2025-2026学年上海市七年级下学期期末数学押题提高卷

**基本信息** 上海市七年级（下）期末数学押题提高卷，难度适中（0.55），覆盖不等式、三角形、平行线等核心知识，通过基础选择、综合解答（如生态树苗应用、三角尺动态探究）梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|不等式性质、平行线性质、三角形三边关系|基础概念辨析，如假命题反例判断| |填空题|12/24|垂直平分线、网格等腰三角形、四边形线段关系|几何计算与空间观念，如网格点C确定| |解答题|7/58|生态树苗方案选择、三角尺动态探究、全等证明|分层设计，22题体现应用意识，24题培养推理能力|

2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题提高卷答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分58分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题提高卷 难度系数：0.55；考试时间：100分钟；满分：100分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 2．（3分）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交l1于点B，连结AB．若∠BCA＝120°，则∠1的大小为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 4．（3分）下列各组条件中，不能组成三角形的是（　　） A．2，a+2，a+3（a＞0） B．3cm，8cm，10cm C．三条线段之比为1：2：3 D．6cm，6cm，6cm 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，点E、D、F分别在AB、BC、AC上，根据图上标注的已知条件，△BED与△CFD不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB于点F，连接CE，CF，则∠ECF是（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若不等式x的解都能使关于x的不等式5x＞2m+1成立，则实数m的取值范围是　 　 ． 8．（2分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝　 　 ． 9．（2分）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有 　 　 条． 10．（2分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝3，EF＝1.2，则CF的长为　 　 ． 11．（2分）如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE．若∠B＝40°，则∠C＝　 　 °． 12．（2分）命题“对顶角相等”的一般形式是　 　 ． 13．（2分）在等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B可以有 　 　 个不同值． 14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ 　 　 °． 15．（2分）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 　 　 ． 16．（2分）不等式的解集是　 　 ． 17．（2分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B在网格的格点上，要在格点上确定一点C，连接AC，BC，使△ABC是等腰三角形，则网格图中满足条件的点C有　 　 个． 18．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，则图中线段AM、MN、CN之间的数量关系为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分58分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（5分）填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E＝∠F． 解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知） ∴AB∥CD，（ 　 　 ） ∴∠BAP＝　 　 ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝　 　 ，（等式的性质） ∴AE∥PF，（ 　 　 ） ∴∠E＝∠F．（ 　 　 ） 21．（6分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 22．（8分）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵． （1）若按售价直接购买，采购总费用不超过4900元，至多可以购买多少棵松树？ （2）现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算？ 23．（8分）如图，已知AD∥BC，且AD＝BC，E、F是BD上两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，求∠AEB的度数． 24．（12分）问题背景：数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°；三角尺ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝60°，∠E＝30°．分别作出∠BAD，∠CAE的平分线AM、AN．然后提出问题：求出∠MAN的度数． 【初步探究】 “智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，AM和AN仍然是∠BAD和∠CAE的平分线．其中，按图2方式摆放时，AB和AE在同一直线上．按图3方式摆放时，AB、AD、AM在同一直线上． （1）计算：图2中∠MAN的度数为　 　 °，图3中∠MAN的度数为　 　 °．（直接写出答案，不写过程）． 【深入探究】 （2）探究完图2、图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为　 　 °； “智慧小组”的同学认为图2，图3中∠BAD，∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数，图1中，∠MAN＝∠MAB+∠BAE+∠EAN，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数，如果设∠BAE为x°，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN的度数； （3）受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，请你求出∠MAN的度数． 25．（14分）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜想S1，S2大小关系，并说明理由． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市七年级（下)期末数学 押题提高卷答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 贵用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[■错误【-][√][×] 一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C]D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C]D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共6页 7. 8. 9 10. 12. 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分58分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共6页 20.答： A B 3 E F 2d D 21.答： A E > B C 第3页共6页 22.答： 23.答： A 0 E B 第4页共6页 24.答： N ⊙ A B B D M D 图2 图1 M D B M 图3 图4 第5页共6页 25.答： D ⊙ H B E C A o D A E A D B GC 图1 图2 图3 第6页共6页 2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题提高卷 难度系数：0.55；考试时间：100分钟；满分：100分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 2．（3分）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交l1于点B，连结AB．若∠BCA＝120°，则∠1的大小为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 4．（3分）下列各组条件中，不能组成三角形的是（　　） A．2，a+2，a+3（a＞0） B．3cm，8cm，10cm C．三条线段之比为1：2：3 D．6cm，6cm，6cm 5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，点E、D、F分别在AB、BC、AC上，根据图上标注的已知条件，△BED与△CFD不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB于点F，连接CE，CF，则∠ECF是（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 第Ⅱ卷（非选择题） 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若不等式x的解都能使关于x的不等式5x＞2m+1成立，则实数m的取值范围是　 　 ． 8．（2分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝　 　 ． 9．（2分）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有 　 　 条． 10．（2分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝3，EF＝1.2，则CF的长为　 　 ． 11．（2分）如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE．若∠B＝40°，则∠C＝　 　 °． 12．（2分）命题“对顶角相等”的一般形式是　 　 ． 13．（2分）在等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B可以有 　 　 个不同值． 14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ 　 　 °． 15．（2分）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 　 　 ． 16．（2分）不等式的解集是　 　 ． 17．（2分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B在网格的格点上，要在格点上确定一点C，连接AC，BC，使△ABC是等腰三角形，则网格图中满足条件的点C有　 　 个． 18．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，则图中线段AM、MN、CN之间的数量关系为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分58分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（5分）填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E＝∠F． 解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知） ∴AB∥CD，（ 　 　 ） ∴∠BAP＝　 　 ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝　 　 ，（等式的性质） ∴AE∥PF，（ 　 　 ） ∴∠E＝∠F．（ 　 　 ） 21．（6分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 22．（8分）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵． （1）若按售价直接购买，采购总费用不超过4900元，至多可以购买多少棵松树？ （2）现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算？ 23．（8分）如图，已知AD∥BC，且AD＝BC，E、F是BD上两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，求∠AEB的度数． 24．（12分）问题背景：数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°；三角尺ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝60°，∠E＝30°．分别作出∠BAD，∠CAE的平分线AM、AN．然后提出问题：求出∠MAN的度数． 【初步探究】 “智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，AM和AN仍然是∠BAD和∠CAE的平分线．其中，按图2方式摆放时，AB和AE在同一直线上．按图3方式摆放时，AB、AD、AM在同一直线上． （1）计算：图2中∠MAN的度数为　 　 °，图3中∠MAN的度数为　 　 °．（直接写出答案，不写过程）． 【深入探究】 （2）探究完图2、图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为　 　 °； “智慧小组”的同学认为图2，图3中∠BAD，∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数，图1中，∠MAN＝∠MAB+∠BAE+∠EAN，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数，如果设∠BAE为x°，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN的度数； （3）受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，请你求出∠MAN的度数． 25．（14分）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜想S1，S2大小关系，并说明理由． ( 第 2 页 共 8 页 ) ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级（下）期末数学 押题提高卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B C D C 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）·（2025秋•上城区校级期末）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（3分）·（2025•宽城区校级开学）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交l1于点B，连结AB．若∠BCA＝120°，则∠1的大小为（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝120°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝30°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝30°． 【解答】解：由题意可得AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠BCA＝120°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴∠CAB＝∠CBA＝30°， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠CBA＝30°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键． 3．（3分）·（2026春•虹口区期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【解答】解：根据真假命题的判定、平行线的判定与性质逐项分析判断如下： A、∠1＝∠2＝90°，则∠1+∠2＝180°，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、∠1＝50°，∠2＝130°，则∠1+∠2＝180°，满足条件，但∠1≠∠2，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°，∠1+∠2＝100°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、∠1+∠2＝90°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（3分）·（2026春•浦东新区期中）下列各组条件中，不能组成三角形的是（　　） A．2，a+2，a+3（a＞0） B．3cm，8cm，10cm C．三条线段之比为1：2：3 D．6cm，6cm，6cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行逐个分析． 【解答】解：A、2+a+2＞a+3，能够组成三角形，故A不符合题意； B、3+8＞10，能够组成三角形，故B不符合题意； C、设线段的长为a，2a，3a， ∵a+2a＝3a，不能组成三角形，故选项符合题意； D、6+6＞6，故能够组成三角形，故选项不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了三角形的三边关系，注意：判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 5．（3分）·（2025秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，点E、D、F分别在AB、BC、AC上，根据图上标注的已知条件，△BED与△CFD不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C＝65°，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝∠C（180°﹣50°）＝65°， A、B、由SAS判定△BED与△CFD全等，故A、B不符合题意； C、由∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，得到∠BED＝∠CDF，由AAS判定△BED与△CFD全等，故C不符合题意； D、∠CFD不一定等于∠B＝65°，不能判定△BED与△CFD全等，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 6．（3分）·（2025秋•同江市期中）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB于点F，连接CE，CF，则∠ECF是（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE＝CE，得到∠ACE＝∠A＝30°，同理：∠BCF＝∠B＝20°，由三角形内角和定理得到∠ACB＝130°，即可求出∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°． 【解答】解：∵线段AC的垂直平分线交AB于点E， ∴AE＝CE， ∴∠ACE＝∠A＝30°， 同理：∠BCF＝∠B＝20°， ∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣20°＝130°， ∵∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°． 故选：C． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．关键是由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠ACE＝∠A＝30°，∠BCF＝∠B＝20°． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）·（2026春•同步）若不等式x的解都能使关于x的不等式5x＞2m+1成立，则实数m的取值范围是m　 ． 【答案】m． 【分析】由不等式x的解都能使关于x的不等式5x＞2m+1成立，可得4，即可解得答案． 【解答】解：由不等式x得x＞﹣4，由5x＞2m+1得x， ∵不等式x的解都能使关于x的不等式5x＞2m+1成立， ∴4， 解得m； 故答案为：m． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，列出关于m的不等式． 8．（2分）·（2025秋•德惠市期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝　122°　 ． 【答案】122°． 【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°， ∴∠BOD＝∠ODC＝32°． ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EOB＝90°+32°＝122°． ∵OE∥DM， ∠ANM＝∠EOB＝122°． 故答案为：122°． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 9．（2分）·（2025春•玉田县校级月考）如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有 　5　 条． 【答案】5． 【分析】根据三角形的高的定义：三角形的顶点到对边的垂直距离．得到可以作为三角形的高的条数． 【解答】解：可以作为△ACD的高的有AD，CD共2条； 可以作为△BCD的高的有BD，CD共2条； 可以作为△ABC的高的有BC，AC、CD共3条． 综上所述，可以作为三角形“高”的线段有：AD，CD、BD，BC，AC共5条． 故答案为：5． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键． 10．（2分）·（2025•江北区校级一模）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝3，EF＝1.2，则CF的长为　1.8　 ． 【答案】1.8． 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝3，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边的中线，∠AEF＝∠FAE，BE＝3，EF＝1.2，如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， ∴BD＝CD， 在△BDG和△CDA中， ， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴BG＝AC，∠CAD＝∠G， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∵∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE＝3， ∴AC＝BE＝3， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴AF＝EF＝1.2， ∴CF＝AC﹣AF＝1.8． 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的角平分线、中线和高，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 11．（2分）如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE．若∠B＝40°，则∠C＝　40　 °． 【答案】40． 【分析】证明△ABD≌△ACE（SSS），即可得出结论． 【解答】解：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SSS）， ∴∠B＝∠C＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2分）·（2025春•东平县校级月考）命题“对顶角相等”的一般形式是　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答． 【解答】解：命题“对顶角相等”的一般形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 13．（2分）·（2025秋•慈溪市校级月考）在等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B可以有 　3　 个不同值． 【答案】3． 【分析】依题意有以下三种情况：①当∠A＝80°为该等腰三角形的顶角时，则∠B＝∠C，由三角形内角和定理可得出∠B＝50°；②当∠A＝80°为该等腰三角形的底角，∠B也是该等腰三角形的底角时，则∠B＝∠A＝80°；③当∠A＝80°为该等腰三角形的底角，∠B是该等腰三角形的顶角时，则∠C＝∠A＝80°，由三角形内角和定理可得出∠B＝20°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，且∠A＝80°， ∴有以下三种情况： ①当∠A＝80°为该等腰三角形的顶角时，则∠B＝∠C， 由三角形内角和定理得：∠B+∠C+∠A＝180°， ∴2∠B+80°＝180°， 解得：∠B＝50°； ②当∠A＝80°为该等腰三角形的底角，∠B也是该等腰三角形的底角时， ∴∠B＝∠A＝80°； ③当∠A＝80°为该等腰三角形的底角，∠B是该等腰三角形的顶角时， ∴∠C＝∠A＝80°， 由三角形内角和定理得：∠B+∠C+∠A＝180°， ∴∠B+80°+80°＝180°， ∴∠B＝20°， 综上所述：∠B的度数为50°或80°或20°， ∴∠B可以有3个不同值， 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 14．（2分）·（2025春•市中区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ 　55　 °． 【答案】55． 【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B＝35°，AD⊥BC，由直角三角形的性质即可求出∠CAD＝55°． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝35°， ∵点D为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝55°． 故答案为：55． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角． 15．（2分）·（2026•汨罗市模拟）如图，△ABC中，∠B＝75°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为 　45°　 ． 【答案】45°． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，∠B＝75°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°． ∵直线MN是线段AC的垂直平分线， ∴∠C＝∠CAD＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝75°﹣30°＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 16．（2分）·（2026•徐汇区二模）不等式的解集是　x≤1　 ． 【答案】x≤1． 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x， 解不等式②得，x≤1， ∴不等式组的解集是：x≤1， 故答案为：x≤1． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握解单个不等式并取公共解集的方法是解题的关键． 17．（2分）·（2026春•同步）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B在网格的格点上，要在格点上确定一点C，连接AC，BC，使△ABC是等腰三角形，则网格图中满足条件的点C有　6　 个． 【答案】6． 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【解答】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；C在C5，C6位置上时，AB＝BC；即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 18．（2分）·（2026春•南宁校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，则图中线段AM、MN、CN之间的数量关系为 MN＝AM+CN ． 【答案】MN＝AM+CN． 【分析】延长BA至点E，使得AE＝CN，连接DE，先证出Rt△ADE≌Rt△CDN，根据全等三角形的性质可得DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，从而可得∠MDE＝∠MDN＝60°，再证出△MDE≌△MDN，根据全等三角形的性质可得ME＝MN，由此即可得． 【解答】解：在四边形ABCD中，AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝120°，M、N分别是AB、BC上的点，且∠MDN＝60°，如图，延长BA至点E，使得AE＝CN，连接DE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠DAE＝∠C＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDN中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDN（SAS）， ∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN， ∵∠ADC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠ADM+∠CDN＝60°， ∴∠ADM+∠ADE＝60°，即∠MDE＝60°， 在△MDE和△MDN中， ， ∴△MDE≌△MDN（SAS）， ∴ME＝MN， 又∵ME＝AM+AE＝AM+CN， ∴MN＝AM+CN， 故答案为：MN＝AM+CN． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三．解答题（共7小题，满分58分） 19．（5分）·（2026•西城区校级模拟）解不等式组：． 【答案】2＜x≤4． 【分析】先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的解集确定规则，得出不等式组的公共解集． 【解答】解：解不等式组：． ， 解不等式①，得：x＞2； 解不等式②，得：x≤4； ∴不等式组的解集为2＜x≤4． 【点评】本题考查一元一次不等式，正确进行计算是解题关键． 20．（5分）·（2025秋•潞州区期末）填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E＝∠F． 解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知） ∴AB∥CD，（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∴∠BAP＝　∠APC ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝　∠4　 ，（等式的性质） ∴AE∥PF，（ 　内错角相等，两直线平行　 ） ∴∠E＝∠F．（ 　两直线平行，内错角相等　 ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】由已知条件可得AB∥CD，则可得到∠BAP＝∠APC，从而可证得∠3＝∠4，则有AE∥PF，得∠E＝∠F． 【解答】解：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝∠4（等式的性质）， ∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 21．（6分）·（2026•长沙一模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 【答案】（1）见解答； （2）∠A＝65°． 【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根据全等得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可； （2）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCF＝130°， ∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF＝65°， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 22．（8分）·（2026春•高陵区期中）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．某小区计划从苗圃基地中心一次性购买一批松树和玉兰树，两种树苗共购买40棵，已知松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵． （1）若按售价直接购买，采购总费用不超过4900元，至多可以购买多少棵松树？ （2）现苗圃基地中心推出两种不同的优惠方案： 方案一：松树按售价打八折销售，玉兰树按售价销售； 方案二：全部树苗按售价打九折销售； 若小区采购松树至少15棵，最多不超过20棵，你认为选择哪种方案购买树苗更合算？ 【答案】（1）至多可以购买18棵松树； （2）当小区采购松树15棵时，选择方案二购买树苗更合算；当小区采购松树16棵时，两种方案费用相同；当小区采购松树17棵到20棵时，选择方案一购买树苗更合算． 【分析】（1）设购买松树x棵，则购买玉兰树（40﹣x）棵，根据松树的售价为150元/棵，玉兰树的售价为100元/棵，采购总费用不超过4900元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设购买松树y棵（15≤y≤20），则购买玉兰树（40﹣y）棵，计算出方案一的费用w1、方案二的费用w2，用w1﹣w2分别计算出等于0、大于0、小于0时的y的值即可得出结果． 【解答】解：（1）设购买松树x棵，则购买玉兰树（40﹣x）棵， 由题意得：150x+100（40﹣x）≤4900， 解得：x≤18， 答：至多可以购买18棵松树； （2）设购买松树y棵（15≤y≤20），则购买玉兰树（40﹣y）棵， 方案一的费用：w1＝150×0.8y+100×（40﹣y）＝20y+4000， 方案二的费用：w2＝[150y+100×（40﹣y）]×0.9＝45y+3600， w1﹣w2＝20y+4000﹣（45y+3600）＝﹣25y+400， 当w1﹣w2＝0时，﹣25y+400＝0， 解得：y＝16， 当w1﹣w2＞0时，﹣25y+400＞0， 解得：y＜16， 当w1﹣w2＜0时，﹣25y+400＜0， 解得：y＞16， ∴当y＝16时，两种方案费用相同；当y＝15时，选择方案二购买树苗更合算；当17≤y≤20时，选择方案一购买树苗更合算； 答：当小区采购松树15棵时，选择方案二购买树苗更合算；当小区采购松树16棵时，两种方案费用相同；当小区采购松树17棵到20棵时，选择方案一购买树苗更合算． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，正确列出一元一次不等式和一元一次方程是解题的关键． 23．（8分）·（2025春•惠来县期末）如图，已知AD∥BC，且AD＝BC，E、F是BD上两点，且BE＝DF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，求∠AEB的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠AEB的度数是130°． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADE＝∠CBF，由BE＝DF推导出BF＝DE，而AD＝CB，即可根据“SAS”证明△ADE≌△CBF； （2）由∠CBD＝35°，∠BCF＝95°，根据三角形内角和定理求得∠CFB＝50°，由全等三角形的性质得∠AED＝∠CFB＝50°，则∠AEB＝130°． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC，E、F是BD上两点， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF＝DE， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）解：∵∠CBD＝35°，∠BCF＝95°， ∴∠CFB＝180°﹣∠CBD﹣∠BCF＝50°， 由（1）得△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠CFB＝50°， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED＝130°， ∴∠AEB的度数是130°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ADE＝∠CBF，BF＝DE，进而证明△ADE≌△CBF是解题的关键． 24．（12分）·（2024秋•湛江期末）问题背景：数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°；三角尺ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝60°，∠E＝30°．分别作出∠BAD，∠CAE的平分线AM、AN．然后提出问题：求出∠MAN的度数． 【初步探究】 “智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，AM和AN仍然是∠BAD和∠CAE的平分线．其中，按图2方式摆放时，AB和AE在同一直线上．按图3方式摆放时，AB、AD、AM在同一直线上． （1）计算：图2中∠MAN的度数为　75　 °，图3中∠MAN的度数为　75　 °．（直接写出答案，不写过程）． 【深入探究】 （2）探究完图2、图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为　75　 °； “智慧小组”的同学认为图2，图3中∠BAD，∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数，图1中，∠MAN＝∠MAB+∠BAE+∠EAN，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数，如果设∠BAE为x°，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN的度数； （3）受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，请你求出∠MAN的度数． 【答案】（1）75；75； （2）75； （3）105°． 【分析】（1）图2中，根据角平分线的定义求出∠EAM和∠NAB，再求出两角和即可；图3中，根据角平分线的定义求出∠CAN，再求出两角差即可； （2）设∠BAE为x°，则∠BAD＝∠DAE﹣x°＝60°﹣x°，∠CAE＝∠BAC﹣x°＝90°﹣x°，进而表示出∠MAB和∠EAN，计算∠MAN＝∠MAB+∠BAE+∠EAN即可； （3）设∠BAE为x°，则∠BAD＝∠DAE+x°＝60°+x°，∠CAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣90°﹣x°＝270°﹣x°，进而表示出∠MAD和∠EAN，计算∠MAN＝∠MAD+∠EAN﹣∠DAE即可． 【解答】解：（1）图2中，∵AM是∠BAD的平分线，∠EAD＝60°， ∴∠EAM＝∠MAD∠EAD＝30°， ∵AN是∠CAE的平分线， ∴∠CAN＝∠NAB∠CAB＝45°， ∴∠MAN＝∠EAM+∠NAB＝30°+45°＝75°； 图3中，∵∠CAB＝90°，∠EAB＝60°， ∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°， ∵AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线， ∴∠CAN＝∠NAE∠CAE＝15°， ∴∠MAN＝∠MAC﹣∠CAN＝90°﹣15°＝75°， 故答案为：75；75； （2）设∠BAE为x°，则∠BAD＝∠DAE﹣x°＝60°﹣x°，∠CAE＝∠BAC﹣x°＝90°﹣x°， 因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线， 所以∠MAB∠BAD（60°﹣x°）＝30°x°， ∠EAN∠CAE（90°﹣x°）＝45°x°． 所以∠MAN＝∠MAB+∠BAE+∠EAN ＝（30°x°）+x°+（45°x°） ＝75°， 故答案为：75； （3）设∠BAE为x°，则∠BAD＝∠DAE+x°＝60°+x°， ∠CAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE＝360°﹣90°﹣x°＝270°﹣x°， 因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线， 所以∠MAD∠BAD（60°+x°）＝30°x°， ∠EAN∠CAE（270°﹣x°）＝135°x°， 所以∠MAN＝∠MAD+∠EAN﹣∠DAE ＝（30°x°）+（135°x°）﹣60° ＝105°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义以及列代数式，解题的关键是设出角的度数，根据角平分线的定义以及角的和差表示出各个角． 25．（14分）·（2025秋•朝阳区校级期末）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）DE＝BD+CE，证明见解答过程； （3）S1＝S2，理由见解答过程． 【分析】（1）根据垂直定义得∠BDA＝∠AEC＝90°，则∠DAB+∠DBA＝90°，再根据∠BAC＝90°得∠DAB+∠EAC＝90°，由此得∠DBA＝∠EAC，进而可依据“SAS”判定△ABD和△CAE全等； （2）根据三角形外角性质得∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，再根据∠ADB＝∠BAC得∠EAC＝∠DBA，进而可依据“AAS”判定△EAC和△DBA全等得CE＝AD，AE＝BD，由此可得出DE，BD，CE的数量关系； （3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，则∠AGB＝∠M＝90°，进而得∠ABG+∠BAG＝90°，再根据∠BAD＝90°得∠BAG+∠DAM＝90°，由此得∠ABG＝∠DAM，进而可依据“AAS”判定△ABG和△DAM全等，则DM＝AG，同理可证明△AGC和△ENA全等得EN＝AG，则DM＝EN，然后再根据三角形的面积公式即可得出S1，S2大小关系． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE，证明如下： ∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1AH•DM，S2AH•EN， ∴S1＝S2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． ( 第 2 页 共 23 页 ) ( 第 1 页 共 23 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $