精品解析：陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期5月模考数学试题

陕西师大附中2025—2026学年度高三年级 第十次模考数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 0或2 2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（    ） A. 107 B. 110 C. 132 D. 134 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上的简图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 8. 已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. 210或90 B. 210 C. 或 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知函数，下列说法正确的有（     ） A. 对任意，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为b+1 D. 若，且方程有两个实数解，则 11. 双曲线：的离心率为.定义.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 若且动点轨迹长度为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，则的最小值为________. 13. 已知函数，则__________. 14. 若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 四、解答题（本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知的内角、、的对边分别是、、，且. （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 17. 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 18. 某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． （1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； （2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； （3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度高三年级 第十次模考数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 0或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据中，当时，为纯虚数列式求解． 【详解】复数为纯虚数，则 ，解得：或，且； 综上． 2. 高三某班10名同学数学期末成绩（满分150）依次为：100，104，110，115，120，125，130，134，140，145，这组数据的下四分位数为（    ） A. 107 B. 110 C. 132 D. 134 【答案】B 【解析】 【详解】，位置为第3个数据，所以这组数据的下四分位数为. 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ， ， 所以 4. 函数在区间上的简图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算时的函数值，排除错误选项即可. 【详解】由，可排除BD； 由，可排除C. 故选：A 5. 已知，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性可推得函数的一个周期，利用周期结合给定解析式计算即可． 【详解】因为是定义在上的偶函数，故； 又因为，则； 故，可得的一个周期为3， 则 . 8. 已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则数列的前20项和为（ ） A. 210或90 B. 210 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用等比中项的性质结合等差数列通项公式可求出，然后求出数列的通项公式，最后根据并项求和就可求解 . 【详解】设等差数列首项为，已知公差，故 ， 因为，，成等比数列，由等比中项性质： ， 代入表达式得：  ，整理得： ，解得或， 若，则，等比数列不能含0项，故舍去，仅保留，故 , 数列 的前20项和分组得：  ， 对每组用平方差公式：  ， 因此：  . 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知数列满足，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得，则， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，故A正确，B错误； 则，即，即数列是递减数列，故C正确，D错误. 10. 已知函数，下列说法正确的有（     ） A. 对任意，函数是偶函数 B. 若，则函数在上存在极值点 C. 若，则函数在上的极小值为b+1 D. 若，且方程有两个实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，对任意，函数是偶函数，故A正确. 当时， ， ， 当 时，，故，在上单调递减，无极值点，故B错误. 当时， ，， 令，则 ，故在上单调递增， 又，所以当时，；当时， ， 因此是在上唯一的极小值点，为，故C正确. 当时，结合C选项可知，在处取得最小值，方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 11. 双曲线：的离心率为.定义.下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的取值范围是 D. 若且动点轨迹长度为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先明确集合的定义，再联立直线与双曲线方程判断直线与双曲线无交点的情况；结合双曲线离心率公式推导的取值范围；确定轨迹及长度，结合圆的弧长公式，推导离心率的值. 【详解】联立直线与双曲线 ， 整理可得，直线与双曲线无交点等价于： 若，需满足； 若，仅当时无交点（此时方程无解）； 若，必有交点.结合题设，逐一分析选项： 选项A，对，，满足条件； ，且，直线是双曲线的渐近线，与双曲线无交点， 故 ，A正确； 选项B，若，对，， 且，不变，原条件仍然满足，故， B正确； 选项C，若，则，代入得：  ，整理得，，，C错误； 选项D，动点满足，且存在使得，等价于， 代入得（​）， 轨迹为单位圆上满足的两段弧，总弧长， 得，代入得， 故​​，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【详解】由向量三角不等式可知：当与方向相反时，有最小值， 所以的最小值为. 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义可得. 【详解】根据导数的定义，极限 ​表示函数在处的导数值 ， 因为求导，， 所以. 14. 若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【详解】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为， 当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值 ， 设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为， 根据上述关系可列出方程：，解得， 所以球的表面积最大值为. 四、解答题（本题共5小题， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，轴截面为四边形，在下底上，，为中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得出，推导出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 在圆台中，上、下底面半径分别为和，高为，所以， 因为为的中点，所以， 易知平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，故平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知的内角、、的对边分别是、、，且. （1）求； （2）若，的平分线与相交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由整理得出，结合余弦定理可得出关于的二次方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 即， 因为、，则，所以，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，所以， 又，即，整理得. 又由余弦定理，得， 所以，即，解得或（舍去）， 所以的面积为. 17. 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）存在，当时，函数的最小值为2 【解析】 【分析】（1）方法一：利用反证法证明即可. 方法二：对函数求导，分类讨论的单调性，结合函数的极值点定义证明即可. （2）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2. 【小问1详解】 方法一：函数的定义域为，， 若为函数的极值点，则必有， 由得， 当时，，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递增，不是的极值点， 当时，，故不是的极值点， 综上，不是函数的极值点， 方法二：函数的定义域为，. 当时，. 令，则. 当时，在上恒成立， 则在上单调递减，即在上单调递减. 当时，；当时，； 因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点. 当时，令，即，解得. 若，即，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 若，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 当时，，在和上各有一个零点，设为，， 在上，，，单调递减； 在和在上，，，单调递增； 所以不是极值点. 综上，不是函数的极值点. 【小问2详解】 由（1）知，，. . 当时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 当时，令，即，解得. 若，即时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 若，即时，在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以. 令，解得，符合题意. 综上，存在，使得函数的最小值为2. 18. 某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． （1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； （2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； （3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）两次均使用第一代技术 【解析】 【分析】（1）利用对立事件，计算两次均失败的概率，再用1减去即得至少一次成功的概率； （2）根据实验流程分类讨论所有可能成功次数，分别计算每种情况的概率，得到分布列后求期望； （3）设使用第一代技术的次数为，写出总成本与期望成功次数的表达式，再求净收益期望关于的线性函数，由单调性确定最优解. 【小问1详解】 设使用第一代技术编辑成功为事件，使用第二代技术编辑成功为事件，两次编辑至少成功一次为事件， 则， 所以， 所以使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为； 【小问2详解】 根据题意，随机变量的可能取值为， 即所有实验均失败，所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段均失败和第一阶段均失败且第二阶段恰好成功1次， 所以； 分为三种互斥情况： ①第一阶段成功2次，实验停止，概率为； ②第一阶段成功0次，第二阶段成功2次，概率为 ； ③第一阶段成功1次，第二阶段成功1次，概率为； 所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段2次均成功， 所以， 所以整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列为： 0 1 2 3 所以； 【小问3详解】 设2次编辑中使用第一代技术的次数为，所以可能的取值为， 所以使用第二代次数为， 设总成本为，所以， 总成功次数期望，设净收益为， 所以， 函数值随增大而增大，所以时净收益最大，即两次均使用第一代技术. 19. 【信息1】已知椭圆的方程还可以由椭圆第二定义（椭圆上的动点满足：到一个定点的距离与到不经过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，其中）得到． 【信息2】由椭圆的光学性质得到：从焦点处发出的一束光线，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；继续传播，射向椭圆上的点，经椭圆反射后经过焦点；如此反复．设第次入射点为，规定：当为奇数时，；当为偶数时，． 已知椭圆的焦点为和，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）若，记，，求证：数列为等比数列，． 【答案】（1） （2）证明见解析； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）由椭圆的光学性质得，，三点共线，设所在直线方程为，进而结合椭圆的第二定义，根据韦达定理化简整理即可证明. （3）由椭圆的对称性得，则，再结合椭圆的定义得，进而建立递推关系，结合等比数列定义证明数列为等比数列，即可求得通项公式得 ，最后结合等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 由题知椭圆焦点在轴上，设方程为， 因为焦点为和，点在椭圆上 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，， 因为当为奇数时，； 所以，，，三点共线， 故设所在直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 所以，由椭圆的第二定义，， 所以， 因为， ， 所以 ， 综上， 【小问3详解】 由（2）知，即， 由椭圆的对称性可知，， 所以，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为， 所以 ， 又，， 所以数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，整理得， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $