精品解析：山西运城市康杰中学2026届高三下学期保温训练（四）数学试题

康杰中学2026届保温训练题（四） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（ ） A. 15种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论男生甲和女生乙是否都选，根据分类加法计数原理结合组合数运算求解即可. 【详解】由题意，分成两类情况： ① 男生甲和女生乙都选，则从剩余3名男生和2名女生中选2人，不同的选法共有种； ② 男生甲和女生乙都不选，则从剩余3名男生和2名女生中选4人，不同的选法共有种； 由分类加法计数原理，不同的选法共有种. 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据的周期性可知，，， 所以， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3. 在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】记事件A为“甲打破纪录”，事件B为“乙打破纪录”， 因为，，， 所以在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为==. 4. 设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助双曲线的定义及几何性质列出不等式求出离心率范围. 【详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 5. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由图1和图2可得，随的增大而增大，随的增大而减小， 所以，所以，故B正确； 因为图1的数据点比图2的更集中，所以， 所以，，故A错误，C正确； ，故D正确. 6. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，所以. 7. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值. 【详解】函数的定义域为，由，， 令，则，解得； 令，则，则； 因为①， ①式中，用替换，则， 故，所以为偶函数. ①式中，用替换，则， 所以，即②， ①②可得，，则③， ③式中，用替换，得④， ④式中，用替换，⑤， 由④⑤得，则为周期函数且周期为6， 所以，， 故. 故选：C. 8. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知与可得，再由椭圆定义求解离心率． 【详解】由题意，为等腰三角形，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 即C的离心率为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：与圆：，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆心距 C. 圆与圆相交 D. 圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【解析】 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 取得最小值时， D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；代入点，计算出的值，可判断B；利用三角函数求出取得最小值时的，可判断C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D. 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得， 又由图象知，将点 代入中得：  ，即 ， 解得 ， 又因为 ，所以 ，故选项 B 错误； 因为函数 ， 令 ，即 ， 解得 ，故选项 C 正确； 将图象向左平移  个单位，得 ， ，图象不关于原点对称，故选项 D 错误. 故选：AC 11. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 13. 已知数列满足，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用代入法，求出数列前几项，进而判断该数列是周期数列，运用数列的周期进行求解即可. 【详解】因为数列满足，且， 所以，，， 所以该数列的周期为，因此. 14. 已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】函数在处取得极大值，先由导数等于，求出参数的可能值，利用求极值的方法分别判断哪一个值符合题意，从而得到的值. 【详解】由题意可知，， 函数的定义域为， 求导得， 因为函数在处取得极大值，所以有， 即，整理得，解得或， 当时，， 当时，，解得或， 则在和上是单调递增函数； 当时，，解得， 则在上是单调递减函数； 故在处取得极小值，不满足题意； 当时，， 当时，，解得或， 则在和上是单调递增函数； 当时，，解得， 则在上是单调递减函数； 故在处取得极大值，满足题意； 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【小问1详解】 当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 16. 某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 10 20 30 40 50 花费时间（分钟） 64 69 75 82 90 （注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：，）. （1）请根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间. 【答案】（1） （2）95.5分钟 【解析】 【分析】（1）计算平均值，再利用回归方程公式计算得到答案. （2）将代入回归方程计算得到答案. 【小问1详解】 由数据得，， 因为，，所以， ，所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 当时，（分钟）， 因此可以预测制作60个这种模型需要花费95.5分钟. 17. 已知抛物线，其焦点为，是上的一点. （1）求； （2）直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义来求焦半径即可； （2）利用直线与抛物线联立方程组，结合韦达定理和面积公式即可求解. 【小问1详解】 将代入，得，其中， 所以； 【小问2详解】 直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 18. 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、同角三角函数关系式、两角和的正弦公式及诱导公式化简所给等式，即可求得，从而求得； （2）利用正弦定理及三角恒等变换，求出的取值范围，再由面积公式求得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 19. 如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；点为的中点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的位置，直接利用线面角的计算公式计算即可. 【小问1详解】 证明：是正三角形，为的中点，． 又因为，， 所以，，又因为 所以平面，又因为平面，， ，平面，平面， 平面． 【小问2详解】 存在，理由如下： 取的中点，由（1）及已知得，， 点，分别为，的中点， ，，． 又，，，两两垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ．设，， ，， ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ．由已知得，即， 解得或（舍去），故，此时，则是的中点， 存在满足条件的点，点为的中点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026届保温训练题（四） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 从4名男生和3名女生中选4人组成学习小组，要求男生甲和女生乙要么都选，要么都不选，则不同的选法共有（ ） A. 15种 B. 18种 C. 24种 D. 30种 2. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在一次跳远决赛中，甲、乙两名运动员打破赛会纪录的概率分别为0.2和0.3，且两人同时打破纪录的概率为0.1，则在乙打破纪录的条件下，甲也打破纪录的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于变量有观测数据，得散点图1；对于变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设为等差数列，为其前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知，是椭圆C：（）的左右焦点，点P在椭圆上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆：与圆：，则（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 圆心距 C. 圆与圆相交 D. 圆与圆的公共弦的长为 10. 函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. C. 取得最小值时， D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 11. 在平行六面体中，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13. 已知数列满足，且，则___________． 14. 已知函数在处取得极大值，则实数的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 16. 某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 10 20 30 40 50 花费时间（分钟） 64 69 75 82 90 （注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，参考数据：，）. （1）请根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间. 17. 已知抛物线，其焦点为，是上的一点. （1）求； （2）直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 18. 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； 19. 如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $