构造法在解决函数、导数问题中的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

构造法在解决函数、导 数问题中的应用 角度1 利用与 构造函数 例1（1）已知定义域为的函数，对任意的 都有， 且，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 构造函数，则 ， 所以在上单调递增，且. 由 可得，即， 所以，解得 . 故选B. √ 类型一 逆用导函数思维 2 （2）已知函数的定义域为，其导函数 满足 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 3 [解析] 令， ， 则， 所以在 上单调递减. 不等式 等价于 ，即， 所以 解得 .故选A. 4 变式题 [2025·江西南昌三模]已知函数的定义域为 ，且 ，对任意， ，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 设，则， 对任意 ，，恒 成立，即在 上单调递减， 由可得 ，， 解得，故所求解集为 .故选A. √ 5 角度2 利用与 构造函数 例2 [2025·茂名一模]已知函数为上的奇函数， ，当 时，，不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 构造，则 ， 因为当时，，所以， 单调递增， 则的正负符号由决定. 又因为 ，所以. √ 6 因为在上单调递增，所以当 时，， 所以此时； 当时， ，所以此时. 又因为为 上的奇函数，所以当时，， 则，当 时，， 则，且 . 若，则或即 或 解得或. 综上， 的解集为 .故选D. 变式题 若定义在上的函数满足，则当 时，与 的大小关系为( ) A. B. C. D.不能确定 [解析] 令，则 ， 因为，所以，即函数在 上单调递增， 又，所以，即，即 .故选B. √ 8 角度3 利用与, 构造函数 例3 已知定义在上的函数满足 ，且当 时，，若，则 的解集为_ _______. [解析] 因为当时， ， 所以由可得 ， 令， ，则当时， ，故在 上单调递增. 9 因为是定义在上的函数且满足 ， 则，则为 上的偶函数. 又，所以， 因为当时 ，所以，即， 即， 结合 的奇偶性和单调性可得，，解得， 故 的解集为 . 10 变式题 （多选题）已知函数对于任意的 都有 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. √ √ 11 [解析] 令，对于任意的 , ，所以在 上单调递增，所以 ，即 ，即，故A错误； 由 ，得，即，故B正确； 由 ，得，即 ，故C正确； 由，得，即 ，故D错误. 故选 . 12 [总结反思] 逆用导函数思维构造函数解题的前提是熟悉常见函数的导数公式以及 四则运算法则，最好能记住常见的构造模型.下面是常见的构造模型. 模型1：对于不等式，构造函数 . 模型2：对于不等式，构造函数 模型3：对于不等式，构造函数 . 模型4：对于不等式，构造函数 . 拓展：对于不等式，构造函数 .#3.1.5 13 模型5：对于不等式，构造函数. 模型6：对于不等式，若 ，则构造函数 . 模型7：当时，对于不等式 (或 ，即 (或 ，构造函数 . 模型8：对于不等式 ，构造函数 ．#3.1.9 14 例4（1）设,,,则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 构造函数,则,当时, , 当时,,所以函数在 上单调递减. 因为,, , 且,所以,即 .故选A. √ 类型二 具体函数构造 15 （2）[2026·南通模拟]已知且， 且 ，且 ，则( ) A. B. C. D. √ 16 [解析] 由可得 ， 同理，. 令 ，则有，， ， 因为，所以当时，，当 时， ，所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以， 且当时， ，当 时， . 由单调性知，，且, , ，所以,,，即 ， 再由单调性知， .故选D. [总结反思] 此类问题常化为结构相同的双变量结构，构造新函数，利用新函数 的单调性解决. 18 变式题（1）已知 ， 均为锐角，且 ， 则( ) A. B. C. D. √ 19 [解析] 将 ， 整理得， 令， ， 因为，所以在 上单调递增， 所以 ， 又 ， 均为锐角，所以 ，， 所以 ， .故选D. （2）[2022·全国甲卷]已知,, ,则( ) A. B. C. D. [解析] 因为,当时, ， 所以,即,所以； 设, ，则， 所以在 上单调递增，则,即， 所以.所以 ，故选A. √ 21 例5（1）[2025·烟台三模]若不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ， 令，则恒成立，则 恒成立. 令，则，当时， ， 当时，，所以在 上单调递减， 在上单调递增，所以，所以 ， 故实数的取值范围为 .故选C. √ 类型三 同构 22 （2）[2025·玉溪三模]设函数， ，若存 在,，使得，则 的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得 ， 所以， 又因为，所以在 上单调递增， 因为，所以 ， 所以. √ 23 令, ，则,， 令 ,，则,， 可得，所以 在上单调递减. 因为，所以当时， ，， 则在上单调递增，当 时，，， 则在上单调递减， 所以当 时，取得最大值，所以 .故选A. [总结反思] 与和 相关的常见同构模型： ①，构造函数 或 ； ②，构造函数或 ； ③ ，构造函数 或 . 25 变式题（1）已知函数， ，若存在正数 ，，使得，则 的最小值为__. 26 [解析] 因为,，所以 ，由题意可得 ，整理可得 ，即 因为,在 上均单调递减， 所以在上单调递减，可得，则 . 构造函数,，则， 当时， ，当时，， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 则，所以的最小值为 . 27 （2）已知函数，若 恒成立，则正实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] ， ，且，两边加上 得 . 设，则， 单调递增， ，即 . 28 令，则， 的定义域是， 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 当时， 取得极大值即为最大值， ， ， . 29 【备选理由】例1需要适当变形才能构造函数，有点难度； 例1 ［配例1使用］已知定义在上且无零点的函数 满足 ，且 ，则( ) A. B. C. D. √ 教 师 备 用 习 题 30 [解析] 由变形得 ， 所以，即，所以， 因为 ，所以，则，则 ，当时，，当时，，所以 在 上单调递增，在上单调递减，所以 ，， 又 ，， 所以，所以 . 综上， .故选D. 教 师 备 用 习 题 31 例2 ［配例3使用］（多选题）已知函数的导函数为 ，若当 时， ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 【备选理由】 例2是与正切函数有关的构造函数问题； 教 师 备 用 习 题 32 [解析] 因为，所以 ，所以由， 得 ，即， 所以函数在 上单调递减. 因为 ， 所以 ， 即 ，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误.故选 . 教 师 备 用 习 题 33 例3 ［配例3使用］已知函数及其导函数的定义域均为 ， 且为偶函数，， ，则不等 式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例3是与三角函数有关的构造问题； 教 师 备 用 习 题 34 [解析] 令 ，则 ，所以在上单调递减. 又因为 为偶函数，所以， 所以 . 又 ， 所以不等式等价于， 根据函数 的单调性可知，解得 ， 所以不等式的解集为 . 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例5使用］已知 ， 均为锐角，且 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ， 所以 ， 所以. √ 【备选理由】 例4需要进行放缩才能同构. 教 师 备 用 习 题 36 令， ， 则， 所以在 上单调递增，所以 ， 因为 ， 均为锐角，所以 ，， 所以 ， ，故A正确，C错误； 若,则 ，若,则 ， 所以无法确定 , 的大小，故B，D错误.故选A. 教 师 备 用 习 题 作业手册 38 1.不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 设,则, 当 时，，当时，, 所以在 上单调递增，在上单调递减. 原不等式可化为,即 ， 结合,可得,所以原不等式的解集为 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 2.已知函数的导函数为，对任意实数 ，都有 ，且，则 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 由，,可得 ， 令，则, 又 ，所以，所以在上单调递增. 原不等式等价于 ，所以， 则原不等式的解集为 .故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 3.[2025· 南京六校联考]已知， ， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 . 构造函数，，则 . 令， ， 则，则在 上单调递增， 得，则在 上单调递增. 又，，，所以 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 4.[2025·十堰四月调考]已知 ， ，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 [解析] 令，则， 当 时，，所以函数在 上单调递减. 因为 ， 所以 ，即 ， 又 ，，所以 ， 即， 因为 ，所以，所以或 ，解得或 ， 则 的取值范围是 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 5.已知,,,其中 为自然对数的底数,则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得,, . 设,则, 当时,, 单调递增, 又,所以 , 即,所以 .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 6.已知函数的定义域为，设的导函数是 ，若 恒成立，则( ) A. B. C. D. [解析] 设 ， 则， 故在 上单调递增，所以， 即，所以 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 7.已知对任意恒成立，则 的最大值为( ) A.0 B. C. D.1 [解析] 由,得 , 所以对任意恒成立. 令 ,则在上单调递增， 令,得 ,当时，,当时，, 所以在 上单调递减，在上单调递增， √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 所以 ,即. 令,, 则 在上单调递增， 令,得,所以当 时，, 当时，, 所以在 上单调递减，在上单调递增， 所以,所以,所以 的最大值为1.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.[2026· 长沙一中月考]已知实数,,满足 , ，，其中 为自然对数 的底数，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 [解析] 设函数，其定义域为，且 ， 当时，，则在上单调递增； 当 时，，则在上单调递减. 因为 ,, ，所以,, ，即,,且 ,, ，所以且,,， 所以 .故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 9.（多选题）已知 ，则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. [解析] 设，则， 所以 在上单调递增， 又,所以 ，即， 即，故A正确； 令， ，则，而， 所以 ，故B不正确； √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 设，则 ， 当时，，函数单调递减, 当 时，，函数单调递增, 则在 处取得最小值， 最小值为，所以 ，故C正确； 设，则 ， 所以在上单调递增，又， 所以 ,即，即，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知奇函数及其导函数的定义域均为， ，当 时，，则使不等式成立的 的取值 范围是___________________. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 [解析] 当时，因为 ，所以. 令，则当 时，， 所以在 上单调递增. 因为是奇函数，即 ， 所以 ，所以 为偶函数，其图象关于轴对称. 因为，所以 ，所以， 作出 的大致图象如图所示.由图可知，使不等式成立 的的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 53 11.对任意，，当时，，则 的 取值范围为________. [解析] 由，得 ， 两边取自然对数，得， 即 ，则. 令，则在 上单调递减， 所以在上恒成立，则对 恒成立， 所以对恒成立，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 12.[2025·重庆八中月考] 若对任意 恒成立，则实数 的取值范围为_ _______． [解析] 根据题意得 ， 即. 令 ，则，， 令 ,则, 当时，, 单调递减， 当时，, 单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 55 所以， 所以在 上单调递增. 因为，所以，所以 . 令，则， 当 时，，当时，， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 所以，所以 ， 所以实数的取值范围为 ． 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $