交于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴物体的高度为． 6．A 【分析】分别根据两方案数据计算的值即可． 【详解】解：方案一：∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 方案二：过点G作交于点F， 可知四边形是矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 无数据，无法判断树高度； 即能计算出树高度的是方案一． 7．C 【详解】解：， ， ． 8．5.1 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：5.1 9．/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为C，再证明A字模型相似，从而可得，过点A作，垂足为D，然后证明A字模型相似，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，垂足为C， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 如图：过点A作，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得：， ∴跷跷板的支撑点O到地面的高度是， 故答案为：． 10．36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 11． 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 12．10.4 【分析】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 13．/米 【分析】本题主要考查的是相似三角形的应用：构造相似三角形进行求解即可． 【详解】解：如图： 为竹竿，为它的影子，， 为树，是树的影子，． 过作于，则由题可知， ， ， ∴四边形是矩形， ∴树高， 故答案为：． 14．() 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 15．(1)证明见解析，等大 (2)见解析 【分析】（1）记左边点F为，右边点F为，则，过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为，四边形是矩形，，故，，，，继而得出，从而得到，则，再用证明，从而得到，可知在两倍焦距处成倒立等大的实像； （2）由（1）得，则，再两边取倒数并除以即可证明． 【详解】（1）解：记左边点F为，右边点F为，则， 过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为， 则四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∴在两倍焦距处成倒立等大的实像； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴两边取倒数得：， ∴两边同时除以得：，即． 16．雕塑最高点到地面的距离为米． 【分析】过点E作于点N，交于点O，则四边形是矩形，证明，求解即可； 【详解】解：如图，过点E作于点N，交于点O， 则四边形是矩形， 故米， 与地面垂直，， 点F在上． ， ， 米， 米，米， 由四边形是矩形， 得米，米，米， ， ， ， ， 解得米， 米， 雕塑最高点到地面的距离为米． 17．米 【分析】延长交于点，延长交于点，求出相关线段的长度，证明，，得出对应边成比例，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∴， ∵，，均垂直于， ∴，，， 根据题意得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴遮阳篷的宽约为米． 18．(1)①，② (2)会，计算见解析 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形和相似三角形的判定和性质即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ； ②如图，过点作于点， ，， 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 作交于点，交于点，则四边形和是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴他在绿萝摆放处站直时头顶会碰到摇臂． 19．(1) (2)下移的距离为 (3)最小的镜子长为 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度，如图： ∴， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度，如图： ∴， ∴最小的镜子长为． 20．(1) (2)的长不变， (3)此时小明头顶离地面的最大高度 【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明，得出，根据，证明，得出，求出，即可求出结果； （3）由，得出，得出，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ，，， ， 解得， ，； （2）解：的长不变， 连接，如图所示： 根据题意得，，， ， ， 根据（1）可知， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：同（2）可得， ， ，即， ，，， ， 解得， 此时小明头顶离地面的最大高度． 学科网（北京）股份有限公司 $