精品解析：第三十一届YMO青少年数学思维研学交流活动五年级复选试卷

第三十一届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学五年级 1. 如果12＝1×1，22＝2×2，…，202＝20×20，且12＋22＋…＋202＝2870，则42＋82＋122＋…＋802＝（ ）。 2. 计算：20.23×2024.2024－20.24×2023.2023＝（ ）。 3. 规定6*2＝6＋66＝72，2*3＝2＋22＋222＝246，1*4＝1＋11＋111＋1111＝1234，那么5*7的值是（ ）。 4. 在下面的方格中分别填上数，使每行、每列、每条对角线上的3个数的和都相等，那么x是（ ）。 5. 算式7×17×27×37×…×2027的积的个位数是（ ）。 6. 123÷1111的商是循环小数，它的小数部分第2023位上的数字是（ ）。 7. 已知a和b的最大公约数是4，a与c及b与c的最小公倍数都是100，而且a小于等于b，则满足条件的有序自然数对（a，b，c）共有___________组． 8. 有A、B两个数，它们的最小公倍数是A数的27倍。已知A数是1、2、3、4、5、6、7、8的倍数，但不是9的倍数；B数是两位数。B数是（ ）。 9. 一个四位数是一个完全平方数，并且将它各位数字分别减1以后，仍然是一个完全平方数，原来的四位数是（ ）。 10. 在三位数中，恰好有9个约数的数有______个。 11. 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的六位数，那么，这个六位数是（ ）。 12. 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是（ ）。 13. 我们通常用小括号代表求几个数的最大公因数，中括号代表求几个数的最小公倍数。根据以上，那么（18，24，36）＋[18，24，36]＝（ ）。 14. 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳5次仍回到A点，则这只青蛙一共有（ ）种不同的跳法。 15. 用0至6各一个组成一个七位数，它是12、15、35、42的倍数，这个七位数最小是（ ）。 16. 当n＝123456789时，2n1的后两位数是（ ）。 17. 四个1，两个2，0、3、7、8各一个，用这十个数字组成五个合数，计算这五个合数的和，和的最小值是（ ）。 18. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD的三等分点，延长AE交BC于G，延长GF交AD于H，已知△DHF面积是9平方厘米，则正方形ABCD面积是（ ）平方厘米。 19. 已知A、B、C是互不相同的非零数字，且六位数是2015的倍数。那么三位数ABC是（ ）。 20. 某次考试共有20题。计分标准是：做对第k题得k分（k＝1，2，3，…，20），做错第k题则倒扣k分（k＝1，2，3，…，20）。小明做了所有的题，得100分。那么小明最多错（ ）道题。 21. 三种颜色的球共100个，拿25个必能保证至少有10个球同色。如果要保证起码有20个球颜色相同，则至少要拿（ ）个。 22. 从12至19中选出6个不同的数填入下面的方格内，使得任意两个相邻的格都满足：左边的数小于右边的数，上面的数小于下面的数。共有（ ）种填法。 23. 有12个砝码，重量都是整数克（允许有相同的重量），用它们可以称出重为整数克并且不超过2023的所有物体的重量（称物体重量时，砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘），这12个砝码中最重的一个最少是（ ）克。 24. 已知－1是357的倍数，那么正整数n的最小值是（ ）。 25. 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD＝2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知梯形ABCD的面积是245平方厘米，那么阴影四边形EMFN的面积是（ ）平方厘米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学五年级 1. 如果12＝1×1，22＝2×2，…，202＝20×20，且12＋22＋…＋202＝2870，则42＋82＋122＋…＋802＝（ ）。 【答案】45920 【解析】 【分析】先将各项变形，找出与已知条件的联系，再通过代入计算得出结果。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝45920 2. 计算：20.23×2024.2024－20.24×2023.2023＝（ ）。 【答案】0 【解析】 【分析】观察算式中数字的结构，把较大的小数拆成整数乘对应小数形式。将2024.2024拆成20.24×100.01，2023.2023拆成20.23×100.01，一定可以提取相同因数100.01，利用乘法分配律简化计算。或通过观察直接计算。 【详解】20.23×2024.2024－20.24×2023.2023 ＝20.23×20.24×100.01－20.24×20.23×100.01 ＝0 3. 规定6*2＝6＋66＝72，2*3＝2＋22＋222＝246，1*4＝1＋11＋111＋1111＝1234，那么5*7的值是（ ）。 【答案】6172835 【解析】 【分析】首先找到这个符号运算的规律，照着规律写出四则运算的算式。 根据规定，符号前面的数字表示组成数的数字，符号后面的数字表示相加的数的个数。依次写出由指定数字组成的1位数、2位数……直到对应个数的数，再用巧算相加求和。 【详解】根据规定： 5*7＝5＋55＋555＋5555＋55555＋555555＋5555555 ＝5×1＋5×11＋5×111＋5×1111＋5×11111＋5×111111＋5×1111111 ＝5×（1＋11＋111＋1111＋11111＋111111＋1111111） ＝5×1234567 ＝6172835 4. 在下面的方格中分别填上数，使每行、每列、每条对角线上的3个数的和都相等，那么x是（ ）。 【答案】51 【解析】 【分析】如图所示，若每行、每列、每条对角线上的3个数的和都相等，则x所在的行与所在的列及所在的对角线的和都是相等的，则x＋16＋第一列最下方的数＝x＋9＋正中间的数＝x＋2＋37，则正中间的数为30，第一列最下方的数为23，可得对角线的和为37＋30＋23＝90，则每行的和也为90，再用90减37减2可得x的结果。 【详解】第一列最下方的数：2＋37－16＝23 正中间的数：2＋37－9＝30 每行、每列、每条对角线上的3个数的和：37＋23＋30＝90 x：90－2－37＝51 5. 算式7×17×27×37×…×2027的积的个位数是（ ）。 【答案】3 【解析】 【分析】乘法的个位数字只由乘数的个位数字决定，因此本题只需关注所有乘数的个位数字，根据题干可以发现它们都是7。 找出数字7连乘时，个位数字的变化规律，即周期。 7×17×27×37×…×97，有10个数；107×…×197，也有10个数，那么每100中有10个数，那么2000中有200个数，再算上2007、2017、2027这3个，则共有203个乘数，用乘数的总个数除以周期长度，根据余数确定最终积的个位数字。 余数为0时，对应周期数字的最后一位，余数为n时，对应周期数字的第n位。 【详解】根据分析，可知乘数共有203个， 7 的个位是7； 7×7的个位是9； 7×7×7的个位是9×7的个位，是3； 7×7×7×7的个位是3×7的个位，是1； 7×7×7×7×7的个位是1×7的个位，是7； 这里回到了1个7时的个位情况，可以看出，乘积的个位数字以7，9，3，1为一个周期，周期长度是 4。 203÷4＝50……3； 余数为3，周期中第3个数是3，则积的个位数字是3。 6. 123÷1111的商是循环小数，它的小数部分第2023位上的数字是（ ）。 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意计算出123÷1111的结果，找出它的循环节（即重复出现的数字段）。 确定循环周期的长度，再用目标位数（2023）除以周期长度，根据余数来判断第2023位上的数字： 余数为0，对应循环节的最后一个数字。 余数为n，对应循环节的第n个数字。 【详解】 可得：这是一个纯循环小数，它的循环节是1107，共4个数字。 2023÷4＝505⋯⋯3 根据分析，余数是3，且循环节1107的第3个数字是0，所以它的小数部分第2023位上的数字是0。 7. 已知a和b的最大公约数是4，a与c及b与c的最小公倍数都是100，而且a小于等于b，则满足条件的有序自然数对（a，b，c）共有___________组． 【答案】9 【解析】 【详解】设A＝4M， B＝4N， ABC的最小公倍数100 4×M×N×X ＝100， M×N×X＝ 25＝1×5×5，则有 ① M＝1， N＝1， A＝4、B＝4、C＝25或50、100 ② M＝1， N＝5， A＝4、B＝20、C＝25或50、100 ③ M＝1， N＝25，A＝4、B＝100、C＝25或50、100 所以，综上所述，满足条件的有序自然数对（a，b，c）共有9组. 8. 有A、B两个数，它们的最小公倍数是A数的27倍。已知A数是1、2、3、4、5、6、7、8的倍数，但不是9的倍数；B数是两位数。B数是（ ）。 【答案】81 【解析】 【分析】已知A数是3的倍数但不是9的倍数，9＝3×3，则A数中只有一个因数3，A数是1、2、3、4、5、6、7、8的倍数，则A＝ ，A，B两个数的最小公倍数是A数的27倍，27＝3×3×3，A和B的最小公倍数中一共有4个因数3，则B中有三个因数3，B是27的倍数，还是两位数，可能为27，54，81，如果B为27和54，则A、B的最小公倍数为A数的9倍，不符合条件，如果B为81，则A、B的最小公倍数是A数的27倍，符合条件。 【详解】A数是3的倍数但不是9的倍数，A数中只有一个因数3，A＝ ，A、B两个数，它们的最小公倍数是A数的27倍，它们的最小公倍数中一共有4个因数3，则B数中至少有3个因数3，B数是27的倍数 若B＝27，则＝3，＝3× ×3×3＝9A，不符合条件； 若B＝54，则＝2×3＝6，＝6× ＝9A，不符合条件； 若B＝81，则＝3，＝3× ＝27A，符合条件； 综上可知，B数是81. 9. 一个四位数是一个完全平方数，并且将它各位数字分别减1以后，仍然是一个完全平方数，原来的四位数是（ ）。 【答案】3136 【解析】 【分析】如果把一个四位数的各位数字分别减1，相当于这个四位数减去1111，假设原来的结果为现在结果为，则这两个平方数的差为1111，根据平方差公式，把1111分解为两个数相乘的形式，可得出两个数的和及这两个数的差，根据和差公式：大数＝（和＋差）÷2计算a的结果，再平方就是原来的四位数。 【详解】假设原来四位数为，它的各位数字分别减1后的平方数为 则＝1111＝11×101 a＝（101＋11）÷2＝56 ＝56×56＝3136 10. 在三位数中，恰好有9个约数的数有______个。 【答案】7 【解析】 【分析】由于，根据约数个数公式，可知9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积。据此解答。 【详解】一个质数的8次方这个条件，在三位数中只有符合条件。 两个不同质数的平方的乘积这个条件，符合条件有、、、、、。 所以在三位数中，恰好有9个约数的数有7个。 【点睛】本题关键是明确所求数的两个条件，进而找出符合条件的数即可。 11. 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的六位数，那么，这个六位数是（ ）。 【答案】956478 【解析】 【分析】先计算数字和确定六位数是3的倍数，进而推出是2001（3×667）的倍数；再利用2001倍数特征（后三位是前三位的一半），结合数字4－9各用一次，找出前三位和后三位，即为答案。 【详解】因为， 所以所求的6位数一定是3的倍数，而3与667是互质的，所以这个6位数一定是3×667＝2001的倍数； 设是所求的6位数， 可得＝1000＋是2001的倍数， 所以是的2倍，经尝试，可得这个6位数是956478。 12. 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是（ ）。 【答案】875413 【解析】 【分析】根据11的整除判定特征我们知道六位数的奇数位与偶数位三个数字的和的差要为11的倍数，我们不妨设奇数位上的数和为a，偶数位上的数和为b，那么有a＋b＝1＋3＋4＋5＋7＋8＝28，同时有a－b＝0或a－b＝11或a－b＝22等情况，根据奇偶性分析自然数a与b的和为偶数，那么差也必须为偶数，最大的三个数的和8＋7＋5＝20，则a－b不可能为22，所以a－b＝0，解得a＝b＝14，则容易排列出最大数875413。 【详解】1＋3＋4＋5＋7＋8＝28，8＋5＋1＝14，7＋4＋3＝14，14－14＝0， 这个六位数偶数位上的数字为：8、5、1；奇数位上的数字为：7、4、3，能被11整除的最大的数是875413 13. 我们通常用小括号代表求几个数的最大公因数，中括号代表求几个数的最小公倍数。根据以上，那么（18，24，36）＋[18，24，36]＝（ ）。 【答案】78 【解析】 【分析】分别分别计算出18、24、36的最大公因数和最小公倍数，然后再相加求和即可。 【详解】（18，24，36）＝6 [18，24，36]＝72 6＋72＝78 14. 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳5次仍回到A点，则这只青蛙一共有（ ）种不同的跳法。 【答案】10 【解析】 【分析】从A点跳起，第一步可以跳到B点或C点，先考虑跳到B点的情况，则第二步可以跳到A点或C点，如果第二步跳到A点，则第三步可以跳到B点或C点，第四步对应的只能是C点或B点，第五步回到A点，有两种跳法；如果第二步跳到C点，则第三步可以跳到A点或B点，第三步跳到A点时，第四步可以跳到B点或C点，第五步回到A点；第三步跳到B点时，第四步只能跳到C点，第五步回到A点，一共有2＋1＝3（种）跳法，则第一步跳到B点，第五步跳回A点一共有3＋2＝5（种）跳法，用树状图表示出来，则第一步跳到C点也是有五种跳法，乘2即可。 【详解】如果第一步跳到B点，则第五步跳回A点如下图所示： 同理从A点起跳，第一步跳到C点，第五步回到A点也有五种跳法，一共有5×2＝10（种）跳法。 15. 用0至6各一个组成一个七位数，它是12、15、35、42的倍数，这个七位数最小是（ ）。 【答案】1235640 【解析】 【分析】需先确定需要满足的倍数条件，再根据数字特征确定个位数字，最后通过枚举法找到最小的符合条件的七位数。 【详解】12＝2×2×3，15＝3×5，35＝5×7，42＝2×3×7，所以组成的数必须是3，4 ，5，7的倍数，由于同时是4，5的倍数得出个位上必须是0，十位上必须是偶数；0至6的数字之和为21，所以一定满足是3的倍数；又由于要求最小，所以从个位是0的数由小到大开始找，看是否满足7的倍数，如果满足即可。 1234560，（1234－560）÷7的商不是整数，不合适； 1234650，（1234－650）÷7的商也不是整数，不合适； 1235460，（1235－460）÷7的商也不是整数，不合适； 1235640，（1235－640）÷7＝85，所以1235640是满足条件的数。 16. 当n＝123456789时，2n1的后两位数是（ ）。 【答案】13 【解析】 【分析】先找出（从1开始递增）后两位数的循环规律：的后两位是02，的后两位是04，的后两位是08，的后两位是16，的后两位是32，的后两位是64，的后两位是28，的后两位是56，的后两位是12，的后两位是24，的后两位是48，的后两位是96，的后两位是92，的后两位是84，的后两位是68，的后两位是36，的后两位是72，的后两位是44，的后两位是88，的后两位是76，的后两位是52，的后两位又回到04，的后两位是08，……由此可发现后两位数除了第一个是02后，接下来就是按照04，08，16，32，64，28，56，12，24，48，96，92，84，68，36，72，44，88，76，52这20个数为一个周期循环出现。 【详解】找规律可知知道，后两位数除了第一个是02后，接下来就是按照04，08，16，32，64，28，56，12，24，48，96，92，84，68，36，72，44，88，76，52这20个数为一个周期循环出现。 123456789－1＝123456788 123456788÷20＝6172839……8 所以的后两位数是12， ＋1的后两位数是13。 17. 四个1，两个2，0、3、7、8各一个，用这十个数字组成五个合数，计算这五个合数的和，和的最小值是（ ）。 【答案】179 【解析】 【分析】需先明确合数概念，优先使用一位数合数8，再用剩余数字组成四个最小的两位数和三位数合数，确保数字不重复且均为合数，最后求和。 【详解】要组成合数，我们先考虑3与7的组合，又因为要求和最小，则组的合数应尽可能地小，于是可以组成117，12，12，8，30这五个合数或117，32，10，12，8； 这五个合数的和： 所以和的最小值是179。 18. 如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD的三等分点，延长AE交BC于G，延长GF交AD于H，已知△DHF面积是9平方厘米，则正方形ABCD面积是（ ）平方厘米。 【答案】216 【解析】 【分析】由图知，在正方形里，△DHF与△BGF形状相同，可以将△BGF看作由△DHF放大得到，所以两三角形中各对应边的比相同。因为点E、F是对角线BD的三等分点，所以△DHF的边DF与△BGF的边BF的比为1：2，两条边对应高的比也是1：2，因此△DHF与△BGF的面积比为1：4。已知△DHF的面积是9平方厘米，所以△BGF的面积为4×9＝36（平方厘米）。因为△BEG与△FEG等底等高，所以△BEG的面积是△BGF面积的一半，即36÷2＝18（平方厘米）。因为△BEG与△DEA形状相同，△DEA可以看作由△BEG放大得到，所以两三角形各对应边的比相同，因此△BEG的边BE与△DEA的边ED的比为1：2，两边对应高的比也是1：2，所以△BEG与△DEA的面积比为1：4。△BEG的面积是18平方厘米，△DEA的面积是18×4＝72（平方厘米）。又△DEA与△AEB高相等，底DE与底BE的比为2：1，所以△AEB的面积是△DEA面积的一半，即72÷2＝36（平方厘米）。△DAB的面积＝△AEB的面积＋△DEA的面积＝36＋72＝108（平方厘米），正方形ABCD的面积是△DAB面积的2倍，由此可得正方形ABCD的面积 【详解】4×9＝36（平方厘米） 36÷2＝18（平方厘米） 18×4＝72（平方厘米） 72÷2＝36（平方厘米） 36＋72＝108（平方厘米） 108×2＝216（平方厘米） 【点睛】根据两三角形形状相同，可以将两三角形看作按一定的比放大或缩小，由此确定三角形对应边的比，进而找到已知三角形面积与正方形面积间的关系。 19. 已知A、B、C是互不相同的非零数字，且六位数是2015的倍数。那么三位数ABC是（ ）。 【答案】465 【解析】 【分析】根据“编码数”的规律，“＝×1001”，可以先把六位数 拆成 ×1001进行变形。对 1001 和 2015 分解质因数，找出它们的公因数与互质部分，根据互质关系判断 必须是 2015 中对应质因数的倍数，这样一来就大大缩小了范围。最后再结合 A、B、C 是不同非零数字这个条件，找到符合要求的三位数 。 【详解】＝×1001 1001＝7×11×13 2015＝5×13×31 因为是2015的倍数， 所以×7×11×13是5×13×31的倍数， 约去公因数13，得×7×11是5×31的倍数。 7、11与5、31互质，因此必须是5×31＝155的倍数。 三位数中155的倍数有： 155、310、465、620、775、930。 又A、B、C是互不相同的非零数字： 155：两个5，重复，舍去； 310：含0，舍去； 465：4、6、5互不相同且非零，符合； 620：含0，舍去； 775：两个7，重复，舍去； 930：含0，舍去。 因此，三位数是465。 20. 某次考试共有20题。计分标准是：做对第k题得k分（k＝1，2，3，…，20），做错第k题则倒扣k分（k＝1，2，3，…，20）。小明做了所有的题，得100分。那么小明最多错（ ）道题。 【答案】10 【解析】 【分析】假设这20题全做对，根据题意可知一共得1＋2＋3＋＋20＝210（分），实际得分为100分，多计算的110分是把做错的题按照对的计算，每道错题当作对的计算多算k＋k＝2k（分）即题目数的2倍的分数，110÷2＝55（分），可知做错的题目数的和为55，1＋2＋3＋＋10＝16＋19＋20＝18＋17＋20＝55，则最多错的为前10道题。 【详解】假设20道题全做对，得分为：1＋2＋3＋＋20＝210（分） （210－100）÷2 ＝110÷2 ＝55（分） 1＋2＋3＋＋10＝16＋19＋20＝18＋17＋20＝55 小明可能错3道题或者10道题，最多错10道题 21. 三种颜色的球共100个，拿25个必能保证至少有10个球同色。如果要保证起码有20个球颜色相同，则至少要拿（ ）个。 【答案】45 【解析】 【分析】已知：三种颜色的球共100个，拿25个必能保证至少有10个同色。最不利情况是：每种颜色拿的球都不超过9个（尽量分散）。如果三种颜色都能拿9个：个，此时还没有10个同色，再拿1个（第28个），必定有10个同色，但是题中说25个就够了，说明最不利情况下拿不到27个。这意味着至少有一种颜色的球总数少于9个，即使全拿也凑不到10个。设三种颜色球分别为A、B、C（其中A的数量最少，且小于10个），根据抽屉原理问题的“最不利原则”：颜色A的球全拿完，颜色B和颜色C的球各拿9个，这时候还没有10个同色，根据题意再拿1个（第25个），必定有10个同色，也就是在临界情况（最多24个还能保证没有10个同色）下：（个），所以，因此最少的那种颜色球A的个数只有6个，那么另外两种球共有（个）。以此结论再依据最不利原则，即可推导出如果要保证起码有20个球颜色相同，则至少要拿几个。 【详解】根据分析，当B和C均不少于19个时，最不利的情况为：颜色A全拿完6个，颜色B拿19个，颜色C拿19个。此时总共：（个），此时还没有20个球同色，在此基础上再多取1个球（45个），必然来自剩余两种颜色的球，即可保证有20个球颜色相同，所以至少要拿45个。 22. 从12至19中选出6个不同的数填入下面的方格内，使得任意两个相邻的格都满足：左边的数小于右边的数，上面的数小于下面的数。共有（ ）种填法。 【答案】140 【解析】 【分析】第一步，选数。从8个数中选出6个，与顺序无关，用组合数公式计算。 第二步，填数。选出的6个数按从小到大排好顺序，放入表格时要求每行从左到右递增、每列从上到下递增。此时，左上角必须放最小的数，右下角必须放最大的数，中间四个位置通过枚举可知只有5种填法。最后，把前两步的结果相乘，即可求出共有多少种填法。 【详解】选数：（种） 填数：（固定6个数时的填法种数）：5种。 总填法数：28×5＝140（种） 【点睛】解决这类表格填数的问题，可以先计算选数的组合数，再确定所选数在表格中满足要求的填法种数，最后用乘法原理求出共有多少种填法。 23. 有12个砝码，重量都是整数克（允许有相同的重量），用它们可以称出重为整数克并且不超过2023的所有物体的重量（称物体重量时，砝码放在天平的右盘，物体放在天平的左盘），这12个砝码中最重的一个最少是（ ）克。 【答案】504 【解析】 【分析】需先利用二进制思想确定基础砝码组合，再通过调整砝码的数量和质量，使12个砝码能称出1到2023克的所有整数，最后计算最重砝码的最小质量。 【详解】由于1＋2＝3＝2×2－1，能称出不超过3克的所有整数克的质量； 1＋2＋4＝7＝2×4－1，能称出不超过7克的所有整数克的质量； 1＋2＋4＋8＝15＝2×8－1，能称出不超过15克的所有整数克的质量； 而1＋2＋4＋⋯＋1024＝2×1024－1＝2047，只用了11个砝码，超过了2023，可把最重的512克，1024克的砝码拿出来，现在只剩下9个砝码，最多称重； 1＋2＋4＋8＋⋯＋256＝2×256－1＝511（克），（2023－511）÷3＝504（克），所以最重的砝码最少为504克。 12个砝码为1克，2克，4克，8克，16克，32克，64克，128克，256克，504克，504克，504克，所以这12个砝码中最重的一个最少是504克。 【点睛】要让“最终砝码最小”，就需要让后面的砝码重量尽可能相等，避免单个砝码过大，同时保证总重量足够覆盖目标范围。 24. 已知－1是357的倍数，那么正整数n的最小值是（ ）。 【答案】48 【解析】 【分析】因为357＝3×7×17，则 是3、7、17的倍数，根据余数周期规律可得： 是3的倍数， 是7的倍数， 是17的倍数，则n是2的倍数，3的倍数，16的倍数，最小值为2、3、16的最小公倍数。 【详解】因为357＝3×7×17，则 能同时被3、7、17整除，即，. 1.模3分析：，则，要，周期为2，则n是2的倍数。 2.模7分析：，则，要，周期为3，则n是3的倍数。 3.模17分析：，则，最小使得的n是16，则n是16的倍数。 综上可知，n最小为2、3、16的最小公倍数，＝48，那么正整数n的最小值是48。 【点睛】同余问题中余数的周期规律，通过分别分析每个模数下的最小周期计算出结果，结合最小公倍数的应用解决问题。 25. 如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD＝2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知梯形ABCD的面积是245平方厘米，那么阴影四边形EMFN的面积是（ ）平方厘米。 【答案】63 【解析】 【分析】连接EF和AC，相交于点O（如图）。因为E、F分别为梯形两腰的中点，那么（梯形两条腰的中点相连，得到的线段和梯形的上底、下底都互相平行），EF将原梯形分成上下两个小梯形：可以得到上下两个梯形：梯形ABFE和梯形EFCD。根据三角形中点连线性质，可以得到，结合已知条件，求出AB、EF和CD三者的比例关系。再结合梯形蝴蝶面积份数规律，分别求出上下两个小梯形内所有三角形的面积份数，汇总得到阴影四边形占原梯形总面积的比例，最后用梯形总面积乘对应比例，即可求出阴影面积。 【详解】连接EF和AC，相交于点O，设，则。在中，E为AD中点，，根据三角形中点连线性质:过三角形一边中点且平行于底边的直线，平分第三条边，所以O是AC的中点。 可得：，同理可得：；则： ； 可得： 因为点E、F分别是AD和BC的中点，EF平行上下底，可得EF平分梯形的高，则梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，设两个梯形的高为。所以： 由此可以得出：是面积的，是面积的； 因为,可得在梯形ABFE中：，根据梯形蝴蝶模型的结论：上下底之比为，就可得出，梯形中四块三角形面积的比是： 梯形ABFE中的阴影部分面积： 同理：在梯形EFCD中，,梯形中四块三角形面积的比是： 梯形EFCD中的阴影部分面积： (平方厘米) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $