2026年中考数学三轮复习备考 二次函数综合-特殊三角形问题必考考点压轴练

二次函数综合-特殊三角形问题必考考点压轴练-2026年中考数学三轮复习备考 1．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； (3)当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为 ； (4)抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为 ． 4．已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 5．如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 6．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 8．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 9．如图，抛物线与x轴的一个交点是，与y轴交于B点，点P在抛物线上． (1)求a的值； (2)过点P作x轴的垂线交直线于点E，设点P的横坐标为，，求l关于m的函数表达式； (3)当是直角三角形时，求点P的坐标． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． (1)请直接写出点，点的坐标； (2)点是第二象限抛物线上一点，若是等腰三角形，求点坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移，得到抛物线，抛物线的顶点的对应点是点，两抛物线交于点，过点作一条直线与两个抛物线分别交于，两点（点在点左边），试探究点Q，E，F的横坐标，，之间的数量关系，并说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 12．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），，经过点A的一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)若点P在x轴上且使为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 14．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当时和当时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；时，； ∴，， ∵， 设二次函数解析式为， 代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴； ①如图1，当时，， ∴，； ②如图2，当时， 过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：存在，，，． 2．(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 3．(1) (2)当时， (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与特殊三角形、平行四边形的存在性问题，与面积的综合问题，以及涉及线段周长最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，先求出直线，设，则，则，由建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）由题意得，，当为等腰直角三角形时，只能是，设，表示出，，再建立方程求解； （4）过点作y轴的对称点，连接，则，那么，故当点三点关系时，取得最小值即为，由平行四边形得到，求出，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点， 对于， 当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴当时，； （3）解：如图， 由题意得，， ∴当为等腰直角三角形时，只能是， 设 对于，对称轴为直线， ∴， ∴ 将代入，则， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， 故答案为：； （4）解：过点作y轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为的长， ∵平行四边形 ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 5．(1) (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，二次函数与面积综合题，等腰三角形分类问题，综合性强，难度较大． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，即可得到点坐标为，点A、B关于对称轴对称，从而得到当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．求出直线解析式为，即可得到点的坐标为； （3）根据点的横坐标为得到点的纵坐标为，点坐标为，求出，根据得到，根据二次函数性质即可求出当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）根据，，，求出，，，根据为等腰三角形，分，，三种情况列出方程，解方程舍去不合题意解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称， ∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点． 设直线解析式为， ∵点、， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）解：如图， ∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，，解得（均不合题意，舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，符合条件的的值或1． 6．(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 7．(1)点、、的坐标分别为：、、； (2) (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏； （1）令，则或5，令，则，即可求解； （2）过点作轴交于，交直线于点，将问题转为，再利用二次函数的性质求解； （3）分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则或5，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、； （2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点， 设直线：，将、代入其中， ，解得：， ， ， ， ， ，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得， ，代入上式得：最大值为， 面积的最大值；； （3）解：设点，而点、的坐标分别为：、， 则，，， ①当为斜边时，则，解得：； ②当为斜边时，同理可得：； ③当为斜边时，同理可得：或； 综上点的坐标为：或或或． 8．(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 9．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将代入即可； （2）由题意可得点B的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法求得，则点E的坐标是，由题意得，进而得关于的函数关系式； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴的一个交点是， ∴， 解得； （2）解：如图， 由（1）得，， ∵当时，， ∴点B的坐标是， 设直线的解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴点E的坐标是， 由题意得，， ∴， ∴l关于m的函数表达式为； （3）解：①当时，直线交轴于，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设直线解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得或， ∴； ②当时，直线交轴于，如图， 同理可得为等腰直角三角形，， ∴， 设直线解析式为， 代入，，得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得或， ∴； ③当时，且点在上方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， ∵，，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴； 当时，且点在下方，设点横坐标为，且， 过点作轴，，如图， 同理可证， ∵， ∴，， ，， ∵， ∴，即， 解得（正值已舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数综合，等腰三角形的直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，讨论直角的位置，利用相似三角形的性质列比例式是解决问题的关键． 10．(1)， (2) (3) 【分析】（1）将代入抛物线，即可得到其与轴交点，将二次函数转化为，即可得到其顶点坐标； （2）分别以两点为圆心，以长为半径画圆，交抛物线于，作的垂直平分线交抛物线于点，交于点，结合点是第二象限抛物线上一点， 那么当点只有在点位置时，才符合题意使得是等腰三角形，过作轴，过点作轴，然后证明在的垂直平分线上，接着求得点坐标，求得直线表达式，联立直线与抛物线，即可得到点； （3）先求得直线：，不妨设，那么抛物线的表达式为，联立两抛物线，求得，再设直线的表达式为：，分别联立直线和抛物线，得到， ，那么，结合，即可得到三者关系． 【详解】（1）解：将代入，得，解得， ∴， ∵， ∴其顶点坐标为， ∴点坐标为； （2）解：∵，，是抛物线的顶点， ∴， 过作轴，过点作轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 分别以两点为圆心，以长为半径画圆，交抛物线于，作的垂直平分线交抛物线于点，交于点，如图所示： ∵点是第二象限抛物线上一点， ∴当点只有在点位置时，才符合题意题意使得是等腰三角形， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴在线段的垂直平分线上， 设直线的表达式为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∵点是第二象限抛物线上一点时， ∴点的横坐标， ∴， ∴； （3）解：设直线的表达式为，代入，， ，解得， 所以直线的表达式为， 不妨设，那么抛物线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴ 设直线的表达式为，代入， 那么有， ∴， ∴直线的表达式为：， 联立直线和抛物线， ， 整理得， ∴， 联立直线和抛物线， ， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 12．(1)， (2)点的坐标为或或； (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）求得，由三角形面积求出，解方程，即可求解； （3）分别以点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ∵，， ， 的面积为8， ， 当时，，即， 解得， ∴点的坐标为； 当时，，即， 解得，，， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ，， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 13．(1)； (2)的面积的最大值是，此时点坐标为 (3)或或或 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入平移后的抛物线的解析式中可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，进而求出点D的坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）作轴交于，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题； （3）利用两点间的距离公式得到；再分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ∵， ∴点的坐标为， 把点A的坐标代入得，， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为，即； 在中，当时，，解得，， ∴， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∴， 在中，当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为． （3）解：由（1）得， ∴； 当时，则点P的横坐标为或， ∴此时点P的坐标为或； 当时，则点D在的垂直平分线上， ∴的中点的坐标为， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为； 当时，设，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 14．(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $