3.1.1 变量与函数 课件2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦变量、常量及函数的概念，涵盖自变量、因变量、函数值及取值范围等核心知识点。通过行星位置、气温海拔等生活实例导入，从具体变化现象到抽象关系分析，搭建观察到定义的学习支架，衔接学生已有认知与新知。 其亮点是以“万物皆变”为主线，结合气温曲线、声速表格等实例，培养数学眼光（抽象变量关系）与数学思维（推理函数对应）。采用情境探究与问题驱动教学，小结结构化梳理概念，助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供清晰的教学流程与实例支撑。

y x O 3.1.1 变量与函数 湘教·八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 通过生活中的实例，理解变量与常量的概念 掌握函数及自变量、因变量、函数值的概念（重点） 通过分析变量之间的函数关系，提高解决问题的能力 （难点） 情境导入 万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化. 气温随海拔的变化而变化. 汽车匀速行驶，行驶路程随行驶时间的变化而变化. 世界处在不停地运动变化中，如何研究这些运动变化规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。 新知探究 思 考 看图回答： (1)这天的0时、4时和14时的气温分别为多少？ (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 问题1：下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，探究下面几个问题。 温度T随着时间t的变化而变化． 15℃,10℃,20℃. 20℃,10℃ 4-14时的气温在逐渐升高, 0-4时和14-24时的气温在逐渐降低 研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： 观察思考： ①气温每升高5℃，声速加快______m/s. ②声音在空气中传播的________随着________的变化而变化. 速度y 气温x 3 x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 问题2： 某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y(km)与飞行时间 x(h)之间的关系式为y=120x.该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？ 观察思考： ①______________随___________的变化而变化. ②当无人机的飞行时间x取定一个值时，其飞行路程y有______（唯一或不唯一）的值与它对应. 飞行路程y 飞行时间x 唯一 问题3： 新知探究 上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？ 问题（1）中时间t、气温T，问题（2）中气温x、声速y，问题（3）中飞行时间 x、飞行的路程 y等都是会发生变化的量 . 问题（3）中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量. 新知探究 总结归纳 在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 变量与常量 注意： 1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中，这个量是否可以取不同的数值； 2. π是一个无理数，属于常量. 由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 议一议 如图，△ABC 底边 BC (设 BC = а) 上的高是 h. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积 S 会发生变化吗？ 若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？ B C A C C C 高 h 是常量 底边长 a 和面积 S 都是变量 面积s随底边长a的变化而变化. 做一做：请举出两个含有相关变量的实例，并指出其中的常量与变量. 新知探究 小组讨论: 问题1：上述每个问题中，有几个变量？ 问题2：上述每个问题中，这些变量是怎样变化的？ 问题3：当一个变量取一个确定的值时，对应的另一个变量的取值是否唯一确定？ 都有两个变量. 在两个变量中，一个变量随着另一个变量变化而变化. 是唯一确定. 函数 生成概念... 结论： 在一个变化过程中， ①自身发生变化的量叫作自变量； ②因自变量变化而变化的量叫作因变量. 原因 结果 函数的概念： 一般地，如果变量 y 随着变量x 而变化，对于 x 取的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数（function），记作：y=f (x). 自变量 因变量 新知哦... 因变量是自变量的函数 函数不是数，是一种对应关系 函数的概念 1.“思考”问题（1）中，气温T是时间t的函数， 其中_________是自变量，_________是因变量． t T 在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围. 如问题（1）中的函数，自变量t的取值范围是 0 ≤ t ≤ 24. 2.“思考”问题（2）中，声速y是气温x的函数， 其中_________是自变量，_________是因变量． x y 3.“思考”问题（3）中，飞行路程y是飞行时间x的函数， 其中_________是自变量，_________是因变量． x y 新知探究 说一说 下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. （1） y：正方形的周长；x：这个正方形的边长. （2） y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. （3） y：一个正数的平方根；x：这个正数. （4） y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. y是x的函数 y是x的函数 y不是x的函数 y不是x的函数 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. 1. 下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？ （2）某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的蓄水量V. 解：蓄水量V随水位高度h的变化而变化. 【选自教材P85 练习 第1题】 其中蓄水量V与水位高度h是变量，储水池的长a和储水池的宽b是常量. 2.指出下列变化过程中的变量和常量： 　 （1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x 升，车主加油付油费为 y 元； （2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说用了 t 天，平均每天所看的页数为 n； （3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2． （4）若直角三角形中的一个锐角的度数为 α，则另一个锐角 β (度)与 α 间的关系式是 β = 90°－α. 能力提升题 新知应用  归纳：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 一个 x 值有两个 y 值与它相对应 3 3 4.求下列函数中自变量x的取值范围： （1） y＝3x－1 （2） y＝2x2＋7 （3） y= （4） y= (1)因为x取任意实数， 都有意义，所以x的取值范围是任意实数． (2)因为x取任意实数， 　　 都有意义，所以x的取值范围是任意实数． (3)因为x+2不等于0时， 才有意义，所以 x的取值范围是: (4)因为x≥2时， 才有意义，所以x的取值范围是x≥2 ． 能力提升题 新知应用 课堂小结 变量与函数 常量与变量 函数 常量：取值固定不变的量 变量：取值固定不变的量 概念 自变量的取值范围 函数值 变量所取的某个具体的数值 自身发生变化的量 因自变量变化 而变化的量 $