16.4.1 反比例函数 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 本练习通过基础概念巩固、能力变式训练、综合应用提升三层设计，构建从概念理解到实际应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数概念、表达式|以填空、选择为主，紧扣定义辨析，强化符号意识| |能力层|待定系数法、正反比例综合|典例+变式训练，通过参数求解发展推理能力| |综合层|实际应用、跨知识综合|结合生活情境（如加油总价、跑步速度）及几何综合题，培养模型意识|

16.4.1．反比例函数 1．一般地，形如y＝(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数． 2．如果两个变量是反比例函数关系，就可以用待定系数法设这个函数的函数关系为y＝(k是常数，k≠0)，再根据条件列出方程求出待定系数k的值，就求出了两个变量之间的函数关系． 考点1　反比例函数的概念 【典例1】已知y＝(m2＋2m)x|m|-3是关于x的反比例函数，求(m－2)2 026的值． 解：因为y＝(m2＋2m)x|m|-3是关于x的反比例函数， 所以 解得， 所以m＝2，所以(m－2)2 026＝(2－2)2 026＝0. 这是一个由反比例函数定义求待定字母的值的题目，给出的函数表达式是反比例函数，就是要紧扣反比例函数的定义求待定字母的值，应当符合y＝(k是常数，k≠0)的形式，不过它还有两个变形的形式，就是y＝kx-1(k≠0)或xy＝k(k≠0)的形式．列出方程组(可能有方程、也可能有不等式)来解决问题． 【变式训练】 1．已知函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为 －1． 考点2　待定系数法求反比例函数表达式 【典例2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求： (1)y与x之间的函数表达式． (2)当y＝2时，x的值． 解：(1)∵变量y与x成反比例，∴可设y＝(k是常数，k≠0). ∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－6)＝－12， ∴y与x之间的函数关系式是y＝－. (2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6. 此题考查利用待定系数法求反比例函数的表达式和已知函数值求自变量的值，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键． 【变式训练】 2．已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． (1)当z＝－时，y＝6.当x＝6时，z＝4.求y与x之间的函数关系式； (2)证明y是x的反比例函数． (1)∵y是z的反比例函数，∴设y＝(a≠0). ∵当z＝－时，y＝6， ∴a＝6×(－)＝－4，∴y＝－，① ∵z是x的正比例函数，∴设z＝bx(b≠0). 又∵当x＝6时，z＝4，∴b＝＝，∴z＝x，② 将②代入①，得y＝－； (2)由(1)，得y＝(a≠0)，z＝bx(b≠0)， ∴y＝(a≠0，b≠0)， ∴y是x的反比例函数． 知识点1　反比例函数的定义 1．下列函数中，表示y是x的反比例函数的是(D) A.x(y＋1)＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是(D) A．正方形的面积S与边长a的关系 B．正方形的周长L与边长a的关系 C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系 3．若函数y＝x2m+1为反比例函数，则m的值是(D) A．1 B．0 C．0.5 D．－1 知识点2　确定反比例函数表达式 4．已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为(D) A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝或y＝－ 5．根据下表中反比例函数的自变量x与函数值y的对应关系，可得p的值为(D) x －2 1 y 3 p A.3 B．1 C．－2 D．－6 6．已知y与成反比例，当y＝1时，x＝4，则当x＝2时，y＝． 易错易混点　基本概念与模型观念不匹配导致错误 7．列出下列问题中的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为1 500 t，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数表达式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式； (3)小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式． (1)由平均数的概念，得x＝， ∴y＝，y＝是反比例函数； (2)由单价乘油量等于总价，得 y＝4.75x，y＝4.75x是正比例函数不是反比例函数． (3)由路程与时间的关系，得t＝，t＝是反比例函数． 8．函数y＝是反比例函数，则m必须满足(D) A.m≠0 B．m≠－1 C．m≠－1或m≠0 D．m≠－1且m≠0 9．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数表达式为(C) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 10. 已知函数y＝(k＋1)x|k|-3是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值为2． ∵y＝(k＋1)x|k|-3是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限， ∴∴k＝2. 11．如果A×B＝4.5，那么A和B成反比例关系；如果x÷y＝42÷3.5，那么x和y成正比例关系；如果m∶1.2＝1.5∶n，那么m和n成反比例关系． 如果A×B＝4.5，那么A和B成反比例关系；如果x÷y＝42÷3.5，即x÷y＝12，那么x和y成正比例关系；如果m∶1.2＝1.5∶n，即mn＝1.8，那么m和n成反比例关系． 12．已知，某个反比例函数的图象经过点M(－2，1). (1)求反比例函数的表达式； (2)当y＝时，求x的值． (1)设反比例的表达式为y＝(k为常数，k≠0)， 把M(－2，1)代入得k＝－1×2＝－2， ∴反比例函数的表达式为y＝－. (2)当y＝时，－＝，解得x＝－3. 13．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x＋2成反比例，且当x＝－1时，y＝3；当x＝3时，y＝7.求x＝－3时，y的值． ∵y1与x成正比例，∴设y1＝kx. ∵y2与x＋2成反比例，∴设y2＝. ∵y＝y1＋y2，∴y＝kx＋. ∵当x＝－1时，y＝3；当x＝3时，y＝7， ∴解得 ∴y＝2x＋. 当x＝－3时，y＝2×(－3)＋＝－11. 14.如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且＝.求反比例函数y＝的表达式． 设点A的坐标为(a，)，则OA2＝a2＋， 设直线OA的表达式为y＝mx(x＞0). 由条件，可知＝ma，解得m＝， ∴y＝x. 由于直线OA与y＝交于点B， ∴联立解得x＝a(负值已舍去)， ∴y＝，即点B的坐标为(a，)， ∴OB2＝(a)2＋()2＝k(a2＋). ∵＝，∴OB2＝9OA2， 即k(a2＋)＝9(a2＋). ∵a2＋>0，∴k＝9， ∴反比例函数y＝的表达式为y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.4.1．反比例函数 1．一般地，形如 (k是 ，k≠0)的函数叫做反比例函数． 2．如果两个变量是反比例函数关系，就可以用 设这个函数的函数关系为y＝(k是常数，k≠0)，再根据条件列出方程求出待定系数 的值，就求出了两个变量之间的函数关系． 考点1　反比例函数的概念 【典例1】已知y＝(m2＋2m)x|m|-3是关于x的反比例函数，求(m－2)2 026的值． 这是一个由反比例函数定义求待定字母的值的题目，给出的函数表达式是反比例函数，就是要紧扣反比例函数的定义求待定字母的值，应当符合y＝(k是常数，k≠0)的形式，不过它还有两个变形的形式，就是y＝kx-1(k≠0)或xy＝k(k≠0)的形式．列出方程组(可能有方程、也可能有不等式)来解决问题． 【变式训练】 1．已知函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为 ． 考点2　待定系数法求反比例函数表达式 【典例2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求： (1)y与x之间的函数表达式． (2)当y＝2时，x的值． 此题考查利用待定系数法求反比例函数的表达式和已知函数值求自变量的值，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键． 【变式训练】 2．已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． (1)当z＝－时，y＝6.当x＝6时，z＝4.求y与x之间的函数关系式； (2)证明y是x的反比例函数． 知识点1　反比例函数的定义 1．下列函数中，表示y是x的反比例函数的是( ) A.x(y＋1)＝1 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是( ) A．正方形的面积S与边长a的关系 B．正方形的周长L与边长a的关系 C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系 3．若函数y＝x2m+1为反比例函数，则m的值是( ) A．1 B．0 C．0.5 D．－1 知识点2　确定反比例函数表达式 4．已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为( ) A．y＝ B．y＝ C．y＝－ D．y＝或y＝－ 5．根据下表中反比例函数的自变量x与函数值y的对应关系，可得p的值为( ) x －2 1 y 3 p A.3 B．1 C．－2 D．－6 6．已知y与成反比例，当y＝1时，x＝4，则当x＝2时，y＝ ． 易错易混点　基本概念与模型观念不匹配导致错误 7．列出下列问题中的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为1 500 t，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数表达式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式； (3)小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式． 8．函数y＝是反比例函数，则m必须满足( ) A.m≠0 B．m≠－1 C．m≠－1或m≠0 D．m≠－1且m≠0 9．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m，则y与x的函数表达式为( ) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 10. 已知函数y＝(k＋1)x|k|-3是反比例函数，且正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，则k的值为 ． 11．如果A×B＝4.5，那么A和B成 比例关系；如果x÷y＝42÷3.5，那么x和y成 比例关系；如果m∶1.2＝1.5∶n，那么m和n成 比例关系． 12．已知，某个反比例函数的图象经过点M(－2，1). (1)求反比例函数的表达式； (2)当y＝时，求x的值． 13．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x＋2成反比例，且当x＝－1时，y＝3；当x＝3时，y＝7.求x＝－3时，y的值． 14.如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且＝.求反比例函数y＝的表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $