精品解析：陕西西安市丁准高考补习培训学校2025-2026学年第二学期高三年级五月月考数学试卷

高三数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以． 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 3. 在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解. 【详解】解：由，但时不一定成立，例如当， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题. 5. 已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【详解】因为，事件与对立，所以， 又，与互斥，所以. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 7. 设是等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】举一反例：，，，满足，而，A错； 由A中反例，，而，B错； 当时，C错； 是等差数列，若，则公差，数列各项均为正，因为，所以，D对. 8. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，由即可求解. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 所以， 所以， 不妨设平面的法向量为， 则，令，解得，即取平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确； 又，当且仅当时取等号，所以，故B正确； ，故C错误； ，当且仅当时取等号，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目条件求出函数，从而求出，则相关的性质就得出了. 【详解】对于A选项，由图象可知，所以； 又，所以，又，所以，所以 . 由五点作图法可知：，解得，所以， 则，故A错误； 对于B选项，根据A可知函数，故当时，，此时，单调递减，故B正确； 对于C选项，已知函数，因此，故C正确； 对于D选项，已知函数，因此，故D正确. 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离： 对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. 对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得， ，所，. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案. 【详解】的展开式的通项公式为， 令可得 所以的展开式中的系数是 故答案为： 13. 已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 14. 在中，，与共线，则函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示可得，进而得，即可求解，结合余弦的二倍角公式以及余弦的和差角公式化简得，然后根据辅助角公式得，进而根据角的范围就可求解值域． 【详解】由题意知， 整理得， 即，解得， 因为为的内角，所以， 由知为锐角，所以，则， 所以. 又，所以，所以，因此， 故函数的值域为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若角的平分线交于点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用二倍角公式和正弦定理对条件进行化简后再通过三角函数的和差化简求出的角度. (2)通过面积公式求出，以及的面积后，利用这一等式化简求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 因为，， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 即， 即， 又，， 故，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又是角的平分线， 所以， 因为，，所以 ， ， ， 又， 即 ，得， 所以. 16. 某人投掷一枚质地均匀的硬币玩跳棋类游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，⋯，第50站，.一枚棋子开始时位于第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次.若掷出正面，则棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站.设棋子跳到第站的概率为. （1）当游戏开始时，求投掷硬币4次后棋子所走站数之和的分布列； （2）求与的关系式，并求. 【答案】（1）分布列见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后列出分布列. （2）根据棋子跳动的规则找出与的关系式，然后通过构造等比数列求出的通项公式. 【小问1详解】 由题意得的所有可能取值为，，，，， ； ； ； ； ；. 所以的分布列为 4 5 6 7 8 【小问2详解】 根据题意，棋子要跳到第站，有两种情况，由第站跳1站到第站， 其概率为，也可以由第站跳2站到第站.其概率为， 故， 等式两边同时减去，得， 由题可得，，， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故；；；， 累加得， 则. 即. 17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，其离心率为2.过的右焦点的直线与的右支交于，两点，且点位于第一象限. （1）求的方程； （2）直线，与直线的交点分别为，，点满足. （i）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）证明：点关于直线的对称点在上. 【答案】（1） （2）（i）是定值，定值为；（ii）由（i）知，又，，得， 所以，直线的方程为 . 设点关于直线的对称点为，有， 则 解得，， 即. 由点在直线上可得， 所以 ， 所以点在直线上，即点关于直线的对称点在上. 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标和离心率建立等式，求出，可得双曲线方程. （2）（i）设直线方程，联立双曲线，韦达定理求出两根之和，两根之积，再分别设坐标，建立直线方程与直线相交求出坐标，同理得出坐标，最后将韦达定理带入的坐标式中化简，可得定值. （ii）根据坐标和条件，求出坐标，进而求出直线方程，接着设坐标，根据两直线斜率垂直和中点坐标在直线上建立方程，代入直线，可证. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以， 因为，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为,，，，， 由联立得， 且. 所以，. 又直线的方程为，令， 得，同理，， 所以，， 所以 故为定值. （ii）略 18. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，求出内切球体积即可； （2）运用古典概型，结合互斥事件和独立乘法公式求解即可； （3）过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角．运用余弦定理，求解证明即可. 【小问1详解】 设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意， 当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大， 此时设四棱锥的高为h，则． 所以， 正八面体每个面的面积是． 由得：．解得．所以． 【小问2详解】 在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点， 该试验的样本空间 共20个样本点，所以． 每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型． 设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片 ， 所以，从而． 设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片， 任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形， 所以，从而． 记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M， ，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义， 得 因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为． 【小问3详解】 证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角． 在中，；① 在中，．② 由①②得， 从而， 所以，即． 所以为定值． 19. 设函数，. （1）若对，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明：由题意知，，故， 构造函数， 则， 当时，均单调递增，所以函数在上单调递增， 而，则在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 即， 当时， ， 综上所述， 恒成立，即； （ii）不存在，在数列中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： ，则，， 设，即，可得， 因为在上单调递增， 对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又是递增数列，故. 假设数列中存在连续三项构成等差数列，则， 故， 整理得，该方程无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等差数列. 【解析】 【分析】（1）将已知不等式分离参数，转化成a大于等于一个函数，求出这个函数的最大值即可； （2）（i）将求出，再构造一个函数，求出这个函数在的n的取值范围的最小值是否大于等于0；（ii）将求出，并假设存在连续三项构成等差数列，看是否能求出具体值. 【小问1详解】 对，都有恒成立， 即，， 所以，， 所以，. 令，，即，， 令，，则. 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，. 所以， 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定 3. 在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则 A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（ ） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 设是等差数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点中心对称 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 13. 已知是奇函数，则不等式的解集是______. 14. 在中，，与共线，则函数的值域为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若角的平分线交于点，且，，求的面积. 16. 某人投掷一枚质地均匀的硬币玩跳棋类游戏，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，⋯，第50站，.一枚棋子开始时位于第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳一次.若掷出正面，则棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站.设棋子跳到第站的概率为. （1）当游戏开始时，求投掷硬币4次后棋子所走站数之和的分布列； （2）求与的关系式，并求. 17. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，其离心率为2.过的右焦点的直线与的右支交于，两点，且点位于第一象限. （1）求的方程； （2）直线，与直线的交点分别为，，点满足. （i）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）证明：点关于直线的对称点在上. 18. 唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 19. 设函数，. （1）若对，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $