期末复习核心突破篇 第十九章二次根式 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第十九章------二次根式 一、 二次根式的概念与性质（基础核心） 1. 定义与有意义条件 考点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 高频考法：求二次根式中字母的取值范围。 要点：必须满足被开方数非负（a≥0）。若式子为分式形式，还需分母不为零。 易错点：忽略分母不为零的条件；对复合式子（如+）不会利用被开方数非负性求特定值。 2. 双重非负性 · 考点：具有双重非负性，即 a≥0​ 且 ≥ 0。 · 高频考法：与非负数性质（如绝对值、平方）结合，已知几个非负数的和为0，求字母的值。 3. 基本性质 ()² = a (a≥0)：正向用于去根号，反向用于将非负数写成平方形式。 = |a|：最易错性质。化简结果必须是非负数，需根据a的符号去绝对值。例如：= 4，而非 -4。 积的算术平方根：= · (a≥0, b≥0)，用于二次根式乘法与化简。 商的算术平方根： = (a≥0, b>0)，用于二次根式除法与分母有理化。 二、 二次根式的化简与判定 1. 最简二次根式 考点：判断一个二次根式是否为最简形式，并能将非最简二次根式化为最简。 判定标准：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 易错点：化简不彻底，分母中仍含有根号。 2. 判断二次根式能否合并 考点：识别能否合并二次根式并进行合并。 判定方法：先将各二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同。系数不同不影响判定。 易错点：未化简直接判断；错误合并被开方数不同的二次根式（如认为 + = ）。 三、 二次根式的运算（综合核心） 1. 四则运算 乘除运算：直接利用性质· = 和 = 进行计算，结果化为最简。 加减运算：先化简，再合并被开方数相同的二次根式（只合并系数，被开方数和根指数不变）。 混合运算：遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序，并灵活运用运算律简化计算。 2. 分母有理化 考点：消除分母中的根号，是除法运算和化简求值的核心技巧。 常用方法：分子分母同乘分母的有理化因式 四、 二次根式的估值与化简求值（能力提升） 1. 估值 考点：估算一个二次根式在哪两个连续整数之间。 方法：找到被开方数相邻的两个完全平方数。例如：估算，因为4<7<9，所以2<<3。 2. 化简求值 考点：综合运用性质、运算律对复杂代数式进行化简，再代入求值。 核心思路：① 化简已知条件和待求式；② 常用方法有整体代入法、配方法等。 易错点：代入数值时未检查是否使原式有意义；运算过程中符号处理错误。 5、 知识联系与综合应用 与整式、分式的联系：二次根式的运算顺序、运算律与整式、分式类似，体现了代数式运算的统一性。 实际应用：为后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定基础，并能解决图形面积、信号传播等实际问题。 考点1 二次根式的概念 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 3．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 考点2二次根式性质 5．若，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 6．当时，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 7．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D．1 8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 考点3最简二次根式 9．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 11．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 12．如图，计划在一块，的三角形空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个三角形的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 考点4二次根式的化简 13．若，则_____． 14．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 15．若，则的值是______． 16．已知，则的值为______． 考点5二次根式的运算 17．化简的结果为__________． 18．计算： （1）___________． （2）________________． 19．计算：_______． 20．计算：_________． 考点6二次根式的化简求值 21．先化简．再求值：，其中． 22．先化简，再求值：，其中． 23．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 24．在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 考点7二次根式的综合性问题 25．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 26．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数，使则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化： ； (2)化简“理想二次根式”： ； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 27．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40，相邻两张正方形纸片的边长均相差1，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 28．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 1. 二次根式有意义的字母取值范围出错 1．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．化简二次根式化简的结果为______． 2. = |a|时出错 3．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 3. 化简最简二次根式不彻底 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 6．计算： (1)； (2)． 4. 二次根式化简求值时不考虑字母的取值范围出错 7．化简求值，其中． 8．已知：，求代数式的值． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第十九章------二次根式 （解析版） 一、 二次根式的概念与性质（基础核心） 1. 定义与有意义条件 考点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 高频考法：求二次根式中字母的取值范围。 要点：必须满足被开方数非负（a≥0）。若式子为分式形式，还需分母不为零。 易错点：忽略分母不为零的条件；对复合式子（如+）不会利用被开方数非负性求特定值。 2. 双重非负性 · 考点：具有双重非负性，即 a≥0​ 且 ≥ 0。 · 高频考法：与非负数性质（如绝对值、平方）结合，已知几个非负数的和为0，求字母的值。 3. 基本性质 ()² = a (a≥0)：正向用于去根号，反向用于将非负数写成平方形式。 = |a|：最易错性质。化简结果必须是非负数，需根据a的符号去绝对值。例如：= 4，而非 -4。 积的算术平方根：= · (a≥0, b≥0)，用于二次根式乘法与化简。 商的算术平方根： = (a≥0, b>0)，用于二次根式除法与分母有理化。 二、 二次根式的化简与判定 1. 最简二次根式 考点：判断一个二次根式是否为最简形式，并能将非最简二次根式化为最简。 判定标准：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 易错点：化简不彻底，分母中仍含有根号。 2. 判断二次根式能否合并 考点：识别能否合并二次根式并进行合并。 判定方法：先将各二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同。系数不同不影响判定。 易错点：未化简直接判断；错误合并被开方数不同的二次根式（如认为 + = ）。 三、 二次根式的运算（综合核心） 1. 四则运算 乘除运算：直接利用性质· = 和 = 进行计算，结果化为最简。 加减运算：先化简，再合并被开方数相同的二次根式（只合并系数，被开方数和根指数不变）。 混合运算：遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序，并灵活运用运算律简化计算。 2. 分母有理化 考点：消除分母中的根号，是除法运算和化简求值的核心技巧。 常用方法：分子分母同乘分母的有理化因式 四、 二次根式的估值与化简求值（能力提升） 1. 估值 考点：估算一个二次根式在哪两个连续整数之间。 方法：找到被开方数相邻的两个完全平方数。例如：估算，因为4<7<9，所以2<<3。 2. 化简求值 考点：综合运用性质、运算律对复杂代数式进行化简，再代入求值。 核心思路：① 化简已知条件和待求式；② 常用方法有整体代入法、配方法等。 易错点：代入数值时未检查是否使原式有意义；运算过程中符号处理错误。 5、 知识联系与综合应用 与整式、分式的联系：二次根式的运算顺序、运算律与整式、分式类似，体现了代数式运算的统一性。 实际应用：为后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定基础，并能解决图形面积、信号传播等实际问题。 考点1 二次根式的概念 1．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 2．已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 3．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 4．当时，二次根式的值是（   ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把x的值代入二次根式即可解答． 【详解】解：当时，二次根式． 考点2二次根式性质 5．若，则代数式的值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 6．当时，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴. 7．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，结合数轴得出，再进行化简二次根式以及绝对值，最后进行加减运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 8．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 考点3最简二次根式 9．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个． 10．已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 11．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 12．如图，计划在一块，的三角形空地上种植花卉，以美化环境．若米，则这个三角形的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，化为最简二次根式，过点A作交与点D．利用等腰三角形的性质以及勾股定理可求出，最后根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点A作交与点D． ∵，， ∴，， ∴，， ∴（平方米）， 故选：A． 考点4二次根式的化简 13．若，则_____． 【答案】3或 【分析】根据，解方程求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 14．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据数轴判断与的符号，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 15．若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 16．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键． 先利用二次根式有意义求得与的值，然后把与的值代入变形后的代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 考点5二次根式的运算 17．化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 18．计算： （1）___________． （2）________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 19．计算：_______． 【答案】 / 【详解】解：． 20．计算：_________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律简化计算，同时熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 先利用乘法分配律进行计算，再计算二次根式的除法，最后合并同类项． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 考点6二次根式的化简求值 21．先化简．再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，利用因式分解和约分进行化简，最后将给定的y值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时，原式． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简原式，再代入计算结果即可． 【详解】解： ， 当时， ∴原式． 23．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴． （2）解：，由完全平方公式可得：． （3）解：，由平方差公式可得：． 24．在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知，求的值，经过思考和讨论他是这样解答的： ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． (1)______，______； (2)若，求n的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求把所求式子的每一项分母有理化，再解方程即可； （3）将整理可得，再将整理，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：方程左边， 由题意得：， ∴， ， ； （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴， 代入得：． 考点7二次根式的综合性问题 25．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 26．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数，使则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)分母有理化： ； (2)化简“理想二次根式”： ； (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分母有理化可进行求解； （2）仿照“理想二次根式”的求解步骤进行求解即可； （3）根据分母有理化及“理想二次根式”进行求解即可； （4）根据分母有理化进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：∵， ∴， ， ∴； （4）解： ． 27．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40，相邻两张正方形纸片的边长均相差1，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1)； (2)39， 【分析】（1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）先根据（1）中的结论并结合二次根式运算法则求出，然后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为40， 所以中间正方形的边长为， 所以最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：； 因为， ， ， 所以． 28．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 【答案】(1) (2)李老师的预算够，理由见解析 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）， ， 李老师的预算够． 1. 二次根式有意义的字母取值范围出错 1．若式子有意义，则点的坐标在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件与平面直角坐标系中象限的符号特征，掌握二次根式有意义的条件及各象限内点的坐标符号特征是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，确定的取值范围，再判断点的坐标符号，从而确定所在象限． 【详解】解：∵式子有意义， ∴，即， ∴， ∴点中，，且，故， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 故选：B． 2．化简二次根式化简的结果为______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，化简计算即可． 本题考查了二次根式的性质，化简计算，熟练掌握性质和化简计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 故， 故答案为：． 2. = |a|时出错 3．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 3. 化简最简二次根式不彻底 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4. 二次根式化简求值时不考虑字母的取值范围出错 7．化简求值，其中． 【答案】， 【分析】先将要求的式子的括号内进行通分，把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入，得：原式． 8．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $