四川南充高级中学2025－2026学年九年级下学期第十次阶段性质量检测数学试卷

**基本信息** 南充高中初2023级数学月考试卷，立足基础，融合文化传承与实际应用，如以《缉古算经》为背景的方程问题、营养品成本利润的函数应用，考查抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、几何体视图、方程、统计量|结合几何旋转（第4题）、正五角星性质（第9题）考查空间观念| |填空题|6/24|概率、圆的弦长、坐标系最值|新运算“△”（第13题）考查运算能力，动态点最值（第15题）体现抽象能力| |解答题|9/86|全等证明、统计图表、函数综合、几何探究|营养品成本利润（第23题）建立模型意识，菱形旋转动态问题（第24题）发展创新意识|

南充高中初2023级第十次阶段性质量检测 数学试卷 (时间: 120分钟 总分: 150分 命题人:杜姗姗) 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.下列各组数中,互为相反数的是( ) A.-|-2|与-(-2) B. - (-2)与+(-2) C. - (+2)与-2 D. -|-2|与-2 2.如图摆放的几何体中,从正面与左面看形状有可能不同的是( ) 3.下列算式计算正确的是( ) A. B. C. D. 2b(4a-1)=8ab+2b 4. 如图,将 Rt ABC 绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度,得到 ADE,点 D恰好在BC上,若∠CAE=54 ,则∠ADE的度数为( ) A. 45 B. 54 C. 60 D. 63 5. 某班30位同学的科学知识测试成绩统计如表(有两个数据被遮盖),下列关于成绩的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( ) 成绩分 24 25 26 27 28 29 30 人数 1 ∎ 3 ∎ 6 7 9 A.平均数,方差 B. 中位数,方差 C. 中位数,众数 D. 平均数,众数 6. 若关于x的方程 是一元一次方程,则此方程的解是( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=2 D. x=-2 7. 唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载:“今有五十围篡入舍,小圈舍四面,大舍容六面,需舍几何?”大意为:今有50只雌鹿进舍,小圈舍可以容纳4头鹿,大圈舍可以容纳6头鹿,若每个圈舍都住满,求需要多少圈舍?设需要小圈舍x间,大圈舍y间,根据题意可列方程为( ) A. 4y+6x=50 B. 50+4x=6y C. 4x+6y=50 D. 50+6y=4x 8.如图, AB为⊙O的直径,弦CD交AB于E,交⊙O于D, 则∠ABC的度数为( ) A. 40 B. 35 C. 30 D. 25 9.正五角星是一个非常优美的几何图形,在如图所示的正五角星中,以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形,其余各点都是对角线的交点,下列结论错误的是( ) A. B. C. D. 1 学科网(北京)股份有限公司 10.抛物线 (a, c为常数且ac≠0)经过(-1, y₁), (2, y₂),(m, 0), (n, 0),y₁>y₂且m>n,以下结论: ①y₂=c₁②m>2且n<-1; ③方程 一定有两个不等的实数根: ④a>c,其中正确的结论有( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①③ 二.填空题(每题4分,共24分) 11.计算: 12.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出1个球,摸到白球的概率为 那么黑球的个数是 . 13.在实数范围内规定新运算“ ”,其规则是a b=3a-2b.已知不等式x k≥1的解集在数轴上如图表示,则k的值是 . 14.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,AB⊥CD于点E.若AB=10,CD=8,则BE= . 15.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点D(5,4),点B,点C分别在x轴上,且点B在点C左侧,连接AB, CD.若BC=2,则AB+CD的最小值为 . 16.如图,在 Rt ABC中,∠C=90 ,AD是 ABC的一条角平分线, E为AD中点,连接BE.若BE=BC, CD=2, 则BD= . 三.解答题(共86分) 17. (8分)计算: 18.(8分)如图, AB=AC, CD∥AB,点E是AC上一点,且∠ABE=∠CAD,延长BE交AD于点F. (1)求证: ABE≌ CAD; (2)如果∠ABC=65 , ∠ABE=25 ,求∠D的度数. 19.(8分)为贯彻五育并举方针,将劳动教育纳入必修课程,区劳技中心开设了多门劳动综合课,开设一段时间后,为了解对课程的喜爱情况,中心对下列课程进行了抽样调查:A家庭电路:B简单烹饪:C布艺手艺:D收纳整理:E编织,收回所有的问卷后,将有关数据进行整理,绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息,回答下面问题: (1)本次调查的学生人数为 ; (2)在 个学校中,本次共有 10800名学生参加综合课程的培训,估计喜欢“简单变化”的学生人数. (3)小明同学从A,B,D三门课程中选择一门参加劳动实践,小红同学从B,D,E三门课程中随机选择 门参加劳动实践,用表格或树状图求他们选择相同课程的概率. 20.(10分)若关于x的一元二次方程 有两个实数根. (1)求m的取值范围: (2)若a,b是关于x的一元二次方程 的两个根,且 求m的值. 21. (10分)如图,在坐标平面内, 次函数y₁=kx(b的图象与反比例函数 的图象相交于点A, B,点A的坐标为(2, 3),点B的横坐标为6. (1)求反比例函数与一次函数的解析式: (2)若点C在x轴上,D点在坐标平面内,是否存在点C,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是以AB为边的矩形,若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由. 22. (10分)如图,点D是以BC为直径的⊙O上一点,连接CD并延长至点A,连接AD, AD=BC,过点D作 DF⊥AB于点F,延长DF交CD的延长线于点E. (1)求证: DE 是⊙O的切线; ()若2 求 的值. 23.(10分)某公司生产的一种营养袋信息如表,已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍,用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多3千克. 营养品信息表 营养成分 每千克含铁42 毫克 配料表 原料 每千克含铁 甲食材 50毫克 乙食材 10毫克 规格 每包食材含量 每包单价 A包装 1千克 45元 R包装 0.25千克 12元 (1)问甲、乙两种食材等于克进价分别是多少元? (2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完. ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克? ②已知每日其他费用为2000元,且生产的营养品当日全部售出,若A的数量不低于B的数量,则A为多少吨时,每日所获总利润最大?最大总利润为多少元? 24 (10分)菱形 ABCD中, 连接BD, P是BD上的动点,将CP绕点C顺时针旋转120 得到CQ. (1)如图1,连接DQ,求证: (2)如图2,连接PQ交CD于E,当 CEP是等腰三角形时,求BP的长度; (3)如图3,连接PQ交CD于F,连接 AP,记 CFP的面积为S₁, APD的面积为S₂,求 的取值范围. 25(12分)如图1,抛物线 经过点A(-5, 0),点B(-1, - 2). (1)求抛物线解析式: (2)如图2,点P为抛物线上第二象限内一动点,过点Q(-4,0)作y轴的平行线,交直线AP于点M,直线OP于点N,当点P运动时,4QM QN的值是否变化?若变化,说明变化规律,若不变,求其值: (3)如图3,长度为 的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上),连接OQ,过点 C作CE∥OD交抛物线于点E,线段CD在移动的过程中,直线CE经过定点F,直接写出定点F的坐标是 的最小值. 参考答案 1. B 2. D 3. C 4. D 5. C 6. A 7. C 8. B 9. D 解析:选项A,因为五边形 ABCDE 为正五边形.所以∠ABC=∠BAE=∠AED=(5-2)x180 5=108 ,且AB=BC=AE=DE.在∆ABC中,AB=BC.所以∠BAC=∠BCA=(180 -108 ) 2=36 ,同理,在∆ADE中,∠DAE=∠ADE=36 ,所以∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠DAE=108 -36 -36 = 36 ,故选项A正确。 选项B,因为∠BAC=36 ,∠ABE=(180 -108 ) 2= 36 ,所以∠BAP=∠ABP=36 , 所以 AP= BP,因为∠APE=∠BAP+∠ABP=72 ,∠AEP=36 , 所以∠PAE=180 -72 -36 =72 ,所以∠APE =∠PAE,所以PE = AE。 因为AE=AB=BC,所以PE = BC。 在 ABC 中,由黄金分割性质可知 , 因为AC=AP+PC,且易证 PBC 为等腰三角形(∠PBC=72 ,∠PCB=36 ∠BPC =72 ), 所以PC = BC,AC = AP+ BC. 所以=,即+1=,所以=因为AP=BP,BC=PE, 所以=,即PB=PE,故选项B正确。 选项C,由上可知 AP =BC, 又因为AD为正五边形的对角线,所以AD=AC = BC。 所以=== 所以PA=AD,故选项C正确。 选项D,由对称性可知 PT 为正五边形 PQRST 的边长(虽然题目未明确说明,但可通过计算得出) BE = AD = BC,BP = TE = BC, 所以PT=BE-BP-TE=BC-2xBC = BC = BC, 又因为PA= BC 所以==, 所以PT=PA,故选项D错误。 10.B 解析:判断① 已知抛物线y=ax -2ax+c,将x =2代入抛物线解析式可得:y₂=ax2 -2ax2+c=4a-4a+c=c,所以①正确。 判断② 已知y₁ > y₂,即x=-1时的函数值大于x=2时的函数值,当a>0时,抛物线开口向上,离对称轴越远函数值越大。-1-1=2,2-1=1,满足y₁ > y₂。此时n在(-1,1)之间,m在(1,3)之间,不一定n <-1、m >2。 当a<0时,抛物线开口向下,离对称轴越近函数值越大,不满足y₁ > y₂,所以②错误。 判断③ 对于方程ax -(2a-1)x+c-1=0,其判别式 =[-(2a-1)] -4a(c-1)。 展开可得: =(2a-1) - 4ac+ 4a = 4a -4a+1-4ac+4a=4a -4ac+1=4a(a- c)+ 1。 因为抛物线y=ax -2ax+ c经过(m,0),(n,0),所以ax -2ax+c=0有两个不同的实数根m,n,则其判别式 ₁=(-2a) -4ac=4a -4ac>0,即a(a-c)>0。 所以4a(a-c)+1>0,即 >0,所以关于x的方程ax -(2a-1)x+c-1=0一定有两个不等的实数根,所以③正确。 判断④ 抛物线y=ax -2ax+c的对称轴为x=-=1,因为抛物线经过(-1,y₁),(2,y₂),且y₁ > y₂,根据抛物线的对称性可知,点(-1,y₁)到对称轴x=1的距离为1-(-1)=2,点(2,y₂)到对称轴x=1的距离为2-1=1. 由于y₁ > y₂,所以抛物线开口向上,即a >0。又因为抛物线经过(2,c),(m,0),(n,0),且m>n,所以当x=2时,y=c>0。 当x=0时,y=c,根据抛物线的对称性可知,抛物线与y轴的交点为(0,c),且抛物线开口向上,所以当x=1时,y=a-2a+c=c-a<c,即c-a<c,移项可得a >0 因为抛物线开口向上,且与x轴有两个交点,所以当x= 1时,y=c-a<0,即a>c,所以④正确。 综上,正确的结论有①③④,选B。 11. 12.6 13. k=-2 14. BE=2 15. 3 16. 17. 1- 18. 【解答】(1)证明:∵CD//AB ∴∠BAE=∠ACD ∵∠ABE=∠CAD,AB=AC ∴∆ABE≌∆CAD(ASA); (2)解:∵AB=AC. ∴∠ABC=∠ACB=65 , ∴∠BAC=180 -∠ABC-∠ACB=180 -65 -65 =50 , 又∵∠ABE=∠CAD=25 ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50 +25 =75 , ∵AB // CD. ∴∠D=180 -∠BAD=180 -75 =105 . 19. (1)200人 (2)1080人 (3) 20. (1)m≤3; (2) ∵a,b是关于x的一元二次方程x -2x+m-2-0的两个根, ∴a+b=2,ab=m-2, ∵m +a +b =16, ∴m +(a+b) -2ab-16=0, ∴m +4-2(m-2)-16=0, 即m -2m-8-0,解得m=-2或m=4, 又∵m≤3,∴m=-2. 21.解:(1)把点 A(2,3) 代入 y₂ =,得:3 = 解得m=6.∴反比例函数的解析式为 y₂ = 当x=6时,y=1 ∴点 B的坐标为(6,1) 把点 A(2,3)、B(6,1)代入y₁=kx +b,得 2k+b=3,6k+b=1,解得k=-,b=4 ∴一次函数的解析式为y₁=-x十4 (2)存在。 设点 C 的坐标为(x,0)。 由 A(2,3),B(6,1)得: AB =(6-2) +(1-3) =16+4=20 AC =(x-2) +(0-3) =(x-2) +9 BC =(x-6) +(0- 1) =(x-6) +1 若以 A、B、C、D 为顶点的四边形是矩形,且 AB为边,则∠A=90 或∠B=90 。 ①当∠A=90 时,AC⊥AB,则AC +AB = BC (x-2) +9+20=(x-6) +1,x -4x+33=x -12x+37,8x=4,x=,所以C(,0) ②当∠B=90 时,BC⊥AB,则AB +BC = AC 20+(x-6) +1=(x-2) +9,x -12x+57=x -4x+13,8x=44,x= 所以C(,0),综上所述,点C 的坐标为(,0)或(,0). 22.(1)证明:连接OD,如图, ∵AB=BC, ∴∠C=∠A, ∵0C=0D, ∴∠C=∠ODC, ∴∠ODC =∠A, ∴OD//AB, ∵DF⊥AB, ∴OD⊥DF, ∵OD为⊙O的半径, ∴DE是⊙O的切线。 (2)解:连接BD,如图 ∵BC为直径 ∴∠ADB=90 ∵tanC==, ∴设BD=a,则CD=2a, ∵CD + BD =BC . ∴a + (2a) = 10 . ∴a=2..BD=2,CD=4, ∵BC=BA,BD⊥AC ∴AD=CD=4,由(1)知:∠C =∠A, ∵tanC=,∴tanA= ,在Rt∆ADF中, ∵tanA==, ∴设FD=b,则AF=2b ∵DF + AF = AD , ∴b + (2b) =(4) ∴b=4,∴DF=4, ∴BF==2 ∵BF//OD ∴∆EBF∽∆EOD ∴= ∴= ∴BE=,EF== ∴ 。 23.解:(1)设乙食材每千克进价为x元,则甲食材每千克进价为2x元。 根据题意,得 解得:x=20 经检验,x=20是原方程的解且符合题意。 则甲食材进价为:2x20=40(元) 答:甲食材每千克进价40元,乙食材每千克进价20元。 (2)①设每日购进甲食材a千克,乙食材b千克。 根据题意,得: 40a+20b=18000,50a+10b=42(a+b) 解得:a= 400,b=100 答:每日购进甲食材400千克,乙食材100千克: ②由①可知,每日生产营养品总重量为 400+100=500(千克), 设A包装为m包,则B包装为=(2000-4m)包。 根据题意“A的数量不低于B的数量”,得 m≥2000-4m 解得:m ≥400 又因为B包装数量非负,即2000-4m≥0,解得m ≤ 500。 所以 400 ≤ m≤ 500。 设每日所获总利润为W元,则: W=45m+12(2000-4m)-(18000+2000) =45m+24000-48m-20000=-3m+4000 因为k=-3<0,所以W随m的增大而减小。 所以当 m = 400 时,W取得最大值。 =-3x400+4000=2800。 答:A为400包时,每日所获总利润最大,最大总利润为2800元。 24. 解:(I)证明:∵四边形ABCD 为菱形, ∴∠BCD=∠A=120 ,BC=CD, 又∵CP 绕点C顺时针旋转120 得到CQ, ∴∠PCQ=120 , ∴∠BCP=∠DCQ,CP=CQ, ∴∆BCP≌∆DCQ(SAS), ∴∠CBP=∠CDQ=∠ABC=30 , ∴∠ADQ=90 ∴AD⊥DQ. (2)∵∠PCQ=120 ,CP=CQ, ∴∠CPE=30 , 当点P、B重合时,BP=0, 此时E、Q、D重合,PC=CE, 当 PC=PE 时, ∵∠PCO=120 ,CP=CQ, ∴∠CPQ=30 , ∴∠CPE=∠CDP, ∴∆PCE∽∆DCP, ∴, 此时 DP=DC=2, 连接 AC,交 BD 于点 0,如图, ∵四边形 ABCD为菱形,AB=2, ∴AC⊥BD,BO=OD,∠ABO=∠ABC=30 , ∴COS∠AB0=cos30 ==, ∴BO=BD=2B0=2, ∴BP=BD-DP=2-2, 当EP=EC时,此时∠ECP=∠EPC=30 , ∴∠BCP=∠BCD-∠ECP=90 , ∴BP==, 综上,BP=4或BP=2-2或BP=0. (3)由菱形的对称性知AP=CP, ∴∆PAD的面积与∆PCD的面积相等 ∴===, 当P与B,D重合时,PC取得最大值2, ∴≤1 当CP⊥BD 时,PC取得最小值1,综上,≤≤1. 25. 解:(1)将点A(-5,0),B(-1,-2)分别代入 y=ax +bx, 得25a-5b=0,a-b=-2,解得a=,b=,所以抛物线的解析式为y=x +x。 (2)40M+ON的值为定值. 设P(t,t +t),-5<t<0,设直线 AP的解析式为y=kx+h, ∴-5k+h=0,kt+h=t +t,解得:k=t,h=t,,∴y=tx+t, 设直线 PO 的解析式为 y=k'x, ∴t +t=tk',k'=t+,∴y=(t+)x, ∵Q(-4,0),M(-4,t) ∴N(-4,-2t-10),QM=-t,QN=2t+10, ∴4QM+QN=-2t+2t+10=10,.4QM+QN的值不变. (3) 点F的坐标为(-2,1),的最小值为, 提示:设直线 AB 的解析式为 y=k"x+b', ∴-5k"+b'=0,-k"+b'=-2,解得:k"=-,b'=-, ∴直线 AB 的解析式为 y=-x-, 设D(m,-m-). ∵CD=,点C在点D的左边,∴C(m-2,-m-) 设直线 0D的解析式为y=dx, ∴-m-=dm, ∴d=-,∴y=(-)x, ∵CE//OD, ∴直线 CE的解析式为y=(-)x-=-x-(x+1), 当x+1=0时,x=-2,此时 y=1, ∴直线CE经过定点F(-2,1).如图,过点F作FK⊥x轴,交直线AB于点K,过点E作EG//FK,交AB于点G, ∴=, ∵F(-2,1),K(-2,-) ∴FK=, FC的值 ∴当GE最大时,的值最小.设E(n,n +n),则G(n,-n-), ∴GE=-(n+3) +2, ∴当n=-3 时,GE有最大值 2, ∴==,∴的最小值为. 2 学科网(北京)股份有限公司 $