专题02 二次函数与几何图形综合：面积与存在性问题（6大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(全国通用)

专题02 二次函数与几何图形综合：面积与存在性问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 铅垂法、割补法求三角形的面积 题型02 四边形的面积问题 题型03 直角三角形存在性问题 题型04 等腰三角形存在性问题 题型05 平行四边形存在性问题 题型06 特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）存在性问题 模块三、综合实战演练 一、面积问题的重要技巧：铅垂法与割补法 一、铅垂法（首选：三角形/四边形/多边形，无水平/竖直边适配） 核心公式：三角形面积（多边形可拆为多个三角形用此法求和） 关键定义： - 水平宽：图形在x轴上的水平投影长度（两点横坐标的差值绝对值）； - 铅垂高：过顶点作竖直铅垂线，交对边于一点，该点与顶点的纵坐标差值绝对值。 标准化步骤： 1. 选边定宽：取图形一边为基准，确定其水平宽（横坐标差的绝对值）； 2. 作线求高：过对侧顶点作竖直铅垂线，交该边所在直线于点，计算铅垂高（纵坐标差的绝对值）； 3. 代公式计算：单三角形直接套公式，多边形连接对角线拆为多个三角形，分别求面积再相加。 核心技巧：设动点坐标为参数时，拆分为同高三角形可消参简化计算；优先选平行于x轴的边定水平宽。 二、割补法（通用：所有不规则图形，顶点坐标已知适配） 分割法和补法，本质都是转化为规则图形，割法为“拆分求和”，补法为“大减小求差”，补法更常用。 1. 割法（拆分法） - 适用：四边形/多边形，可拆为三角形、梯形（有一条边易拆分）； - 步骤：连接图形的对角线/作竖直/水平辅助线，将不规则图形拆分为2~3个规则图形（三角形、矩形、梯形），分别求面积再相加。 2. 补法（补形法，高频） - 适用：顶点坐标均已知的任意不规则图形，无合适拆分边时用； - 步骤：① 以图形各顶点的横、纵坐标为边界，作最小的矩形/直角梯形，将不规则图形完全包含在内；② 计算矩形/梯形的总面积；③ 减去周围多余的直角三角形/小矩形的面积，剩余即为目标图形面积。 核心技巧：补形时优先作轴平行的矩形，多余图形均为直角图形，坐标求边长无计算难度；拆分/补形时尽量让辅助线平行于x轴/y轴。 二、特殊三角形与特殊四边形存在性问题的求解策略 一、特殊三角形存在性（直角/等腰三角形） 1. 直角三角形存在性 核心：分类讨论直角顶点（无明确时分3种情况），用**勾股定理/斜率垂直（乘积=-1）/向量垂直（数量积=0）**列方程。 步骤：① 设动点坐标（结合函数解析式表为单参数形式）；② 令三个顶点依次为直角顶点，分别列垂直条件方程；③ 解方程求参数，剔除三点共线、与已知点重合的解。 技巧：斜率不存在（竖直边）单独讨论，优先用坐标法简化计算。 2. 等腰三角形存在性 核心：分类讨论相等两边（无明确腰/底时分3种情况），用两点间距离公式列方程。 步骤：① 设动点坐标，用距离公式表示三边长度（含参数）；② 令任意两边相等，平方消根号列方程；③ 解方程求参数，验证三边关系（两边和大于第三边）、剔除三点共线解。 技巧：边长含根号时直接平方，减少根式计算。 二、特殊四边形存在性（平行四边形/菱形/矩形/正方形） 核心：先满足平行四边形基本性质，再添加特殊四边形专属约束；无明确边/对角线时，分定边为边、定边为对角线两类讨论，核心用中点坐标公式（对角线互相平分）列方程，避免斜率复杂讨论。 1. 平行四边形存在性 步骤：① 设动点坐标，确定已知定点；② 分“定边为边（对边平行且相等，横/纵坐标差分别相等）”“定边为对角线（中点重合，横/纵坐标和分别相等）”两类列方程；③ 解方程求参数，验证动点是否在函数图象上（有函数约束时）。 技巧：两定两动模型必分边和对角线，中点坐标公式为首选方法。 2. 菱形/矩形/正方形存在性 步骤：① 先按平行四边形求所有可能解，再添加对应特殊性质列约束方程；② 联立方程求解参数，验证图形特征； 专属约束： · 菱形：邻边相等（距离公式）或对角线垂直（斜率乘积=-1）； · 矩形：有一个直角（邻边斜率乘积=-1）或对角线相等（距离公式）； · 正方形：邻边相等+有直角或对角线相等且垂直，可结合“横纵坐标差相等+垂直”简化。 题型01 铅垂法、割补法求三角形的面积 1．如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， (1)求抛物线的解析式； (2)点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 2．已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 3．已知抛物线（是常数），抛物线的顶点为点． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的式子表示）； (2)若点和点在此抛物线上，且始终有，求的取值范围； (3)该抛物线与轴的两个交点分别为，，点在点的右侧，与轴的交点为．当，时，的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 4．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； (3)将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 5．已知抛物线的对称轴为y轴，过点且平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P的直线与抛物线交于C，D两点（C点在D点的左侧） ①当时，点Q为直线l下方的抛物线上的一点，求的面积的最大值； ②过点C、D分别作x轴的垂线，交x轴于点E、F，设，的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 核心：无水平/竖直边的三角形，优先铅垂法（核心）；不规则三角形可割补为直角三角形/矩形，用“大减小”计算。 1. 铅垂法（首选）： 步骤：① 取三角形一个顶点作铅垂线（竖直线），交对边于一点，将三角形拆为两个同高的小三角形；② 设顶点坐标，求铅垂高（竖直方向长度）和水平宽（底边水平长度）；③ 公式：。 2. 割补法： 步骤：将三角形补在矩形/直角梯形内，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，适用于顶点坐标易求的情况。 关键：设坐标时用字母表示动点，保留参数，面积公式中消参/化简。 题型02 铅垂法、割补法求四边形面积 1．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 2．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 4．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 5．如图，抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，且．点为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点 (1)a的值为 ；抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线L在点C和点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围； (3)当点的坐标满足：时，连接，，，若M为线段上一点，且分四边形的面积为相等两部分，求点M的坐标． 核心：将四边形拆/补为三角形/规则图形（三角形、矩形、梯形），再用三角形面积法计算，优先“拆为两个三角形”（铅垂法适配）。 1. 拆分法（主流）： - 连接四边形一条对角线，拆为两个三角形，分别用铅垂法/割补法求面积再相加； - 若为梯形/有水平/竖直边的四边形，直接用梯形公式/矩形面积公式计算。 2. 割补法： 补为矩形/大梯形，减去周围多余直角三角形/小矩形的面积，适用于顶点坐标均已知的不规则四边形。 关键：拆分对角线时选“计算简便的边”（如平行于坐标轴的对角线），减少计算量。 题型03 直角三角形存在性问题 1．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)若，为该抛物线上的两点，且，直接写出t的取值范围； (3)①如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接，，．当时，求点E的坐标； ②在①的条件下，若点G也在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点G的横坐标． 4．如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 核心：分类讨论直角顶点（无明确直角顶点时，分三种情况），结合勾股定理/斜率垂直（乘积为-1）/向量垂直（数量积为0）列方程，求解后验证坐标合理性。 1. 解题步骤： ① 设动点坐标为（结合函数解析式表示，如二次函数上动点设为）； ② 分类讨论：令三角形三个顶点中每个点依次为直角顶点； ③ 列方程： - 勾股定理：直角顶点为时，； - 坐标法：两直角边斜率乘积为-1（斜率存在时），或一条边水平、一条边竖直； ④ 解方程求动点坐标，剔除与已知点重合/三点共线的解。 2. 关键：无明确直角顶点时，必分三种情况，不遗漏；斜率不存在时单独讨论（如竖直边）。 题型04 等腰三角形存在性问题 1．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． (1)求这条抛物线的解析式； (2)为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 4．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 核心：分类讨论相等的两边（无明确腰/底时，分三种情况），结合两点间距离公式列方程，求解后验证。 1. 解题步骤： ① 设动点坐标，用距离公式表示出三角形三边的长度（含参数）； ② 分类讨论：令任意两边依次相等（如、、）； ③ 列方程：将相等两边的距离公式联立，解方程求参数； ④ 验证：剔除三点共线/两边和小于第三边的无效解。 2. 关键：边长含根号时，两边相等可直接平方消根号，简化计算；分类讨论不重复、不遗漏。 题型05 平行四边形存在性问题 1．如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 2．如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 3．如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式和点、点坐标； (2)若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，M为抛物线的顶点． (1)求点A、点B的坐标和这个二次函数的解析式； (2)若将该二次函数图象向上平移（）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包含边界），求m的取值范围； (3)点P是抛物线上一动点，交x轴于点Q，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 5．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 核心：分“定边为边/定边为对角线”两种情况，利用平行四边形“对边平行且相等/对角线互相平分（中点重合）”的性质列方程，核心用中点坐标公式（最简便，优先用）。 1. 解题步骤： ① 设动点坐标，确定已知的三个顶点（或两个定点，一个动点，一个待求动点）； ② 分类讨论： - 定边为边：令定边为平行四边形的一边，利用“对边平行且相等”（横坐标差、纵坐标差分别相等）列方程； - 定边为对角线：令定边为对角线，利用“中点重合”（中点坐标公式：两点横/纵坐标和相等）列方程； ③ 解方程求动点坐标，验证是否在函数图象上（若有函数约束）。 2. 关键：若为“两定两动”，必分定边为边/对角线两种情况；中点坐标公式是核心，避免斜率讨论的复杂计算。 题型06 特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）存在性问题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为B，一次函数的图像交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与x轴交于点H）． (1)求二次函数的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接，点F是线段上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点G的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； (3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 核心：在平行四边形存在性的基础上，添加特殊平行四边形的专属性质列方程，先满足平行四边形，再限制特殊条件，分步求解。 1. 菱形存在性 - 专属性质：邻边相等/对角线互相垂直； - 解题：先按平行四边形列方程，再添加“邻边距离相等”（距离公式）或“对角线斜率乘积为-1”列方程，联立求解。 2. 矩形存在性 · 专属性质：有一个直角/对角线相等； · 解题：先按平行四边形列方程，再添加“邻边斜率乘积为-1”（直角）或“对角线距离相等”（对角线相等）列方程，联立求解。 3. 正方形存在性 · 专属性质：邻边相等且有一个直角/对角线相等且互相垂直； 解题：先按矩形/菱形列方程，再添加另一组条件（如矩形+邻边相等=正方形，菱形+有直角=正方形），联立求解。 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，如图所示． (1)求这个抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，并把沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求出点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段的长． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知点D是直线上方的抛物线上一动点． ①当点D运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时D点的坐标和四边形的最大面积； ②连接，并把沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 9．如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； (3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． (4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 15．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与几何图形综合：面积与存在性问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 铅垂法、割补法求三角形的面积 题型02 四边形的面积问题 题型03 直角三角形存在性问题 题型04 等腰三角形存在性问题 题型05 平行四边形存在性问题 题型06 特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）存在性问题 模块三、综合实战演练 一、面积问题的重要技巧：铅垂法与割补法 一、铅垂法（首选：三角形/四边形/多边形，无水平/竖直边适配） 核心公式：三角形面积（多边形可拆为多个三角形用此法求和） 关键定义： - 水平宽：图形在x轴上的水平投影长度（两点横坐标的差值绝对值）； - 铅垂高：过顶点作竖直铅垂线，交对边于一点，该点与顶点的纵坐标差值绝对值。 标准化步骤： 1. 选边定宽：取图形一边为基准，确定其水平宽（横坐标差的绝对值）； 2. 作线求高：过对侧顶点作竖直铅垂线，交该边所在直线于点，计算铅垂高（纵坐标差的绝对值）； 3. 代公式计算：单三角形直接套公式，多边形连接对角线拆为多个三角形，分别求面积再相加。 核心技巧：设动点坐标为参数时，拆分为同高三角形可消参简化计算；优先选平行于x轴的边定水平宽。 二、割补法（通用：所有不规则图形，顶点坐标已知适配） 分割法和补法，本质都是转化为规则图形，割法为“拆分求和”，补法为“大减小求差”，补法更常用。 1. 割法（拆分法） - 适用：四边形/多边形，可拆为三角形、梯形（有一条边易拆分）； - 步骤：连接图形的对角线/作竖直/水平辅助线，将不规则图形拆分为2~3个规则图形（三角形、矩形、梯形），分别求面积再相加。 2. 补法（补形法，高频） - 适用：顶点坐标均已知的任意不规则图形，无合适拆分边时用； - 步骤：① 以图形各顶点的横、纵坐标为边界，作最小的矩形/直角梯形，将不规则图形完全包含在内；② 计算矩形/梯形的总面积；③ 减去周围多余的直角三角形/小矩形的面积，剩余即为目标图形面积。 核心技巧：补形时优先作轴平行的矩形，多余图形均为直角图形，坐标求边长无计算难度；拆分/补形时尽量让辅助线平行于x轴/y轴。 二、特殊三角形与特殊四边形存在性问题的求解策略 一、特殊三角形存在性（直角/等腰三角形） 1. 直角三角形存在性 核心：分类讨论直角顶点（无明确时分3种情况），用**勾股定理/斜率垂直（乘积=-1）/向量垂直（数量积=0）**列方程。 步骤：① 设动点坐标（结合函数解析式表为单参数形式）；② 令三个顶点依次为直角顶点，分别列垂直条件方程；③ 解方程求参数，剔除三点共线、与已知点重合的解。 技巧：斜率不存在（竖直边）单独讨论，优先用坐标法简化计算。 2. 等腰三角形存在性 核心：分类讨论相等两边（无明确腰/底时分3种情况），用两点间距离公式列方程。 步骤：① 设动点坐标，用距离公式表示三边长度（含参数）；② 令任意两边相等，平方消根号列方程；③ 解方程求参数，验证三边关系（两边和大于第三边）、剔除三点共线解。 技巧：边长含根号时直接平方，减少根式计算。 二、特殊四边形存在性（平行四边形/菱形/矩形/正方形） 核心：先满足平行四边形基本性质，再添加特殊四边形专属约束；无明确边/对角线时，分定边为边、定边为对角线两类讨论，核心用中点坐标公式（对角线互相平分）列方程，避免斜率复杂讨论。 1. 平行四边形存在性 步骤：① 设动点坐标，确定已知定点；② 分“定边为边（对边平行且相等，横/纵坐标差分别相等）”“定边为对角线（中点重合，横/纵坐标和分别相等）”两类列方程；③ 解方程求参数，验证动点是否在函数图象上（有函数约束时）。 技巧：两定两动模型必分边和对角线，中点坐标公式为首选方法。 2. 菱形/矩形/正方形存在性 步骤：① 先按平行四边形求所有可能解，再添加对应特殊性质列约束方程；② 联立方程求解参数，验证图形特征； 专属约束： · 菱形：邻边相等（距离公式）或对角线垂直（斜率乘积=-1）； · 矩形：有一个直角（邻边斜率乘积=-1）或对角线相等（距离公式）； · 正方形：邻边相等+有直角或对角线相等且垂直，可结合“横纵坐标差相等+垂直”简化。 题型01 铅垂法、割补法求三角形的面积 1．如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， (1)求抛物线的解析式； (2)点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)存在；或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设G的横坐标为m，根据列出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，解得，， ∴， 又，， ∴， 设点G的横坐标为m， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴点G的坐标为或． 2．已知抛物线，点，纵坐标为的点在抛物线上，且，过点作直线交抛物线于点，． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)已知点，直线，分别交抛物线于，两点． ①求证：直线过定点； ②求与面积和的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②10 【分析】（1）设，则，然后利用两点距离公式得到关于a的一元二次方程，解方程即可； （2）①设，，利用待定系数法表示出直线的函数表达式为，设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，分别与抛物线联立，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，，，从而求得，即可解答； ②根据①中所求，可得，，然后利用完全平方公式的变形求得，，接着根据面积公式可求得面积和，即可利用二次根式的性质求得最小值． 【详解】（1）解：根据题意，设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）①证明：根据题意，设，，直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴， ∵过点作直线交抛物线于点，． ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴； ∵，直线交抛物线于点， ∴设直线的函数表达式为， 联立，得， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴对于直线，当时，， ∴直线过定点； ②解：由①可得，，；，， 直线过定点，如图： ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴与面积和的最小值为10． 3．已知抛物线（是常数），抛物线的顶点为点． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的式子表示）； (2)若点和点在此抛物线上，且始终有，求的取值范围； (3)该抛物线与轴的两个交点分别为，，点在点的右侧，与轴的交点为．当，时，的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)顶点的坐标为； (2)的取值范围为； (3)最大值为． 【分析】（）根据配方法可得顶点的坐标； （）由（）知抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质即可求解； （）设抛物线对称轴与轴的交点为，则点的坐标为，求出点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，然后分两种情况考虑当时，当时． 【详解】（1）解：由抛物线， ∴顶点的坐标为； （2）解：由（）知抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵始终有， ∴， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：的面积有最大值，理由如下， 设抛物线对称轴与轴的交点为，则点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，即， 解得：，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 当时，如图， ， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，为； 当时，如图， ， ∵， ∴当时，取最大值，为； ∵， ∴当时，取最大值，为． 4．已知抛物线经过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，直线与抛物线有且只有一个公共点．求点的坐标； (3)将原抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，点的坐标为，是新抛物线上一动点，以点为圆心，的长为半径的圆交轴于，两点．当点在新抛物线上运动时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线的性质可得对称轴为，设直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式，利用求出直线的解析式为，进一步求出； （3）根据平移的性质得到新抛物线的解析式为，过点作轴于点，连接，设，根据勾股定理可得，进而得到，再利用垂径定理得到，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得 ， 解得， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为， 设直线的解析式为， 代入点得， ， 直线与抛物线有且只有一个公共点 ，即， 直线与抛物线有且只有一个公共点， ， 解得， ， 当时，， ； （3）解：依题意得，新抛物线的解析式为， 过点作轴于点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 5．已知抛物线的对称轴为y轴，过点且平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P的直线与抛物线交于C，D两点（C点在D点的左侧） ①当时，点Q为直线l下方的抛物线上的一点，求的面积的最大值； ②过点C、D分别作x轴的垂线，交x轴于点E、F，设，的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①为最大值；②为定值， 【分析】（1）根据题意可得二次函数经过点，利用待定系数法即可解答； （2）①过Q作y轴平行线交于点M，利用，列二次函数，利用二次函数的性质即可解答； ②设，，利用根与系数的关系列出，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为y轴， ， ∵过点且平行于x轴的直线与抛物线交于A、B，且， ∴根据抛物线对称性，过点， 则可得， ∴，即； （2）解：①∵， ∴直线l：， 把代入可得， ∴直线l：， 联立得：， 解得：或，即，， 设，，过Q作y轴平行线交于点M，则， ， ， ， ，； ②是定值，理由： 根据题意可得直线l：， 设，， 联立得， ， 根据根与系数的关系得， ，， ． 核心：无水平/竖直边的三角形，优先铅垂法（核心）；不规则三角形可割补为直角三角形/矩形，用“大减小”计算。 1. 铅垂法（首选）： 步骤：① 取三角形一个顶点作铅垂线（竖直线），交对边于一点，将三角形拆为两个同高的小三角形；② 设顶点坐标，求铅垂高（竖直方向长度）和水平宽（底边水平长度）；③ 公式：。 2. 割补法： 步骤：将三角形补在矩形/直角梯形内，用矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，适用于顶点坐标易求的情况。 关键：设坐标时用字母表示动点，保留参数，面积公式中消参/化简。 题型02 铅垂法、割补法求四边形面积 1．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 2．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时， 【分析】（1）先求出，，然后根据待定系数法求解即可； （2）先求出点B的坐标，过点作轴交于点，设，则，表示出的面积，求出面积的最大值及点P的坐标，再求出四边形面积的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，，， ∴． 将，代入中， 得， 解得， ∴． （2）解：当时，， 解得， ∴， ∴． 过点作轴交于点，连接，设，则， ， ， 当时，的面积有最大值，此时， ∵，，， ∴， ∴的面积为， 四边形面积的最大值为． ∴四边形的面积最大值为，此时． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线的解析式，算出点E的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （2）先根据抛物线的平移求出新的抛物线的解析式，再算出点F和点G的坐标，根据等腰三角形的存在性问题的分类讨论方法求出点Q的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交于点Q，设，则，则，先用m表示出的面积，求出当面积最大时的点P的坐标，可得是等边三角形，根据题意求出四边形与的面积比，从而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把点和点代入得： ，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：∵点G是的中点，点和点 ∴， ∵， ∴原抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设图象向右平移了h个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵新函数图象经过点D， ∴，解得：（负值舍去） ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴顶点坐标，平移后的抛物线的对称轴为直线， 如图所示，分三种情况求解点Q的坐标，过点G作平移后的抛物线的对称轴的垂线，垂足为点R，则点， ①当时，点Q在图中的位置，此时点与点F关于x轴对称， ∴， ②当时，点Q在图中或的位置， ， ∴，， ③当时，点Q在图中的位置， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴，解得， ∴， 综上：点Q坐标是或或或； （3）解：如图，过点P作x轴的垂线交于点Q， 设，则，则， ， 当时，最大，此时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴N、K、M分别是的三等分点， 如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，先求出点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据（1）中的二次函数表达式，求出点的坐标，结合、两点利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，易得，根据的长度表达式计算出的最大值，由此即可得出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 5．如图，抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，且．点为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点 (1)a的值为 ；抛物线的顶点坐标为 ； (2)设抛物线L在点C和点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围； (3)当点的坐标满足：时，连接，，，若M为线段上一点，且分四边形的面积为相等两部分，求点M的坐标． 【答案】(1)1，； (2)当时，；当时，； (3)点M的坐标为 【分析】（1）根据抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)，可得A点坐标，B点坐标，由，则可求C点坐标，代入表达式可求可得，抛物线的函数表达式为∶，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线的函数表达式为∶，得到抛物线的对称轴为直线，分两种情况：当时，点为最高点，抛物线的顶点为最低点，当时，点为最高点，抛物线的顶点为最低点，分别求出h的函数表达式即可； （3）根据点（）是抛物线图象上的点，，可得方程，解得，则点的坐标为，设直线的函数表达式为，代入P，C两点坐标可求得，设点的坐标为，利用分四边形的面积为相等两部分，即：，可得，解得，，可得点的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点(点在点的左侧)， ∴A点坐标为：，B点坐标为：， ∴， ∴C点坐标为：， 即：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为∶， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解∶ 由（1）可知：抛物线的顶点坐标为；函数表达式为∶， 当时，， ． 抛物线的对称轴为直线． 当时，点为最高点，抛物线的顶点为最低点， 当时，点为最高点，抛物线的顶点为最低点， 综上，当时，；当时，； （3）解∶点（）是抛物线图象上的点， ， 又， ， ， 即， (舍)， 点的坐标为． 设直线的函数表达式为， ， 解得， ． 设点的坐标为， 连接， ， ， ， 解得， ， 点的坐标为． 核心：将四边形拆/补为三角形/规则图形（三角形、矩形、梯形），再用三角形面积法计算，优先“拆为两个三角形”（铅垂法适配）。 1. 拆分法（主流）： - 连接四边形一条对角线，拆为两个三角形，分别用铅垂法/割补法求面积再相加； - 若为梯形/有水平/竖直边的四边形，直接用梯形公式/矩形面积公式计算。 2. 割补法： 补为矩形/大梯形，减去周围多余直角三角形/小矩形的面积，适用于顶点坐标均已知的不规则四边形。 关键：拆分对角线时选“计算简便的边”（如平行于坐标轴的对角线），减少计算量。 题型03 直角三角形存在性问题 1．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）先求出顶点的坐标，则，设点的坐标为，则，，再分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；根据勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ，解得． 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点． 设直线的解析式为，由题意，得 ，解得， 直线的解析式为：． 设点坐标为，则点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：在轴上存在点，能够使得是直角三角形．理由如下： ， 顶点的坐标为， ， ． 设点的坐标为， ，， 分三种情况进行讨论： ①当为直角顶点时，如图3①， 由勾股定理，得， 即， 解得， 点的坐标为； ②当为直角顶点时，如图3②， 由勾股定理，得， 即， 解得， 点的坐标为； ③当为直角顶点时，如图3③， 由勾股定理，得， 即， 解得或， 点的坐标为或； 综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 2．如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式． (2)M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8， (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； （3）解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)若，为该抛物线上的两点，且，直接写出t的取值范围； (3)①如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接，，．当时，求点E的坐标； ②在①的条件下，若点G也在抛物线上，当是以为斜边的直角三角形时，求点G的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点P关于抛物线对称轴对称的点坐标，然后数形结合求解即可； （3）①根据待定系数法求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式，求出点E的坐标为，设直线与对称轴相交于G，则，根据得出关于，求出k的值，即可求解； ②分点G在直线的左侧和右侧讨论，构造相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵抛物线经过，，， ∴， 解得， ∴ ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， 由（1）知：抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， 如图， ∵，为该抛物线上的两点，且， ∴点Q在直线的下方， ∴； （3）解：①∵直线经过， ∴， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴， 设直线与对称轴相交于G， 则， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ②设， 当G在直线左侧时，如图，过G作轴，过A作于M，过E作于N， 则， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去），（舍去），，（舍去）； 当G在直线右侧时，如图，过G作于N，过E作于N， 同理可证， ∴， ∴， 整理得， 解得（舍去），（舍去），（舍去），， 综上，点G的横坐标为或． 4．如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴的正半轴交于点． (1)求a与b的值； (2)点是线段上一动点，过点作轴的平行线，与交于点，与抛物线交于点，连接，探究是否存在点使得为直角三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线的函数表达式，根据题意，需要分两种情况：①当点F为直角顶点时；②当点C为直角顶点时，分别画出图形，根据直角三角形的性质可求得结论． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 解得； （2）解：存在， 理由如下： 由（1）得，二次函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 又， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴或， ①当时，如图1所示， ∵轴， ∴轴， ∴点F的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点F的纵坐标是3， ∵点F在抛物线上， ∴当时，解得（舍去）或， ∴点D的坐标是， 设直线的解析式为， ∵点B与C的坐标分别是与， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点E的坐标是； ②当时，如图2所示， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， 过C作于H， ∴H为的中点， ∴， 设点E的坐标是， ∴点F的坐标是，点H的坐标是， ∴， 解得 (舍去)或， ∴点E的坐标是， 综上，点E的坐标为或， 核心：分类讨论直角顶点（无明确直角顶点时，分三种情况），结合勾股定理/斜率垂直（乘积为-1）/向量垂直（数量积为0）列方程，求解后验证坐标合理性。 1. 解题步骤： ① 设动点坐标为（结合函数解析式表示，如二次函数上动点设为）； ② 分类讨论：令三角形三个顶点中每个点依次为直角顶点； ③ 列方程： - 勾股定理：直角顶点为时，； - 坐标法：两直角边斜率乘积为-1（斜率存在时），或一条边水平、一条边竖直； ④ 解方程求动点坐标，剔除与已知点重合/三点共线的解。 2. 关键：无明确直角顶点时，必分三种情况，不遗漏；斜率不存在时单独讨论（如竖直边）。 题型04 等腰三角形存在性问题 1．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 2．如图，抛物线与轴交于两点、与轴交于点，这条抛物线的顶点为． (1)求这条抛物线的解析式； (2)为线段上一点，过点向轴引垂线，垂足为．若点在线段上运动（点不与点B、M重合），设的长为，四边形的面积为．求与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 【分析】（1）把，代入，求出，的值，即可求出二次函数的解析式． （2）由于四边形不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形和直角梯形两部分进行计算．先求出直线的解析式，然后将代入直线的解析式中即可求出的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形的面积．然后根据四边形的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式． （3）可分三种情况进行讨论：①；②；③．可根据直线的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由知，顶点， 令，得 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 所以，直线的解析式为 ∵当时，； ； 即 （3）解：存在． 点N在上，设N点坐标为， 则， 或 为等腰三角形，有以下三种可能： ①若，则 解得（舍去）． 则． ②若，则 解得． 舍去． ③若，则 解得 综上所述，在线段BM上存在点N，使为等腰三角形，点N的坐标为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过，两点．动点从点出发，沿线段向终点运动，同时点从点出发，沿线段向终点运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，过点作交于点． (1)求点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)过点作于点，交抛物线于点．当为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ (3)连接，是否存在的值使为等腰三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值是1 (3)存在，或或 【分析】（1）利用矩形的性质即可得到点A的坐标；用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由题意可得的长，且用待定系数法可求得直线的解析式，易得，由相似三角形的性质可求得的长，从而可求得点E、G的坐标，得到关于t的二次函数关系式，即可求得的最大值及此时的t值； （3）分三种情况：；利用两点间的距离公式可得关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：矩形的三个顶点，，， 轴，轴，点的坐标为， 将、两点坐标分别代入得： ， 解得：， 故抛物线的解析式为：； （2）解：如图1，由题意得：， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， ，即， ， 当时，， ，，，， ， ， 当时，有最大值是1； （3）解：有三种情况： ①当时， ，，，， 根据两点间距离公式，得： ． 整理得， ， 解得或（此时、重合，不能构成三角形，舍去）； ②当时， ，，，， 根据两点间距离公式，得： ， 整理得， 解得：，（此时不在矩形的边上，舍去）； ③当时， ，，， 根据两点间距离公式，得：， 解得（此时、重合，不能构成三角形，舍去）或． 综上，的值是或或． 4．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．点是轴上的一个动点，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（且不与点重合），当时，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的性质，分类讨论思想等内容，解题的关键是根据题目中的条件得出方程． （1）根据题意可得出点，的坐标，代入抛物线解析式，可得出，的值即可得出答案； （2）根据（1）中抛物线的解析式可得，则，所以，所以，则，又，所以，，由此可得出结论； （3）设，则，，用含的式子表示出，，，由是等腰三角形，可知需要分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点，， ，． ∵抛物线经过点，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：． 证明：由（1）知抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ． ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． （3）解：存在． 设，则，， ， ， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，即 解得（舍去）或或， 或． ②当时， ，即 解得（舍去）或（舍去）或， ． ③当时， ，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，点的坐标为或或或． 核心：分类讨论相等的两边（无明确腰/底时，分三种情况），结合两点间距离公式列方程，求解后验证。 1. 解题步骤： ① 设动点坐标，用距离公式表示出三角形三边的长度（含参数）； ② 分类讨论：令任意两边依次相等（如、、）； ③ 列方程：将相等两边的距离公式联立，解方程求参数； ④ 验证：剔除三点共线/两边和小于第三边的无效解。 2. 关键：边长含根号时，两边相等可直接平方消根号，简化计算；分类讨论不重复、不遗漏。 题型05 平行四边形存在性问题 1．如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为． (1)求该二次函数的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标； (3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)的和的最大值为，点的坐标为 (3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可； （3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可. 【详解】（1）解：如图，，，， ， 将、代入， 得， 解得， ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：令，得， ， 设直线的解析式为， 代入，解得， 直线的解析式为 ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当取得最大值时，有最大值， 设点，则， ， ∵，， 当时，有最大值， 的和的最大值为，点的坐标为 ； （3）解：①当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， ， ∴二次函数顶点为， ∵， ，， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， ，， ， ， 设，则， ， ， ； ②当四边形为平行四边形时，， 连接，过点作轴于点， 设与直线交于点，如图， 二次函数顶点为，， ，， ， ， ， 又， 四边形为矩形， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 过点作轴于点， ，， ， ，， ∴， ； 综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或. 2．如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或2或 (3)点的横坐标为定值 【分析】（1）设抛物线的解析式为，整理可得：与解析式比较求出和的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，所以，根据点、的坐标可以求出，根据平行四边形的性质可知，可得方程，解方程求出的值即为点的横坐标； （3）设点的坐标为，点的坐标为，因为点是抛物线的对称轴与轴交点，所以点的坐标是，把点和点的横坐标表示出来，根据平面直角坐标系中的中点坐标公式求出点的横坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的解析式为， ，，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， 点， ， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ， ， 当时， 整理可得：， 解得：，， 当时， 解得：，（此时、重合，舍去）， 综上所述，点的横坐标为或2或； （3）解：点的横坐标为定值， 设点的坐标为，点的坐标为， 则、是方程的解， 整理可得：， ，， 点的坐标为， 点的坐标为， 设的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程 整理得：， 方程的解应是点和点的横坐标， ， ， ， 同理可得：， 点的横坐标为， 整理可得： ， 点的横坐标为定值． 3．如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式和点、点坐标； (2)若点在轴上，点在抛物线上．是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，学习数形结合的解题思路． （1）根据点的坐标，，求出点，利用待定系数法求出抛物线解析式，根据抛物线与的交点，则，解出，即可； （2）根据平行四边形的性质，分类讨论当，为边时，即四边形是平行四边形，当，为对角线，即四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点，， ∵点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， 解得：，， ∴点． （2）解：存在，理由如下： 设点， 当，为边时，即四边形是平行四边形， ∴轴， ∴， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，不能构成平行四边形，舍去， ∴点； 当，为对角线，即四边形是平行四边形， ∵点，在轴上， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点或， 综上所述，点的坐标为或或，四边形是平行四边形． 4．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且，M为抛物线的顶点． (1)求点A、点B的坐标和这个二次函数的解析式； (2)若将该二次函数图象向上平移（）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包含边界），求m的取值范围； (3)点P是抛物线上一动点，交x轴于点Q，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】（1）令，求出点A个点B的坐标，再根据，求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）先求出点M的坐标，在求出的解析式，把代入的解析式，求出，再根据平移的性质得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点落在的内部，得出关于m的不等式组求解即可得出答案． （3）分两种情况当点P在点Q的上方和当点P在点Q的下方时，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ， 或3， ，， ， ， 把的坐标代入，得：， ∴抛物线的解析式为；· （2）解：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：，， ∴直线的解析式为． 把代入得， 由题意知，平移后的抛物线的顶点坐标为，又平移后的抛物线的顶点落在的内部， ， 解得∶； （3）解：当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3． 把代入抛物线的解析式得， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为． 把代入抛物线的解析式得， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 综上所述，当点P的坐标为或或时， 以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 5．如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 核心：分“定边为边/定边为对角线”两种情况，利用平行四边形“对边平行且相等/对角线互相平分（中点重合）”的性质列方程，核心用中点坐标公式（最简便，优先用）。 1. 解题步骤： ① 设动点坐标，确定已知的三个顶点（或两个定点，一个动点，一个待求动点）； ② 分类讨论： - 定边为边：令定边为平行四边形的一边，利用“对边平行且相等”（横坐标差、纵坐标差分别相等）列方程； - 定边为对角线：令定边为对角线，利用“中点重合”（中点坐标公式：两点横/纵坐标和相等）列方程； ③ 解方程求动点坐标，验证是否在函数图象上（若有函数约束）。 2. 关键：若为“两定两动”，必分定边为边/对角线两种情况；中点坐标公式是核心，避免斜率讨论的复杂计算。 题型06 特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）存在性问题 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 2．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 3．如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为B，一次函数的图像交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与x轴交于点H）． (1)求二次函数的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接，点F是线段上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)P1， (3) 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）先由勾股定理以及对称可得，由，得到．由对称可得，则，过点P作于Q，交y轴于R．设点，当点N在上方时，，由建立方程求解即可；当点N在下方时，同理可求即可； （3）过F作于C，于T，交x轴于点S，证明，则，，设，，则，那么．化简整理，得，而，则，化简整理，得，得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解这个方程，得， ∴二次函数的表达式是； （2）解：对于，当时， ∴一次函数的图像交y轴于点， ∴， ∵， ∴， 由对称可得． ∵， ∴， ∴． 由对称可得， 则， 过点P作于Q，交y轴于R．设点， ①如图1，当点N在上方时，则 ∴， 由得，． 解得（舍去），， ∴． ②如图2，当点N在下方时，同理， 由得，． 同理可得（舍去），． ∴， 综上：点P的坐标为或； （3）解：如图3，过F作于C，于T，交x轴于点S． 则 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∴，， 设，， ∴， ∴， 则． ∴． 化简整理，得， ∵，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∵轴 ∴， ∴， 即， 化简整理，得． ∴， 解得（舍去），． ∴，解得（舍去），． ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3) 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 5．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，E为轴上一个动点，当为最大值时，求线段的最小值； (3)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点的坐标为或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，当最大时，则最大，求得点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点，此时最小，即可求解； （3）当为菱形对角线时，，列出等式即可求解；当、为菱形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：将点，点代入， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 令，则， ， ， ， 轴 ， ， ∴当最大时，则最大， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 当时，最大，即最大， ， ∴点； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取到最小值， 即的最小值； （3）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形， , ∴抛物线对称轴为直线， 设，， ①当为菱形对角线时，此时， ， 解得， ； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， 或， ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（与点重合，故舍去）， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 核心：在平行四边形存在性的基础上，添加特殊平行四边形的专属性质列方程，先满足平行四边形，再限制特殊条件，分步求解。 1. 菱形存在性 - 专属性质：邻边相等/对角线互相垂直； - 解题：先按平行四边形列方程，再添加“邻边距离相等”（距离公式）或“对角线斜率乘积为-1”列方程，联立求解。 2. 矩形存在性 · 专属性质：有一个直角/对角线相等； · 解题：先按平行四边形列方程，再添加“邻边斜率乘积为-1”（直角）或“对角线距离相等”（对角线相等）列方程，联立求解。 3. 正方形存在性 · 专属性质：邻边相等且有一个直角/对角线相等且互相垂直； 解题：先按矩形/菱形列方程，再添加另一组条件（如矩形+邻边相等=正方形，菱形+有直角=正方形），联立求解。 1．已知，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，如图所示． (1)求这个抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，若的面积等于面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）解方程，可得：，，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可得，根据的面积等于面积的一半，可得方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，， ，是一元二次方程的两个实数根，且， ，， 抛物线的图象经过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线BC的解析式为， 设，则， ， ， ， 即， 整理得：， 即， 或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，面积的最大值为8 【分析】（1）根据点的坐标为，即可求出，，再求出点，，利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）过点作轴，交于点，先求出的函数解析式为，然后设，则，即可得到，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当时，有最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设抛物线的函数解析式为， 将，，代入， 得 ，解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：存在， 如图，过点作轴，交于点， 由，，易得直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时， ∴点的坐标为，面积的最大值为8． 3．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． (1)求b，c的值． (2)连接，并把沿翻折，得到四边形， 那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为 (3)P点的坐标为，四边形的面积的最大值为 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据菱形的性质，轴对称的性质，设，得，解方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点， 得 解得： 故二次函数的表达式为：． （2）存在点P，使四边形为菱形，P点的坐标为． 理由如下： 由沿翻折，得到四边形， 得，垂足为点E， 则，轴， ∵四边形为菱形，， ∴, ∴， 根据题意，设， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， 故存在点P，使四边形为菱形，且P点的坐标为． （3）解：过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，，的面积最大，且最大值为． 又， 故四边形的面积的最大值为，此时． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，并把沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求出点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入抛物线中，即可求抛物线的解析式； （2）如图，连接，设，则，由菱形的性质知垂直平分，求出的中点为)，则，求出，进而即可求； （3）如图，过P作轴，交直线于点Q，求出点坐标，则，设，则，即可求，所以，当时，四边形的面积最大为，此时，进而即可得解． 【详解】（1）∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，连接， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∵， ∴的中点为， ∴，整理得， 解得或； 点在直线的下方， ， ， ； （3）如图，过P作轴，交直线于点Q， 令，则，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ∴， ∵，， 当时，四边形的面积最大为，此时， ． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)已知点D是直线上方的抛物线上一动点． ①当点D运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时D点的坐标和四边形的最大面积； ②连接，并把沿CO翻折，得到四边形，那么是否存在点D，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)①点D的坐标为时，四边形的最大面积值为；②点D的坐标为． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）①根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； ②根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得D点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标． 【详解】（1）解：将点，代入函数解析式，得 ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①如图，过点D作轴于点F，交于点Q，   D在抛物线上，设， 设直线的解析式为， 将点和点的坐标代入函数解析式，得 ，解得． 直线的解析为， 设点Q的坐标为， ． 当时，， 解得， ，， ， 当时，四边形的面积最大． 当时，，即D点的坐标为． 当点D的坐标为时，四边形的最大面积值为； ②若四边形为菱形，则点D在线段的垂直平分线上， 如图，连接，则，垂足为E，    ∵， ∴， ∴点D的纵坐标为， 当时，即， 解得，（不合题意，舍）， ∴点D的坐标为． 7．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式． (2)过点作直线平行于轴，交抛物线于点，求四边形的面积． (3)是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可求出二次函数的对称轴，根据直线平行于轴得到点B和点C关于对称轴对称，据此求出点C的坐标，再根据列式求解即可； （3）设出点P的坐标，分三种情况：为对角线，为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵直线平行于轴，交抛物线于点， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：设， 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 8．在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 【答案】(1) (2)点 (3) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，并表示出P、E的坐标，进而得到和的长度表达式；根据列方程求解，得到m的值后即可得到点P的坐标． （3）先根据与的面积相等，推出；再结合与的相似关系，表示出相关线段长度，求解出点P的坐标，最后计算出S的值． 【详解】解：（1）由题意，把点，分别代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）当时，， ∴点． 设直线的表达式为， 把点和分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为． 设点， ∵轴于点D，交直线于点E， ∴， ∴点，． ∴． ∴． 由，得． 解得，（不合题意舍去）． ∴，即点． （3）如答图，过点A作轴交延长线于点G，过点F作轴于点H． ∴． 同（2）设，则，，． 又由，得． ∵和的面积相等， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 解得，． 经检验，，，是原方程的解，但不符合题意，舍去． ∴，． ∴． 9．如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设，则，，可得到用m表示的长，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求出，分类讨论：①当时，②当时，③当时， 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得： 抛物线的表达式为； 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 答：抛物线的表达式为，直线的解析式为． （2）解：如图 设，则， ∵抛物线与轴相交于点， ∴． ∵， ∴； ∴当时，取得最大值； （3）解：由（2），得 ，， ∴． ①当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． ②当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， 整理，得 ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， ∴． ③当时，如图， ∵轴于点M， ∴， ∴， 即， ∴当时，不符合题意，舍去． 综上，存在满足条件的点M，其坐标为或． 11．综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； (3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． (4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或 (4)在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，分四种情况，通过证明三角形全等，求出M的坐标，再代入即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，对称轴为直线， 将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）对称轴为直线，， 点B横坐标为，C横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ． 如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，将点B的坐标代入得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（2）得：， 设直线解析式为， ，解得：， 直线解析式为， 设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ， ， 直线将的面积分成两部分， 或， 或， ， 或， 或， 点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时， 综上所述，点P的坐标为或； （4）在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或，理由如下： 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图3，过点M作于点N，则，此时, ， ， 在和中 ， ， , ， 点， 把点代入得：， 解得：（不合题意，舍去）或0， 此时点Q的坐标为； 如图4，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，, 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或（不合题意舍去）， ； 如图5，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得： （不合题意舍去）或， ； 如图6，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或0（不合题意，舍去）， 点； 综上所述，在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)存在的值为或，使得为直角三角形 【分析】本题考查二次函数解析式求解，坐标与几何图形，三角形面积转化，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）①代入点、的坐标求出抛物线解析式，再根据点纵坐标为的特点，求出的坐标；②求出直线的解析式，设出点的坐标并表示出的长度，利用面积相等列方程求解点． （2）确定、两点的坐标，用勾股定理表示三边的平方，分三种直角情况建立方程求解并检验的值． 【详解】（1）①解：抛物线经过点，， 把点，分别代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为， 点在边上，且四边形是矩形， 当时，，解得，， ． 答：，． ②如图，过点作轴交于点，连接，， 设直线的解析式为， 把点代入，得，解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 的面积等于的面积， ，即， 解得，（舍去）， 故点的坐标为． 答：． （2）解：由（1）知，则抛物线的解析式为， 当时，，，则点坐标为， 当时，，则点坐标为， ，， ， ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即， 解得或， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 当时，点在的延长线上，不符合题意，舍去； ③当时，， 即， 解得或（舍去）， 当时，点与点重合，不符合题意，舍去， 则， 综上所述，存在的值为或，使得为直角三角形． 答：存在的值为或，使得为直角三角形． 13．如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ，解得， ，则； （2）解：如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ，，， 当时，，即解得； 当时，，即解得； 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或． 14．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 15．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的最大面积为，此时点的坐标为 (3)存在满足条件的点，点的坐标为或或 【分析】（1）先通过直线求出与坐标轴交点、，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求得、，即可确定抛物线表达式； （2）先求出抛物线与轴另一交点，算出面积，将四边形面积拆分为；设动点坐标，将面积转化为关于横坐标的二次函数，配方后结合取值范围，即可求出面积最大值及对应点坐标； （3）先根据的方向和平移距离，确定抛物线向右、向上各平移个单位，求出平移后解析式；分两类讨论：①为平行四边形的边，利用对边平行且相等的性质求解；②为对角线，利用对角线互相平分的中点公式求解，最终汇总所有符合条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点、与轴交于点， 令，得；令，得； ∴、， 将、代入抛物线，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， 解得 ，， ∴， ∴， ∵，垂直轴， ∴， ∵，​为固定值， ∴要使四边形面积最大，只需最大， 设第二象限内抛物线上的点，过点作垂直轴，交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，且， ∴当​时，四边形面积取得最大值， 将代入点纵坐标，得， ∴四边形的最大面积为，此时点的坐标为； （3）解：存在满足条件的点， ∵直线的解析式为，直线与轴夹角为， ∴沿射线方向平移时，水平方向（轴）与竖直方向（轴）的平移距离相等， 设向右平移个单位，竖直向上平移个单位，平移总距离为， 由勾股定理得 ， 解得， ∴抛物线整体向右平移个单位、向上平移个单位， ∵原抛物线为，顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为，即， ∴平移后的抛物线解析式为， 已知、，点在轴上，设，点在抛物线​上，分两种情况讨论： 情况1：为平行四边形的边， ∵平行四边形对边平行且相等，在轴上，， ∴且，即、纵坐标相等，横坐标差的绝对值为， ∵N的横坐标为， ∴的横坐标为或， ①当的横坐标为时： ∵在​上， ∴把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； ②当的横坐标为时： 把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； 情况2：为平行四边形的对角线， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点与的中点完全重合， ∵、， ∴的中点坐标为，即， ∵、，的中点为， ∴，， 解得，， 即， ∵在上， ∴把代入，得 ， ∴， 解得， 即； 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $