3.5 函数中的构造问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数构造问题”核心考点，依据高考评价体系梳理了抽象函数构造（和差型、与xn/e^(nx)/sinx结合）及具体函数构造两大考查方向，通过近五年真题分析明确抽象函数单调性应用占55%、比较大小占30%的高频考点，归纳出多选、不等式解集等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+思维建模+素养提升”策略，如以2021全国乙卷比较大小题为例，运用泰勒展开式和构造函数法突破难点，培养数学思维与数学语言表达素养。特设“构造模板库”和“易错警示”，学生可掌握导数应用技巧，教师能依托系统题型分类实现精准复习，助力高效备考。

函数中的构造问题 例1　(多选)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，则下列结论正确的是 A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 √ 题型一　利用f(x)进行抽象函数构造 命题点1　构造和差型函数 √ √ 解析　构造函数g(x)=f(x)-ln x，x>0，则g'(x)=f'(x)-=， 因为xf'(x)-1>0，所以g'(x)>0，故g(x)是增函数. 由g(2)>g(1)得f(2)-ln 2>f(1)-ln 1， 即f(2)-ln 2>f(1)，故A正确； 由g(4)>g(2)得f(4)-ln 4>f(2)-ln 2， 即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2，故B正确； 由g(e)>g(2)得f(e)-ln e>f(2)-ln 2， 即f(e)+ln 2>f(2)+1，故C错误； 由g(e2)>g(e)得f(e2)-ln e2>f(e)-ln e， 即f(e2)-2>f(e)-1，即f(e2)-f(e)>1，故D正确. 此类问题一般将不等式的两端转化为相同形式，然后利用单调性求解. 思维升华 例2　已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x∈(0，+∞)时，xf'(x)<f(x)，则不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为 A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(2，3) C.(-3，0)∪(2，7) D.(-∞，-3)∪(2，7) √ 命题点2　利用f(x)与xn构造 解析　由题意，令g(x)=， 则g'(x)=， 当x∈(0，+∞)时，xf'(x)<f(x)， 则g'(x)<0， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减. 又f(x)为(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数， 则g(-x)====g(x)， 所以g(x)为定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数， 所以g(x)在(-∞，0)上单调递增， 解析　由5f(2-x)+(x-2)f(5)<0， 得5f(2-x)<(2-x)f(5)，易知x≠2， 当2-x>0，即x<2时，不等式可化为<，即g(2-x)<g(5)， 由g(x)在(0，+∞)上单调递减，得2-x>5，解得x<-3，故x<-3； 当2-x<0，即x>2时，不等式可化为>，即g(2-x)>g(5)=g(-5)， 由g(x)在(-∞，0)上单调递增，得2-x>-5，解得x<7，故2<x<7， 综上所述，不等式5f(2-x)+(x-2)f(5)<0的解集为(-∞，-3)∪(2，7). (1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x). (2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=. 思维升华 例3　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f'(x)-2，则 A.f(2 026)-ef(2 025)<2(e-1) B.f(2 026)-ef(2 025)>2(e-1) C.f(2 026)-ef(2 025)>2(e+1) D.f(2 026)-ef(2 025)<2(e+1) √ 命题点3　利用f(x)与enx构造 解析　令g(x)=，则g'(x)=， 因为f(x)<f'(x)-2，即f'(x)-f(x)-2>0， 则g'(x)>0， 因此函数g(x)是增函数， 于是得g(2 026)>g(2 025)， 即>， 所以f(2 026)+2>e[f(2 025)+2]， 即f(2 026)-ef(2 025)>2(e-1). (1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x). (2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=. 思维升华 例4　(多选)定义在上的函数f(x)，已知f'(x)是它的导函数，且恒有 cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0成立，g(x)=，则 A.g<g B.g>g C.f>f D.f>f 命题点4　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 √ √ √ 解析　g(x)=，x∈，则g'(x)=， 因为cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0， 所以g'(x)<0，则g(x)=在上单调递减， 所以g<g，g<g，故A正确，B错误； 又g<g，所以<， 即<，故f>f，故C正确； 解析　由g<g， 得<，即<， 所以f>f，故D正确. 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 F(x)=f(x)sin x， F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x； F(x)=， F'(x)=； F(x)=f(x)cos x， F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x； F(x)=， F'(x)=. 思维升华 跟踪训练1　(1)(2025·毕节模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，f'(x)是f(x)的导函数，f(1)=0，当x<0时，xf'(x)+3f(x)>0，则不等式f(x)<0的解集为 A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(0，1) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(1，+∞) √ 解析　令g(x)=x3f(x)，则g'(x)=3x2f(x)+x3f'(x)=x2[3f(x)+xf'(x)]， 由题意知当x<0时，g'(x)>0，故g(x)在(-∞，0)上单调递增， 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 所以g(-x)=(-x)3f(-x)=x3f(x)=g(x)， 所以g(x)是定义域为R的偶函数， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又因为f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0， 所以g(1)=g(-1)=0， 所以当x∈(-∞，-1)时，g(x)=x3f(x)<0，则f(x)>0； 解析　当x∈(-1，0)时，g(x)=x3f(x)>0，则f(x)<0； 当x∈(0，1)时，g(x)=x3f(x)>0，则f(x)>0； 当x∈(1，+∞)时，g(x)=x3f(x)<0，则f(x)<0. 则不等式f(x)<0的解集为(-1，0)∪(1，+∞). (2)(2025·重庆期末)函数f(x)的定义域为R，且f(x)<f'(x)+1，f(0)=3，则不等式f(x)>2ex+1的解集为 A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(1，+∞) √ 解析　设g(x)=， 对g(x)求导，则g'(x)==. 因为f(x)<f'(x)+1，即f'(x)-f(x)+1>0，而ex>0恒成立，所以g'(x)>0恒成立， 所以函数g(x)是R上的增函数. 又f(0)=3，则g(0)===2. 不等式f(x)>2ex+1可变形为f(x)-1>2ex，即>2，即g(x)>g(0). 因为g(x)是R上的增函数，所以x>0， 即不等式f(x)>2ex+1的解集为(0，+∞). 例5　(1)已知a=ln，b=，c=，则 A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a 题型二　构造具体函数 √ 解析　令f(x)=ln x-x+1(x>0)，所以f'(x)=-1=， 当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，所以f(x)≤0， 当且仅当x=1时取等号， 则当x=时，f=ln-+1<0，即ln<，所以a<b； 因为ln x-x+1≤0，故ln ex-1-ex-1+1≤0， 即ex-1≥x，当且仅当x=1时等号成立， 故=>，故b<c. 综上可知a<b<c. (2)已知a=e0.05，b=ln 1.05+1，c=，则 A.b>a>c B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c √ 解析　令f(x)=ex-x-1(x>0)，则f'(x)=ex-1>e0-1=0， 故f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)>f(0)=e0-0-1=0， 则f(0.05)=e0.05-0.05-1=e0.05-1.05>0， 故e0.05>1.05，f(ln 1.05)=1.05-ln 1.05-1>0， 故1.05>ln 1.05+1，故e0.05>ln 1.05+1>1>，即a>b>c. 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明的结构特点，然后依据 此特点构造新函数.常用的不等式：sin x<x<tan x，ln(x+1) <x(x>0)，ln x≤x-1≤x2-x(x>0)，ex≥x+1，ex≥ex>x(x>0). 思维升华 跟踪训练2　(1)(2026·泰安模拟)已知a=，b=-1，c=ln 5-2ln 2，则 A.a<c<b B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c √ 解析　设f(x)=ex-x-1，则f'(x)=ex-1， 当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立， 所以>+1，即b=-1>=a. 设g(x)=ln x-x+1， 则g'(x)=-1=，x>0， 当x∈(0，1)时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 解析　当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(1)=0，即ln x≤x-1，当且仅当x=1时，等号成立， 所以ln<-1=，即c=ln 5-2ln 2<=a， 所以c<a<b. (2)(2026·重庆模拟)已知x=ln-，y=ln-，z=ln 2-2，则 A.x>y>z B.x>z>y C.z>y>x D.z>x>y √ 解析　令f(t)=ln t-，t>0， 则f'(t)=-=， 则当t∈(0，2)时，f'(t)>0， 当t∈(2，+∞)时，f'(t)<0， 即f(t)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 又x=ln-=f，y=ln-=f，z=ln 2-2=f(2)， 由<<2，故f(2)>f>f，即z>y>x. 微拓展 泰勒展开式 1.泰勒公式 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对∀x∈(a，b)， 有f(x)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n+Rn(x)， 其中f (n)(x0)表示f(x)在x=x0处的n阶导数，Rn(x)是余项，等号后的多项式称为函数f(x)在x=x0处的n阶泰勒展开式. 微拓展 2.麦克劳林公式 f(x)=f(0)+x+x2+…+xn+Rn(x)， 麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0=0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及. 3.常见函数的麦克劳林展开式(o(xn)是高阶无穷小量) (1)ex=1+x++…++o(xn)； (2)sin x=x-+-…+(-1)n-1+o(x2n-1)； 微拓展 (3)cos x=1-+-+…+(-1)n+o(x2n)； (4)ln(1+x)=x-+-…+(-1)n-1+o(xn)，x∈(-1，1]； (5)=1+x+x2+…+xn+o(xn)； (6)(1+x)α=1+αx+x2+…+xn+o(xn)，x∈(-1，1). 4.两个超越不等式(注意解答题需先证明后使用) (1)对数型超越放缩：≤ln x≤x-1(x>0)； (2)指数型超越放缩：x+1≤ex≤(x<1). 典例　(1)设a=0.1e0.1，b=，c=-ln 0.9，则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b √ 微拓展 解析　因为e0.1≈1+0.1+=1.105，所以0.1e0.1≈0.110 5<b=≈0.111 1，所以a<b. 因为c=-ln 0.9=ln=ln≈-+≈0.105<a，所以c<a， 综上所述，c<a<b. (2)(2021·全国乙卷)设a=2ln 1.01，b=ln 1.02，c=-1，则 A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b √ 微拓展 解析　方法一　由泰勒公式，可知ln(1+x)≈x-x2+x3，(1+x-1≈x-x2+x3， 则a=2ln 1.01=2ln(1+0.01)≈2×≈0.019 90， b=ln 1.02=ln(1+0.02)≈0.02-×0.022+×0.023≈0.019 803， c=-1=(1+0.04-1≈×0.04-×0.042+×0.043=0.019 804， 由此可知b<c<a. 解析　方法二　b-c=ln 1.02-+1，设f(x)=ln(x+1)-+1， 则b-c=f(0.02)，f'(x)=-=， 当x≥0时，x+1=≥， 故当x≥0时，f'(x)=≤0， 所以f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以f(0.02)<f(0)=0，即b<c. a-c=2ln 1.01-+1，设g(x)=2ln(x+1)-+1， 则a-c=g(0.01)，g'(x)=-=， 当0≤x<2时，≥=x+1，故当0≤x<2时，g'(x)≥0， 所以g(x)在[0，2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)=0，故c<a，从而有b<c<a. 一、单项选择题 1.设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　设f(x)=，x>0， 则f'(x)=. 令f'(x)>0得0<x<e，所以函数f(x)在(0，e)上单调递增. 因为<2<e，所以f()<f(2)<f(e)， 即<<，即<<，所以b<a<c. 2.已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2fsin x的解集为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　令函数g(x)=，x∈(0，π)， 则g'(x)=<0， 因此函数g(x)在(0，π)上单调递减， 不等式f(x)>2fsin x⇔>， 即g(x)>g，解得0<x<， 所以原不等式的解集为. 3.已知a=0.1，b=ln 1.1，c=ln 1.2-0.1，则 A.b>c>a　　　B.c>a>b　　　C.a>c>b　　　D.a>b>c √ 解析　令函数f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，求导得f'(x)=-1，当x>0时，f'(x)<0，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)<f(0)=0，即当x>0时，ln(1+x)<x， 则ln 1.1<0.1，即b<a， 又f(0.2)<f(0.1)，即ln 1.2-0.2<ln 1.1-0.1， 则ln 1.2-0.1<ln 1.1， 即c<b，所以a>b>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 4.设f'(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，f(x)-f'(x)-2ex<0(e为自然对数的底数)，且f(2)=-4e2，则不等式f(x)>-2xex的解集为 A.(2，+∞) B.(-∞，-2) C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-2，0)∪(2，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　设g(x)=+2x，则g'(x)=+2=， ∵f(x)-f'(x)-2ex<0，∴f'(x)-f(x)+2ex>0，即g'(x)>0， ∴函数g(x)是R上的增函数，又f(2)=-4e2， ∴g(2)=+4=+4=0， 由f(x)>-2xex，可得+2x>0，即g(x)>0=g(2)， 又函数g(x)是R上的增函数，∴x>2， 即不等式的解集为(2，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f'(x)，且当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0，则不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0的解集为 A.(-∞，2 025) B.(2 025，2 027) C.(-∞，2 025)∪(2 027，+∞) D.(2 027，+∞) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　令F(x)=x2f(x)， 则F'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]， 因为当x<0时，2f(x)+xf'(x)<0， 所以当x<0时，F'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0， 即F(x)在(-∞，0)上单调递增， 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(-x)=f(x)， 所以F(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=F(x)， 所以F(x)是偶函数，且在(0，+∞)单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　所以F(x-2 026)=(x-2 026)2f(x-2 026)，F(-1)=(-1)2f(-1)=f(-1)， 即不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0等价为F(x-2 026)<F(-1)， 所以|x-2 026|>1，解得x<2 025或x>2 027， 所以不等式(x-2 026)2f(x-2 026)-f(-1)<0的解集为(-∞，2 025)∪(2 027，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 6.计算器计算ex，ln x，sin x，cos x等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时， 有f(x)=f(x0)+(x-x0)+++…，其中f'(x) 是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f(3)(x)是f″(x)的导数，….取x0=0，则sin 1精确到0.01的近似值为 A.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.88 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　根据题意，f(x)=sin x，f'(x)=cos x，f″(x)=-sin x，f(3)(x)=-cos x，…， 取x0=0，可得f(x)=f(0)+x+x2+x3+…， 则f(x)=sin x=0+1×x+0×x2+(-1)×x3+0×x4+1×x5+… =x-x3+x5+…， 令x=1，代入上式可得f(1)=sin 1=1-++…=+…≈0.84， 所以sin 1≈0.84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、多项选择题 7.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且对任意的x∈R，都有f(x)+f'(x)>0，则下列说法正确的是 A.ef(1)<f(0) B.ef(1)>f(0) C.2f(ln 2)<ef(1) D.2f(ln 2)>ef(1) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　令g(x)=exf(x)， 所以g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0， 所以g(x)在R上是增函数，所以g(0)<g(1)， 即f(0)<ef(1)，故A错误，B正确； 又g(ln 2)<g(1)， 所以eln 2f(ln 2)<ef(1)， 即2f(ln 2)<ef(1)，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8.若f(x)满足xf'(x)-f(x)>x2sin x，△ABC的内角A为钝角，则下列选项正确的是 A.cos C·f(sin B)<sin B·f(cos C) B.cos C·f(sin B)>sin B·f(cos C) C.cos B·f(sin C)<sin C·f(cos B) D.cos B·f(sin C)>sin C·f(cos B) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　xf'(x)-f(x)>x2sin x， 当x∈时，sin x>0，所以>sin x>0， 令F(x)=，x∈， 则F'(x)=>0， 所以F(x)在上单调递增. 因为在△ABC中，角A为钝角， 所以0<B+C<，即0<B<-C<， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　所以0<sin B<sin=cos C<1<， 所以F(sin B)<F(cos C)， 即<，即cos C·f(sin B)<sin B·f(cos C)，故A正确，B不正确. 同理，由0<B+C<可得0<C<-B<， 所以0<sin C<sin=cos B<1<， 所以F(sin C)<F(cos B)， 即<，即cos B·f(sin C)<sin C·f(cos B)，故C正确，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 三、填空题 9.已知a=sin 0.9，b=0.9，c=cos 0.9，则a，b，c的大小关系是　 　　. (用“>”连接)  b>a>c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　令函数f(x)=x-sin x，x>0， 则f'(x)=1-cos x，则f'(x)≥0恒成立， 故函数f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增， 所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，则f(0.9)=0.9-sin 0.9>0， 于是0.9>sin 0.9，即b>a， 当x∈时，x-∈，则sin x-cos x=sin>0， 所以sin x>cos x，而<0.9<， 于是sin 0.9>cos 0.9，即a>c.综上可得b>a>c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10.已知a=eπ-3，b=ln(eπ-2e)，c=π-2，则a，b，c的大小关系为　　　　. (用“<”连接)  b<c<a 解析　由a=eπ-3，b=ln(eπ-2e)， 即a=e(π-2)-1，b=ln(eπ-2e)=ln(π-2)+1， 令f(x)=ex-1-x， 当x>1时，f'(x)=ex-1-1>0恒成立， 故f(x)在(1，+∞)上单调递增， 则f(π-2)=e(π-2)-1-(π-2)>f(1)=0，即a>c； 令g(x)=ln x-x+1，当x>1时，g'(x)=-1=<0恒成立， 故g(x)在(1，+∞)上单调递减， 则g(π-2)=ln(π-2)+1-(π-2)<g(1)=0，即b<c，故b<c<a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 $