期末复习核心突破篇 第二十二章函数 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第二十二章------函数 （解析版） 一、 常量与变量 考点内容：能在具体的变化过程中，识别出哪些量是数值发生变化的变量，哪些量是数值始终不变的常量。 考查要点：通常结合简单的实际问题（如行程问题、销售问题、几何图形变化等）进行考查。 二、 函数的概念（高频考点） 考点内容：理解函数的定义，并能判断两个变量之间是否存在函数关系。 核心判定：必须同时满足两个条件： 1. 在一个变化过程中，存在两个变量x和y。 2. 对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与其对应。 考查要点： 根据定义判断给定的关系（如图形、表格、文字描述）是否为函数关系。 识别函数关系中的自变量与因变量。 三、 函数的表示方法（高频考点） 考点内容：掌握函数的三种表示方法——解析式法、列表法、图象法，了解各自的优缺点，并能进行简单的相互转化。 考查要点： 解析式法：根据题意列出两个变量之间的函数解析式。 列表法：根据解析式或实际情境列出部分对应值表。 图象法：能在平面直角坐标系中画出简单函数的图象，或根据图象读取信息。 综合考查：根据一种表示（如表格）推断另一种表示（如图象或解析式）的特征。 四、 自变量的取值范围（重点与难点） 考点内容：会求函数中自变量的取值范围。此考点分为两大类： 1. 使解析式有意义（纯数学问题）： 整式型：自变量取全体实数。 分式型：分母不等于零。 二次根式型：被开方数大于或等于零。 复合型：同时满足上述所有限制条件，取公共部分。 2. 使实际问题有意义（应用问题）： 在满足解析式有意义的基础上，还需结合具体情境。例如：人数、个数为非负整数；长度、面积、路程为正数；时间、速度为非负数等。 五、 函数值 考点内容：理解函数值的概念，能进行简单的求值运算。 考查要点： 已知自变量的值，求对应的函数值（代入计算）。 已知函数值，求对应的自变量的值（解方程）。 六、 函数图象的分析与应用（高频考点） · 考点内容：理解函数图象是“点的集合”，能根据图象分析函数的性质，并解决简单的实际问题。 · 考查要点： 读图识信息：识别图象上的点、线段的实际意义（如起点、终点、交点、拐点），判断函数的增减性（上升、下降、水平）。 实际情境分析：结合行程、工程、销售等问题的图象，回答关于时间、速度、距离、费用等相关问题。 动点问题：分析几何图形中动点运动导致相关线段长度、面积等变化的函数图象。 七、 综合应用与数学思想 考点内容：运用函数知识解决简单的实际问题，体会数形结合和数学建模思想。 考查要点： 从实际问题中抽象出变量与常量，建立函数关系（解析式）。 结合自变量的实际意义确定其取值范围。 利用函数关系进行预测或决策。 1. 常量与变量 1．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，平均每千米耗油0.1升，那么油箱中剩余的油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数关系式中，常量和变量分别是（    ） A．常量：60、0.1；变量：、 B．常量：60、；变量：0.1、 C．常量：0.1、；变量：60、 D．常量：60、；变量：0.1、 【答案】A 【分析】先根据题意得到函数关系式，再根据定义区分常量和变量． 【详解】解：∵剩余油量=原有油量-总耗油量，总耗油量=平均每千米耗油量×行驶路程 ∴根据题意得 根据定义：数值始终不变的量是常量，数值发生变化的量是变量 ∴本题中60和0.1是数值不变的量，和是数值变化的量，因此常量为60、0.1，变量为、，对应选项A． 2．一列高铁列车以的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为，行驶路程为，下列说法正确的是（    ） A．和是常量，是变量 B．是常量，和是变量 C．和是常量，是变量 D．，和都是变量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，在变化过程中，数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量，根据定义判断各量即可得到答案． 【详解】解：∵在该问题中，高铁行驶速度，保持不变， ∴是常量； ∵行驶时间可以取不同的数值，行驶路程随的变化而变化，和的数值都会发生改变， ∴和是变量．因此选项B正确． 3．用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（    ） A．长方形的长 B．长方形的宽 C．长方形的周长 D．长方形的面积 【答案】C 【分析】在变化过程中，固定不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，根据题意判断各量是否变化，进行分析，即可作答． 【详解】解： ∵铁丝总长度固定为，围成的长方形的周长等于铁丝的长度， ∴长方形的周长是固定不变的量， 故改变长方形的长时，长方形的宽会随之变化，长方形的面积也会随之变化， 因此长、宽、面积都是变量． 4．新情境 素有“天下第一关”之称的山海关是国家级景区，门票售价为每人50元．某旅游团有游客x名，共支付门票费用为y元，则下列说法错误的是（    ） A．50为常量 B．x是常量 C．y是变量 D．y与x的关系式为 【答案】B 【分析】根据常量变量的定义判断各选项，再结合总费用的计算方法判断关系式，找出错误说法． 【详解】解：∵门票单价50元固定不变， ∴50是常量，A说法正确； ∵旅游团的游客人数可以变化，总费用随的变化而变化， ∴和都是变量，因此B说法错误，C说法正确； ∵总费用=单价×游客人数， ∴与的关系式为，D说法正确． 2. 函数的定义 5．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念，两个变量x、y，对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，此时我们称y是x的函数，逐个判断即可． 【详解】解：A．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项不符合题意； B．对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项不符合题意； C． 对于每一个x的值，不都有唯一的y值与之相对应，y不是x的函数，故该选项不符合题意； D．对于每一个x的值，都有唯一的y值与之相对应，y是x的函数，故该选项符合题意． 6．下列式子中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于x的每一个确定的值，若y有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此分析各选项即可 【详解】A、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义； B、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义； C、对任意x的确定值，唯一，因此y都有唯一确定的值和x对应，符合函数的定义； D、当时，，可得或，一个x对应两个不同的y，不符合定义 7．观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答，对于两个变量x，y，给出每一个x的值，y有唯一的值与之相对应，这样的y就是x的函数． 【详解】解：由表格可知：当时，的值为1或2，所以不是x的函数； 由图象可知：给出一个变量x的值，有唯一的值与之相对应，所以是x的函数． 8．下列四个选项中，不是的函数的是（    ） A．一个正数的平方根 B．匀速小车所行驶的路程和行驶时间 C．圆的面积和它的半径 D．正方形的面积和它的周长 【答案】A 【详解】A．对于任意一个确定的正数，它的平方根有两个不同的值，即，当取一个确定的值时，有两个值与之对应，故符合题意； B．匀速行驶的小车速度为定值，路程与时间满足（为定值），对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意； C．圆面积和半径满足，对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意； D．正方形周长为，则边长为，面积，对任意确定的，都有唯一对应，故不符合题意． 3. 函数的表示 9．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元列关系式即可. 【详解】解：∵每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元， ∴． 10．如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 11．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 12．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分钟）之间的关系如下表： t（分钟） 0 2 4 6 8 10 h（厘米） 40 36 32 28 24 20 这根蜡烛最多能燃烧的时间为（    ） A．14分钟 B．16分钟 C．18分钟 D．20分钟 【答案】D 【分析】先观察表格数据得到蜡烛的燃烧速度，推导蜡烛高度h与燃烧时间t的关系式，令即可求出蜡烛最多燃烧的时间． 【详解】解：∵由表格可知，时，蜡烛初始高度厘米，燃烧分钟后高度变为厘米， ∴ 蜡烛每分钟燃烧的长度为（厘米）， ∴ 蜡烛高度与燃烧时间的关系式为， 蜡烛燃烧完时，令， 解得， ∴ 这根蜡烛最多能燃烧分钟． 4. 函数自变量的取值范围 13．在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【详解】解：要使函数有意义，需满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式分母不为零． ，解得． 14．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需要结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的条件分析计算． 【详解】解：∵ 函数中，二次根式的被开方数需非负，且分母不能为0， ∴ ， 解得 ． 15．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件计算即可得出结果． 【详解】解：∵函数， ∴，，， 解可得， 解可得， 解可得， 综上所述，自变量的取值范围是且． 16．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式分母不为零和零指数幂的底数不为零的条件，确定自变量的取值范围，然后即可求解； 【详解】解：函数中： 分子部分要求底数，即， 分母部分要求被开方数（分母不能为零），解得， 结合两个条件： 时，的值必然大于，此时自动成立， ∴自变量的取值范围是，对应选项C， 故选：C． 5. 函数值 17．一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是12，则输入x的值是______． 【答案】或 【分析】根据程序图，分当时，当时两种情况进行讨论即可解答． 【详解】解：当时，， 解得：或（舍去）， 当时，， 解得：， 综上：输入x的值是或． 18．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，且当时，．则当时，t的值是_________． 【答案】 【分析】根据与成正比例关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求解的值． 【详解】解：设 ， 将，代入得： ， 解得， 因此函数解析式为， 当时，代入得， 整理得 ， 由时间为正数，得． 19．按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ___________ ． 【答案】 【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断与的大小，然后把代入，求出即可． 【解答】解：， ， 输出的的值为：， 故答案为：． 20．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为________． 【答案】23.5 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长，由此可得与的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律． 【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度伸长， ∴与的关系式为． 当所挂物体的质量为时，即时， 故答案为：23.5． 6. 画函数的图象 21．要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据长方形面积等于长乘宽即可得函数表达式； （2）根据解析式代入计算，即可得相应的值； （3）根据列表，在直角坐标系中描点、连线即可． 【详解】（1）解：与之间的函数表达式是； （2）解：当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下： 1 2 3 4 5 6 12 6 4 3 2 （3）解：函数的图象如下： 22．画出函数的图象． 【答案】见解析 【详解】解：列表： 0 1 2 0 1 2 3 描点、连线，得到一条过和的直线． 23．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质． 【答案】(1)见解析 (2)①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为0． 【分析】本题主要考查了画函数图象，函数的性质，掌握作图方法和相关知识是解题的关键． （1）列表，然后根据描点法作图即可； （2）根据函数图象归纳函数性质即可． 【详解】（1）解：填表如下： 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 如图所示： （2）解：①的图象位于第一、二象限，在第一象限随的增大而增大，在第二象限随的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为0． 24．数学课上，老师要求同学们画函数的图象，小红联想绝对值的性质得或，于是她很快作出了该函数的图象（如图），和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象． 【答案】不对；图像见解析 【分析】本题考查了函数的图像和绝对值的性质．熟练掌握函数的图像和绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质理解函数的图像并画出图像即可． 【详解】解：函数的定义是：当时，；：当时，． 小红错误地将时的表达式写为，实际上当时，， 和在处都有，所以正确的分段应该时，， 故小红的作法不对． 正确的图像作法如下： 7. 函数图象中获取信息 25．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 【答案】(1)60，90 (2) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息． （1）用路程除以时间可得甲骑摩托车的速度，由图象求出两人速度和，即得到乙开车的速度； （2）用乙到达目的地所需的时间乘以甲的速度列式即可得求解． 【详解】（1）解：甲骑摩托车的速度为， 由图象可知，两人出发后相遇，故两人速度和为， ∴乙开车的速度为； 故答案为：60，90； （2）解：， ∴乙到达目的地时两人相距． 26．甲乙两个机器人在赛道上进行行走稳定性测试，赛道总长600米，均从赛道一端向另一端匀速前进，乙机器人出发1分钟后甲机器人再出发，先到的机器人在端停止，设两机器人之间的赛道距离为米，乙机器人出发的时间为分，它们之间的关系如图所示． (1)求甲、乙机器人的速度； (2)其中一个机器人先到达端，求此时两机器人之间的赛道距离； (3)若两机器人之间的赛道距离不小于10米属于“安全区间”，在乙机器人从出发到停止的过程中，求“安全区间”的累计时间． 【答案】(1)甲机器人速度：100米/分；乙机器人速度：60米/分 (2)180米 (3)分 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，掌握路程速度时间是解决问题的关键． （1）由题意直接计算即可得到答案； （2）由题意可知甲机器人分钟到达端，计算乙机器人行的路程即可得到答案； （3）根据题意，分①当甲机器人还未出发时，以及甲机器人先到后；②当甲机器人出发后在乙机器人后面相距10米时到追上反超10米；计算出时间即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，甲机器人速度米/分，乙机器人速度米/分； （2）解：甲机器人到时，乙机器人行了米， 两机器人相距米； （3）解：①当甲机器人还未出发时，两者相距10米时，用时分； 由对称性，当甲机器人已经到达终点，乙机器人从距终点10米至到达终点也用了分； ②当甲机器人出发后在乙机器人后面相距10米时到追上并反超10米，用时分； 总时间分， “安全区间”持续时间为分． 27．城固柑橘栽培历史悠久，距今已有2000多年历史．城固柑橘甜中带酸，风味独特，品质优良，深受以西北为主的北方消费者青睐．小华在社会实践过程中，从批发市场购进50千克城固柑橘到市场上去销售，在销售了若干千克城固柑橘之后，余下的全部降价售完．销售金额（元）与售出城固柑橘的质量（千克）之间的关系如图所示，请你根据图象提供的信息完成以下问题： (1)小华降价前销售了多少千克城固柑橘？降价后销售了多少千克城固柑橘？ (2)小华将城固柑橘全部售完后的销售金额是多少元？ (3)降价前城固柑橘的售价是多少元/千克？ 【答案】(1)小华降价前销售了40千克城固柑橘，降价后销售了10千克城固柑橘 (2)小华将城固柑橘全部售完后的销售金额是196元 (3)降价前城固柑橘的售价是4元/千克 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到答案； （2）根据函数图象即可得到答案； （3）降价前销售额为160元，销售量为40千克，据此求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得小华降价前销售了40千克城固柑橘． 降价后销售了（千克）城固柑橘； （2）解：由图可得，小华将城固柑橘全部售完后的销售金额是196元． （3）解：降价前城固柑橘的售价是（元/千克）． 28．周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是______，因变量是______； (2)陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米； (3)求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度． 【答案】(1)离开家的时间，离开家的路程 (2)， (3)千米/小时 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意，理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． （1）观察图象，根据函数的定义解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）先根据函数图象和题干信息得到陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶时间，再根据“速度路程时间”可得答案． 【详解】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的路程． 故答案为：离开家的时间，离开家的路程； （2）解：由图象可知，陈辰家到安徽名人馆的路程是千米， 安徽名人馆到长临河古镇的路程是：（千米）， 故答案为：，； （3）解：（千米/小时）． 答：陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度为千米/小时． 1. 函数基本概念理解错误 典型错误： 看到 y = ±，认为y有两个值与x对应，所以不是函数。（正确，因为它不满足“唯一确定”）。 看到 y² = x (x≥0)，却误认为y是x的函数。（错误，因为解出 y = ±，仍然是一个x对应两个y） 1．下列关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，判断对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A．，是的函数，不符合题意； B．，是的函数，不符合题意； C．，当时，或，不是的函数，符合题意； D．，是的函数，不符合题意． 2．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 【答案】 ①② 【分析】根据函数的定义逐个判断即可，对于的每一个确定值，有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． 【详解】解：根据函数的定义，逐一判断： ① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义； ③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义； ④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义． 因此是的函数的是①②． 2. 求自变量取值范围时考虑不周出错 3．用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； (2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 【答案】(1)，自变量为，其取值范围是 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的周长腰长底边长，可得出y与x的函数关系式，根据，可求出自变量及其取值范围； （2）把自变量的值代入函数关系式，求出，根据三线合一和勾股定理求出底边上的高，然后利用三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由已知，得，，． ∴， ， ∴， ∴ ∴y关于x的函数表达式是，自变量x的取值范围是； （2）解：当时，， 如图，，作于H， ∴， ∴， ∴等腰三角形的面积是． 4．已知一支蜡烛长，每小时燃烧．设剩下的蜡烛的长度为，蜡烛燃烧了． (1)直接写出关于的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是多少？ 【答案】(1) (2)当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是小时 【分析】（1）根据剩下的蜡烛长度=总长度-已燃烧的长度，建立等量关系就可以求出解析式； （2）将代入（1）的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设剩下的蜡烛的长度为，蜡烛燃烧了，根据题意得， ， ∵ ∴， 解得： ∴； （2）将，代入， 即， 解得：． 即当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是小时． 【点睛】本题考查了列函数关系，求函数自变量的值以及范围，求得解析式是解题的关键． 3. 图象识别错误 5．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】(1) (2) (3)乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； （3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 6．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查函数函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图中信息可得两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得； （2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答； （3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差３千米，三种情况，即可解答． 【详解】（1）解：由图中信息可得两地距离为千米； 甲的速度：千米/时， ， 故答案为：；； （2）解：（小时）， （千米）； （3）解：当未到快递站时，； 当出快递站，； 当甲追乙差３千米时，， 综上，的值为或或． 4. 函数图象中关系梳理不清 7．如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系如图，请根据图象回答下列问题： (1)汽车共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在段行驶过程中的速度是多少？ 【答案】(1)240千米 (2)0.5小时 (3)80千米/时 【分析】（1）根据函数图象作答即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米， ∴往返共行驶的路程是（千米）； （2）解：由横坐标看出，（小时）， 即汽车在行驶途中停留了0.5小时； （3）解：由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出，汽车返回用了（小时）， 由此算出段平均速度是（千米/时）． 8．甲驾驶汽车和乙骑摩托车同时出发沿相同的路线由A地到B地，已知A，B两地相距90千米，如图表示甲、乙行驶的路程s（千米）与经过的时间t（分钟）之间的关系，甲在行驶途中因车辆故障停下检修，修好后，按原速度继续行驶，请根据图象回答下列问题． (1)由图象可知，汽车因故障检修用了__________分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为__________千米/分钟，摩托车的速度为___________千米/分钟； (2)求甲比乙提前多久到达B地； (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，求乙距离B地的路程． 【答案】(1)20；1.5；1 (2)甲比乙提前10分钟到达B地 (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，乙距离B地的路程为30千米 【分析】（1）根据函数图象可直接进行求解； （2）由（1）可求出乙到达B地的时间，然后问题可求解； （3）当汽车检修完毕后，设甲用了x分钟追上了乙，由题意，得：，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图象可知： 汽车因故障检修用了分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为千米/分钟；摩托车的速度为千米/分钟； （2）解：甲总共花费的时间：（分钟）， 乙总共花费的时间：（分钟）， （分钟）． 答：甲比乙提前10分钟到达B地； （3）解：当汽车检修完毕后，设甲用了x分钟追上了乙，由题意，得： ， 解得：， （千米）． 答：汽车检修完毕后，当甲追上乙时，乙距离B地的路程为30千米． 二、 分层突破专练 一、 核心考点详解 三、 易错点剖析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第二十二章------函数 一、 常量与变量 考点内容：能在具体的变化过程中，识别出哪些量是数值发生变化的变量，哪些量是数值始终不变的常量。 考查要点：通常结合简单的实际问题（如行程问题、销售问题、几何图形变化等）进行考查。 二、 函数的概念（高频考点） 考点内容：理解函数的定义，并能判断两个变量之间是否存在函数关系。 核心判定：必须同时满足两个条件： 1. 在一个变化过程中，存在两个变量x和y。 2. 对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与其对应。 考查要点： 根据定义判断给定的关系（如图形、表格、文字描述）是否为函数关系。 识别函数关系中的自变量与因变量。 三、 函数的表示方法（高频考点） 考点内容：掌握函数的三种表示方法——解析式法、列表法、图象法，了解各自的优缺点，并能进行简单的相互转化。 考查要点： 解析式法：根据题意列出两个变量之间的函数解析式。 列表法：根据解析式或实际情境列出部分对应值表。 图象法：能在平面直角坐标系中画出简单函数的图象，或根据图象读取信息。 综合考查：根据一种表示（如表格）推断另一种表示（如图象或解析式）的特征。 四、 自变量的取值范围（重点与难点） 考点内容：会求函数中自变量的取值范围。此考点分为两大类： 1. 使解析式有意义（纯数学问题）： 整式型：自变量取全体实数。 分式型：分母不等于零。 二次根式型：被开方数大于或等于零。 复合型：同时满足上述所有限制条件，取公共部分。 2. 使实际问题有意义（应用问题）： 在满足解析式有意义的基础上，还需结合具体情境。例如：人数、个数为非负整数；长度、面积、路程为正数；时间、速度为非负数等。 五、 函数值 考点内容：理解函数值的概念，能进行简单的求值运算。 考查要点： 已知自变量的值，求对应的函数值（代入计算）。 已知函数值，求对应的自变量的值（解方程）。 六、 函数图象的分析与应用（高频考点） · 考点内容：理解函数图象是“点的集合”，能根据图象分析函数的性质，并解决简单的实际问题。 · 考查要点： 读图识信息：识别图象上的点、线段的实际意义（如起点、终点、交点、拐点），判断函数的增减性（上升、下降、水平）。 实际情境分析：结合行程、工程、销售等问题的图象，回答关于时间、速度、距离、费用等相关问题。 动点问题：分析几何图形中动点运动导致相关线段长度、面积等变化的函数图象。 七、 综合应用与数学思想 考点内容：运用函数知识解决简单的实际问题，体会数形结合和数学建模思想。 考查要点： 从实际问题中抽象出变量与常量，建立函数关系（解析式）。 结合自变量的实际意义确定其取值范围。 利用函数关系进行预测或决策。 1. 常量与变量 1．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，平均每千米耗油0.1升，那么油箱中剩余的油量（升）与行驶路程（千米）之间的函数关系式中，常量和变量分别是（    ） A．常量：60、0.1；变量：、 B．常量：60、；变量：0.1、 C．常量：0.1、；变量：60、 D．常量：60、；变量：0.1、 2．一列高铁列车以的速度在铁轨上飞驰，它行驶的时间为，行驶路程为，下列说法正确的是（    ） A．和是常量，是变量 B．是常量，和是变量 C．和是常量，是变量 D．，和都是变量 3．用一根长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（    ） A．长方形的长 B．长方形的宽 C．长方形的周长 D．长方形的面积 4．新情境 素有“天下第一关”之称的山海关是国家级景区，门票售价为每人50元．某旅游团有游客x名，共支付门票费用为y元，则下列说法错误的是（    ） A．50为常量 B．x是常量 C．y是变量 D．y与x的关系式为 2. 函数的定义 5．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列式子中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 7．观察表格和图象，下列判断正确的是（   ） x 1 1 2 3 4 A．是x的函数，不是x的函数 B．是x的函数，不是x的函数 C．和都是x的函数 D．和都不是x的函数 8．下列四个选项中，不是的函数的是（    ） A．一个正数的平方根 B．匀速小车所行驶的路程和行驶时间 C．圆的面积和它的半径 D．正方形的面积和它的周长 3. 函数的表示 9．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 10．如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B．C． D． 11．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 12．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分钟）之间的关系如下表： t（分钟） 0 2 4 6 8 10 h（厘米） 40 36 32 28 24 20 这根蜡烛最多能燃烧的时间为（    ） A．14分钟 B．16分钟 C．18分钟 D．20分钟 4. 函数自变量的取值范围 13．在实数范围内，函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 14．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．函数，自变量的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 16．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 5. 函数值 17．一个运算程序示意图如图所示，若输出y的值是12，则输入x的值是______． 18．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，且当时，．则当时，t的值是_________． 19．按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ___________ ． 20．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 20.5 21 21.5 22 22.5 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为________． 6. 画函数的图象 21．要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 22．画出函数的图象． 23．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． (1)在平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条不同类型的性质． 24．数学课上，老师要求同学们画函数的图象，小红联想绝对值的性质得或，于是她很快作出了该函数的图象（如图），和你的同桌交流一下，小红的作法对吗？如果不对，试画出该函数的图象． 7. 函数图象中获取信息 25．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 26．甲乙两个机器人在赛道上进行行走稳定性测试，赛道总长600米，均从赛道一端向另一端匀速前进，乙机器人出发1分钟后甲机器人再出发，先到的机器人在端停止，设两机器人之间的赛道距离为米，乙机器人出发的时间为分，它们之间的关系如图所示． (1)求甲、乙机器人的速度； (2)其中一个机器人先到达端，求此时两机器人之间的赛道距离； (3)若两机器人之间的赛道距离不小于10米属于“安全区间”，在乙机器人从出发到停止的过程中，求“安全区间”的累计时间． 27．城固柑橘栽培历史悠久，距今已有2000多年历史．城固柑橘甜中带酸，风味独特，品质优良，深受以西北为主的北方消费者青睐．小华在社会实践过程中，从批发市场购进50千克城固柑橘到市场上去销售，在销售了若干千克城固柑橘之后，余下的全部降价售完．销售金额（元）与售出城固柑橘的质量（千克）之间的关系如图所示，请你根据图象提供的信息完成以下问题： (1)小华降价前销售了多少千克城固柑橘？降价后销售了多少千克城固柑橘？ (2)小华将城固柑橘全部售完后的销售金额是多少元？ (3)降价前城固柑橘的售价是多少元/千克？ 28．周末，陈辰及家人驾驶新能源汽车前往安徽名人馆参观，在馆内参观了小时后，驾车去往长临河古镇．如图是陈辰及家人离开家的路程（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数图象．据此解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是______，因变量是______； (2)陈辰家到安徽名人馆的路程是______千米，安徽名人馆到长临河古镇的路程是______千米； (3)求陈辰家从安徽名人馆到长临河古镇驾车行驶的平均速度． 1. 函数基本概念理解错误 典型错误： 看到 y = ±，认为y有两个值与x对应，所以不是函数。（正确，因为它不满足“唯一确定”）。 看到 y² = x (x≥0)，却误认为y是x的函数。（错误，因为解出 y = ±，仍然是一个x对应两个y） 1．下列关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）． 2. 求自变量取值范围时考虑不周出错 3．用长为的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为，一腰长为． (1)写出表示y与x的函数关系的式子，指出自变量及其取值范围； (2)当等腰三角形的底边长为时，求出该等腰三角形的面积． 4．已知一支蜡烛长，每小时燃烧．设剩下的蜡烛的长度为，蜡烛燃烧了． (1)直接写出关于的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当蜡烛长度为时，蜡烛燃烧的时间是多少？ 3. 图象识别错误 5．在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： (1)求出乙车的速度． (2)两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． (3)若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 6．A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货．恰好两人同时到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回，返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示． 请根据图中的信息解决下列问题： (1)填空：两地距离为______千米， ______； (2)当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米? (3)当两人相距3千米，请直接写出x的值． 4. 函数图象中关系梳理不清 7．如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系如图，请根据图象回答下列问题： (1)汽车共行驶的路程是多少？ (2)汽车在行驶途中停留了多长时间？ (3)汽车在段行驶过程中的速度是多少？ 8．甲驾驶汽车和乙骑摩托车同时出发沿相同的路线由A地到B地，已知A，B两地相距90千米，如图表示甲、乙行驶的路程s（千米）与经过的时间t（分钟）之间的关系，甲在行驶途中因车辆故障停下检修，修好后，按原速度继续行驶，请根据图象回答下列问题． (1)由图象可知，汽车因故障检修用了__________分钟，在正常行驶的情况下，汽车的速度为__________千米/分钟，摩托车的速度为___________千米/分钟； (2)求甲比乙提前多久到达B地； (3)汽车检修完毕后，当甲追上乙时，求乙距离B地的路程． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $