江苏省南通市如皋初中2025-2026学年八年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 以二维码面积估计、世界杯知识竞赛等现实情境为载体，融合几何直观、数据意识与模型观念，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、一次函数、菱形性质、箱线图|结合滴漏计时工具考函数图像，体现数学眼光| |填空题|6/22|旋转、中位数、菱形动点函数图像、新定义函数|新定义函数问题考查数学思维的逻辑性| |解答题|9/98|统计图表分析、动态几何探究、坐标系综合|正方形动态探究题融合推理能力与创新意识，贴合期末综合考查要求|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. ．  13. 分  14. ．  15.   16. 【小题】 【小题】   17. 【小题】 ， 【小题】 ，   18. 解：； 画树状图为： 共有种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果数为， 所以取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率．   19. ；；．   时间不少于的学生，对应和两个时间段，  总占比为：，  该校八年级共有人，因此估计人数为：人，  答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人．   20. 证明：为等边三角形， ，， 四边形是平行四边形 ，， ， ▱是矩形； 解：▱是矩形， ， ， ， ．  21. 【小题】 解：由题意知，向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到如图，即为所求．   图              【小题】 如图，即为所求．  【小题】 如图，即为所求．   22.   元  23. 解：由题意得 解得 直线的表达式为 解，得 点的坐标为 把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为 或．  24. 解：，，； 四边形、都是正方形， ，，，， ， ≌， ，， ， ， ，， ， 又，， ； ， 理由：如图，四边形、都是正方形， ，，，， ， ≌， ，， ， 又点在线段延长线上， ， ， ，， ， 又，， ； ． 在正方形中，， ， 由知：， ， ， ．  25. 解：，，  ，  ，，  设直线的解析式为，  ，  解得，  ，  当时，解得，  ；  过点作轴交于点，  设，则，  ，  ，  解得或舍，  ，  作点关于轴的对称点，过点作，过点作，交于点，    四边形是平行四边形，  ，  连接，  ，  当、、三点共线时，有最小值，  ，  ，  ，  最小值为；  存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，理由如下： 设将沿着射线方向平移，相当于将向左平移个单位长度，则向下平移个单位长度，  ，，，  ，，  ，  ，  ，，  四边形是平行四边形，  由平移可知，，，  ，，  ，  ，  当时，是等腰直角三角形，，  解得或舍，  ；  当时，是等腰直角三角形，，  解得或舍，  ；  设的中点为，的中点为，  当时，，  解得或舍， ；  综上所述：点坐标为或   【解析】 1. 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解： 既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意；  是中心轴对称图形，但不是轴对称图形，故该选项符合题意；  既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；  不是中心对称图形而是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：． 2. 略 3. 解：一次函数中，， 函数值随的增大而增大， ， ， 故选C． 4. 根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：由箱线图可得，乙组的中位数是分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得，乙组同学的成绩最高为分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 5. 根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 故选B． 6. 略 7. 略 8. 如图，设交于点． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 又， 四边形为菱形， ，， ． ， ， ． 故选D． 9. 【分析】 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 先根据一次函数的解析式求出、两点的坐标，再作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式． 【解答】 解：一次函数中， 令得：；令，解得， 的坐标是，的坐标是    如图，作轴于点． ， ， 轴 ， ． 在与中， ， ， ，， 则． 则的坐标是                     设直线的解析式是， 根据题意得： 解得， 直线的解析式是． 故选A． 10. 解：如图，旋转到图中位置，连接、， 在中，，，， ，， 旋转前点是的中点，点是的中点， ，， ． 在中，点是的中点， ． 在的旋转过程中，的长不变， 在中，， 当，，三点共线时，最大，此时，， 的最大值为． 故选C． 11. 略 12. 解：绕点按逆时针方向旋转得到，  ，    故答案为：． 先根据旋转的性质得到，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，正确进行计算是解题关键． 13. 本题主要考查中位数的计算，解题的关键是：若这组数有偶数个，则中位数是中间两个的平均值． 先从小到大排序，再根据中位数的求解，若这组数有偶数个，则中位数是中间两个的平均值即可． 【详解】这组数从小到大排序为：，，，，，，共个数字， 所以这组数的中位数为第三、第四位的均值， 故中位数为 分． 故答案为：分． 14. 解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 先求出，再根据四边形的内角和求解即可． 本题主要考查了四边形内角和，掌握其相关知识点是解题的关键． 15. 题目主要考查动点函数图象，菱形的性质，勾股定理，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为，结合运动轨迹及运动图象得出，当时，有最小值，此时点和点重合，得到，勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作，垂足为， 四边形是菱形， ， ， 由图象可得，， 当时，有最小值，此时点和点重合， ， ，， 菱形的面积． 故答案为：． 16.  略  略 17.  略  略 18. 直接利用概率公式求解； 画树状图展示所有种等可能的结果，再找出取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 19. 解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：，  根据样本容量，  计算各时间段人数：：人，  ：人，  ：人，  ：人，  ：人，  ：人，  样本容量为，第、个数据均为，第个数据为，  ，  故答案为：；；  众数是一组数据中出现次数最多的数，  由各时间段人数可知，对应的人数为人，是所有时间段中人数最多的，  因此众数为；  故答案为：  时间不少于的学生，对应和两个时间段，  总占比为：，  该校八年级共有人，因此估计人数为：人，  答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人． 先由扇形图百分比和为算出；再用总人数乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第个数据为和第、个数据均为，得、；  众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有人、有人、有人、有人、有人、有人．对比人数，的人数最多，故众数为；  先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数为人． 本题考查扇形统计图，用样本估计总体，中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 由等边三角形的性质得，再由平行四边形的性质得，，则，即可得出结论； 由矩形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质求解即可． 本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21.  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 22. 解：设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为； 设该玩偶的售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：当该玩偶的售价为元时，商店每月销售纪念册获得的利润达到元． 设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款玩偶月份的销售量该款玩偶月份的销售量该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 设该玩偶的售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 【分析】 本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． 利用待定系数法求解即可 两解析式联立成方程组，解方程组即可求解 根据图象即可求解 与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的纵坐标，代入函数解析式，最后可得出点的坐标． 【解答】 解：见答案． 与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍，即纵坐标的绝对值， 点纵坐标是， 当时，则，解得 当时，则，解得 的坐标为或． 故答案为：或． 24. 详细解答和解析过程见【答案】 25. 求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；  过点作轴交于点，设，则，根据面积可得，求出的值从而确定点坐标，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，交于点，连接，当、、三点共线时，有最小值，最小值为；  设将沿着射线方向平移，相当于将向左平移个单位长度，则向下平移个单位长度，则，，，分三种情况讨论：当时，；当时，；设的中点为，的中点为，当时， 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第2页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是() 2.如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示， 该二维码的面积为18cm2,他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率 稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为() A.10.8cm2 B.9.6cm2 C.7.2cm2 D.11.2cm2 3.已知点AW2,m),B(n)在一次函数y=2x+1的图象上，则m与n的大小关系是() A.m>n B.m=n C.m<n D.无法确定 4.某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯·热血足球梦”知识竞赛.已知甲组和乙组人数相等，两班 竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是() A.乙组的中位数是80分 B.甲组成绩的上四分位数是70分 C.乙组有同学的成绩超过96分 D.乙组成绩比甲组成绩集中 第1页，共9页 成绩/分 100 S 70 甲组 乙组 5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E、F分别是AB、BC的中点，连接EF,若EF=3, BD=8,则菱形ABCD的面积为() A.12 B.24 C.30 D.35 6.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元：若每盆增加1株， 平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，根据题意可列 出方程为() A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 7.图1是我国现存最完整的古代计时工具一元代铜壶滴漏李红同学制作了一个简单的滴漏计时工具（如图 2),“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时间若t表示时间，h表 示木箭上升的高度，则下列图象能表示h与t之间关系的是() 图1 图2 第2页，共9页 h个 8.如图，在矩形ABCD中，连接AC,分别以点A,C为圆心，大于号AC长为半径作弧，两弧交于点M,N, 作直线MN分别交AD,BC于点F,E,连接AE,CF若∠DAE=48°，则LEFC的度数为() A B E N米 A.60 B.62° C.64 D.66 9.如图，一次函数y=-子x+3的图像分别与x轴、y轴交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等 腰Rt△ABC,∠BAC=90°.则过B,C两点的直线的表达式为() y B A.y=x+3 B.y=号x+3 C.y=ix+3 D.y=3x+3 10.如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF,G是EF的中点，连接DG 在△BEF中，BE=2,∠BFE=30°若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最 大值是() D G A.V67 B.2V17 C.10 D.12 第3页，共9页 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.已知关于x的方程x2-3x+2k=0的一个根是1，则k= 12.如图，把△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°得到△AB'C',己知LBAC=70°，则LBAC'=一· B 13.小敏参加了“歌颂祖国75周年华诞”的诗歌创作大赛，以下为六位评委给小敏作品的打分（单位：分）： 9,7,10,8,9,8.则这六个分数的中位数为 14.如图①是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图②是其简化示意图.若∠1=45°， 则∠2的度数为一· D 小 C ① ② 15.如图1，四边形ABCD是菱形，连接BD,动点P从点A出发沿折线AD→DB→BA匀速运动，回到点 A后停止.设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的函数关系的大致图象，则菱形ABCD 的面积为 D 2 24681012主 B 图1 图2 (a(a≥b)对 16.新定义：对于两个实数a,b,我们用maxa,b表示这两个数中最大的数，即maxfa,b=bQ<b 于函数y=max{2x-1,-x+2; (1)当x=1时，y=； 第4页，共9页 (2)若过定点的直线y=kx+3k-1与函数y=max{2x-1,一x+2的图象有两个交点，则k的取值范围 是 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分)解方程： (1)x2-4x=-1: (2)x2-16=3x(x-4). 18.(本小题10分) 在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”，“到”，“成”.“功”的四个小球将其搅匀这些小球 除汉字不同外其他都相同. (1)从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为： (2)随机从袋中一次取出两个小球，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率（汉字不分先后顺 序) 19.(本小题10分) 为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一 组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图请根据相关信息，解答下列问题： 10h 5h 9h 8% 12% 12% 6h 16% 8h a% 7h 24% (1)在扇形统计图中，Q=」 在箱线图中b=一一， (2)本次调查样本中数据的众数为 (3)根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为9h 第5页，共9页 的人数约为多少？ 20.(本小题10分) 如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形，AB=4. (1)求证：口ABCD是矩形： (2)求AD的长. D C 21.(本小题10分) 如图所示均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点和点D均在格点上，只 用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹 图1 图2 图3 (I)在图1中，将△ABC向上平移，使点B与点D重合，画出△A1DC1i (2)在图2中，画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC关于点D成中心对称； (3)在图3中，画出将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到的△A3B3C3· 第6页，共9页 22.(本小题10分) 2025年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数某店决定以每件40 元的价格购进一款玩偶，以每件58元的价格出售.经统计，2024年10月份的销售量为256件，2024年12 月份的销售量为400件， (1)求该款玩偶10月份到12月份销售量的月平均增长率. (2)从2025年1月份起，该店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价1元， 销售量就会在12月份销售量的基础上增加20件.当该玩偶的售价为多少元时，商店每月销售纪念册获得的 利润达到5600元？ 23.(本小题12分) 如图直线：y1=kx+b经过点A(-6,0),B(-1,5) y B 5 D (1)求直线AB的表达式： (2)若直线y2=-2x-3与直线AB相交于点M,求点M的坐标： (3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-3≥0的解集： (4在直线AB上存在异于点M的另一点P,使得△ADP的面积是△ADM的面积2倍，请直接写出点P的 坐标 第7页，共9页 24.(本小题12分) 综合与实践 正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE,连接CE: 【初步探究】 (1①)如图1，当点P在线段AC上时，AP与CE的数量关系是 :AP与CE的位置关系为_；CD, PC,CE三者的数量关系为 【探索发现】 (2)当点P在线段AC延长线上运动时，如图2，探究线段CD,PC和CE三者之间数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 (3)如图3，连接AE,若AB=V2,AE=V29,则CP的长为 E E D B P 图1 图2 图3 第8页，共9页 25.(本小题13分) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,OA=1,OB=V30A,直线0C: y=V3x交直线AB于点C. (1)求直线AB的解析式及C点的坐标： (2②如图1，P为直线0C上一动点且在第一象限内，M,Q为x轴上动点，Q在M右侧且M0=当SacB= 时，求PQ+QM+MA的最小值： (3)如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，在直线AB 上是否存在H点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点 E的坐标；若不存在，请说明理由. 0 0 B Vs O M Q B /E 图1 图2 第9页，共9页 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答． 【详解】解： 既是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项不符合题意；  是中心轴对称图形，但不是轴对称图形，故该选项符合题意；  既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；  不是中心对称图形而是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：． 2.如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 3.已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是  (    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】C  【解析】解：一次函数中，， 函数值随的增大而增大， ， ， 故选C． 4.某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是(    ) A. 乙组的中位数是分 B. 甲组成绩的上四分位数是分 C. 乙组有同学的成绩超过分 D. 乙组成绩比甲组成绩集中 【答案】D  【解析】根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：由箱线图可得，乙组的中位数是分，该选项错误，不符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得，乙组同学的成绩最高为分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意． 5.如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据三角形中位线定理求出的长，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 四边形是菱形， 菱形的面积． 故选B． 6.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，根据题意可列出方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 7.图是我国现存最完整的古代计时工具元代铜壶滴漏李红同学制作了一个简单的滴漏计时工具如图，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时间若表示时间，表示木箭上升的高度，则下列图象能表示与之间关系的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 8.如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】如图，设交于点． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形． 又， 四边形为菱形， ，， ． ， ， ． 故选D． 9.如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，，以线段为边在第一象限内作等腰，则过，两点的直线的表达式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 先根据一次函数的解析式求出、两点的坐标，再作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式． 【解答】 解：一次函数中， 令得：；令，解得， 的坐标是，的坐标是    如图，作轴于点． ， ， 轴 ， ． 在与中， ， ， ，， 则． 则的坐标是                     设直线的解析式是， 根据题意得： 解得， 直线的解析式是． 故选A． 10.如图，在矩形中，点是的中点，点是的中点，连接，是的中点，连接在中，，若将绕点逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段长的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，旋转到图中位置，连接、， 在中，，，， ，， 旋转前点是的中点，点是的中点， ，， ． 在中，点是的中点， ． 在的旋转过程中，的长不变， 在中，， 当，，三点共线时，最大，此时，， 的最大值为． 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.已知关于的方程的一个根是，则          ． 【答案】  【解析】略 12.如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则            ． 【答案】．  【解析】解：绕点按逆时针方向旋转得到，  ，    故答案为：． 先根据旋转的性质得到，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，正确进行计算是解题关键． 13.小敏参加了“歌颂祖国周年华诞”的诗歌创作大赛，以下为六位评委给小敏作品的打分单位：分：，，，，，则这六个分数的中位数为          ． 【答案】分  【解析】本题主要考查中位数的计算，解题的关键是：若这组数有偶数个，则中位数是中间两个的平均值． 先从小到大排序，再根据中位数的求解，若这组数有偶数个，则中位数是中间两个的平均值即可． 【详解】这组数从小到大排序为：，，，，，，共个数字， 所以这组数的中位数为第三、第四位的均值， 故中位数为 分． 故答案为：分． 14.如图是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图是其简化示意图若，则的度数为        ． 【答案】．  【解析】解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 先求出，再根据四边形的内角和求解即可． 本题主要考查了四边形内角和，掌握其相关知识点是解题的关键． 15.如图，四边形是菱形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，则菱形的面积为          ． 【答案】  【解析】题目主要考查动点函数图象，菱形的性质，勾股定理，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键． 作，垂足为，结合运动轨迹及运动图象得出，当时，有最小值，此时点和点重合，得到，勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，作，垂足为， 四边形是菱形， ， ， 由图象可得，， 当时，有最小值，此时点和点重合， ， ，， 菱形的面积． 故答案为：． 16.新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即对于函数 当时，           若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是          ． 【答案】(1)1  (2)<k<2  【解析】 略  略 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解方程： ； ． 【答案】(1)，  (2)x1＝4，x2＝2  【解析】 略  略 18. 在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”，“到”，“成”“功”的四个小球将其搅匀这些小球除汉字不同外其他都相同． 从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为        ； 随机从袋中一次取出两个小球，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率汉字不分先后顺序． 【答案】解：； 画树状图为： 共有种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果数为， 所以取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率．   【解析】直接利用概率公式求解； 画树状图展示所有种等可能的结果，再找出取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 19.本小题分 为了解八年级学生每周参加科学教育的时间单位：，学校随机调查了该校八年级名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图请根据相关信息，解答下列问题： 在扇形统计图中，______ ，在箱线图中______ ，______ ； 本次调查样本中数据的众数为______ ； 根据样本数据，若该校八年级共有学生人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少？ 【答案】；；．   时间不少于的学生，对应和两个时间段，  总占比为：，  该校八年级共有人，因此估计人数为：人，  答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人．   【解析】解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：，  根据样本容量，  计算各时间段人数：：人，  ：人，  ：人，  ：人，  ：人，  ：人，  样本容量为，第、个数据均为，第个数据为，  ，  故答案为：；；  众数是一组数据中出现次数最多的数，  由各时间段人数可知，对应的人数为人，是所有时间段中人数最多的，  因此众数为；  故答案为：  时间不少于的学生，对应和两个时间段，  总占比为：，  该校八年级共有人，因此估计人数为：人，  答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为人． 先由扇形图百分比和为算出；再用总人数乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第个数据为和第、个数据均为，得、；  众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有人、有人、有人、有人、有人、有人．对比人数，的人数最多，故众数为；  先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数为人． 本题考查扇形统计图，用样本估计总体，中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20.本小题分 如图，▱的对角线，相交于点，是等边三角形，． 求证：▱是矩形； 求的长． 【答案】证明：为等边三角形， ，， 四边形是平行四边形 ，， ， ▱是矩形； 解：▱是矩形， ， ， ， ．  【解析】由等边三角形的性质得，再由平行四边形的性质得，，则，即可得出结论； 由矩形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质求解即可． 本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21.本小题分 如图所示均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． 在图中，将向上平移，使点与点重合，画出 在图中，画出，使与关于点成中心对称 在图中，画出将绕点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)解:由题意知，△ABC向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到△A1DC1．如图1，△A1DC1即为所求．   图1              ​​​​​​   (2)如图2，△A2B2C2即为所求．    (3)如图3,即为所求.   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 22.本小题分 年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数某店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件． 求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率． 从年月份起，该店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，销售量就会在月份销售量的基础上增加件当该玩偶的售价为多少元时，商店每月销售纪念册获得的利润达到元？ 【答案】  元  【解析】解：设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为； 设该玩偶的售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：当该玩偶的售价为元时，商店每月销售纪念册获得的利润达到元． 设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款玩偶月份的销售量该款玩偶月份的销售量该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 设该玩偶的售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23.本小题分 如图直线：经过点，． 求直线的表达式； 若直线与直线相交于点，求点的坐标； 根据图象，直接写出关于的不等式的解集； 在直线上存在异于点的另一点，使得的面积是的面积倍，请直接写出点的坐标． 【答案】解：由题意得 解得 直线的表达式为 解，得 点的坐标为 把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为 或．  【解析】【分析】 本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． 利用待定系数法求解即可 两解析式联立成方程组，解方程组即可求解 根据图象即可求解 与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的纵坐标，代入函数解析式，最后可得出点的坐标． 【解答】 解：见答案． 与底边都是，的面积是面积的倍， 高就是点到直线的距离的倍，即纵坐标的绝对值， 点纵坐标是， 当时，则，解得 当时，则，解得 的坐标为或． 故答案为：或． 24.本小题分 综合与实践  正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接；  【初步探究】  如图，当点在线段上时，与的数量关系是  ______ ；与的位置关系为  ______ ；，，三者的数量关系为  ______ ；  【探索发现】  当点在线段延长线上运动时，如图，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由；  【拓展延伸】  如图，连接，若，，则的长为  ______   【答案】解：，，； 四边形、都是正方形， ，，，， ， ≌， ，， ， ， ，， ， 又，， ； ， 理由：如图，四边形、都是正方形， ，，，， ， ≌， ，， ， 又点在线段延长线上， ， ， ，， ， 又，， ； ． 在正方形中，， ， 由知：， ， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点． 求直线的解析式及点的坐标； 如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求的最小值； 如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，在直线上是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：，，  ，  ，，  设直线的解析式为，  ，  解得，  ，  当时，解得，  ；  过点作轴交于点，  设，则，  ，  ，  解得或舍，  ，  作点关于轴的对称点，过点作，过点作，交于点，    四边形是平行四边形，  ，  连接，  ，  当、、三点共线时，有最小值，  ，  ，  ，  最小值为；  存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，理由如下： 设将沿着射线方向平移，相当于将向左平移个单位长度，则向下平移个单位长度，  ，，，  ，，  ，  ，  ，，  四边形是平行四边形，  由平移可知，，，  ，，  ，  ，  当时，是等腰直角三角形，，  解得或舍，  ；  当时，是等腰直角三角形，，  解得或舍，  ；  设的中点为，的中点为，  当时，，  解得或舍， ；  综上所述：点坐标为或   【解析】求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；  过点作轴交于点，设，则，根据面积可得，求出的值从而确定点坐标，作点关于轴的对称点，过点作，过点作，交于点，连接，当、、三点共线时，有最小值，最小值为；  设将沿着射线方向平移，相当于将向左平移个单位长度，则向下平移个单位长度，则，，，分三种情况讨论：当时，；当时，；设的中点为，的中点为，当时， 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第13页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1.下列品牌公司的图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码，小李帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为(    ) A. B. C. D. 3.已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是  (    ) A. B. C. D. 无法确定 4.某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是(    ) A. 乙组的中位数是分 B. 甲组成绩的上四分位数是分 C. 乙组有同学的成绩超过分 D. 乙组成绩比甲组成绩集中 5.如图，菱形的对角线，相交于点，、分别是、的中点，连接，若，，则菱形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系每盆植株时，平均每株盈利元；若每盆增加株，平均每株盈利减少元要使每盆的盈利达到元，每盆应多植多少株？设每盆多植株，根据题意可列出方程为(    ) A. B. C. D. 7.图是我国现存最完整的古代计时工具元代铜壶滴漏李红同学制作了一个简单的滴漏计时工具如图，“壶”中漂浮的带有刻度的木箭随水面匀速缓缓上移，对准标尺就可以读出时间若表示时间，表示木箭上升的高度，则下列图象能表示与之间关系的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于点，，以线段为边在第一象限内作等腰，则过，两点的直线的表达式为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在矩形中，点是的中点，点是的中点，连接，是的中点，连接在中，，若将绕点逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段长的最大值是(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，共22分。 11.已知关于的方程的一个根是，则          ． 12.如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则            ． 13.小敏参加了“歌颂祖国周年华诞”的诗歌创作大赛，以下为六位评委给小敏作品的打分单位：分：，，，，，则这六个分数的中位数为          ． 14.如图是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图是其简化示意图若，则的度数为        ． 15.如图，四边形是菱形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，则菱形的面积为          ． 16.新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即对于函数 当时，           若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解方程： ； ． 18.本小题分 在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“马”，“到”，“成”“功”的四个小球将其搅匀这些小球除汉字不同外其他都相同． 从袋中随机取一个小球，恰好是“马”的概率为        ； 随机从袋中一次取出两个小球，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“成功”的概率汉字不分先后顺序． 19.本小题分 为了解八年级学生每周参加科学教育的时间单位：，学校随机调查了该校八年级名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图请根据相关信息，解答下列问题： 在扇形统计图中，______ ，在箱线图中______ ，______ ； 本次调查样本中数据的众数为______ ； 根据样本数据，若该校八年级共有学生人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少？ 20.本小题分 如图，▱的对角线，相交于点，是等边三角形，． 求证：▱是矩形； 求的长． 21.本小题分 如图所示均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． 在图中，将向上平移，使点与点重合，画出 在图中，画出，使与关于点成中心对称 在图中，画出将绕点顺时针旋转得到的． 22.本小题分 年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数某店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件． 求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率． 从年月份起，该店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，销售量就会在月份销售量的基础上增加件当该玩偶的售价为多少元时，商店每月销售纪念册获得的利润达到元？ 23.本小题分 如图直线：经过点，． 求直线的表达式； 若直线与直线相交于点，求点的坐标； 根据图象，直接写出关于的不等式的解集； 在直线上存在异于点的另一点，使得的面积是的面积倍，请直接写出点的坐标． 24.本小题分 综合与实践  正方形中，为对角线，点在线段上运动，以为边作正方形，连接；  【初步探究】  如图，当点在线段上时，与的数量关系是  ______ ；与的位置关系为  ______ ；，，三者的数量关系为  ______ ；  【探索发现】  当点在线段延长线上运动时，如图，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由；  【拓展延伸】  如图，连接，若，，则的长为  ______   25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点． 求直线的解析式及点的坐标； 如图，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求的最小值； 如图，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，在直线上是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第8页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $