16.3.4 求一次函数的表达式 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 以“待定系数法求一次函数表达式”为核心，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，构建从概念理解到实际建模的知识路径，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|待定系数法直接应用|典例1及知识点题（1-8题），聚焦两点求表达式、图像与坐标轴交点等基础操作| |提升|结合几何与图像分析|变式训练1（坐标与面积）、易错点9-13题，涉及分类讨论、图像平移等综合应用| |综合|实际问题建模|典例2及变式2、16题（行程/经济问题），通过函数图像解决相遇、费用比较等问题，体现模型观念|

16.3.4求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数的表达式，先设一次函数的表达式为 ，再根据条件列出 ，求出未知数，从而写出一次函数的表达式． 考点1　待定系数法求一次函数的表达式 【典例1】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－1，1)和点(1，－5). (1)求一次函数的表达式． (2)求一次函数的图象与x轴的交点坐标． 待定系数法求一次函数表达式的步骤：(1)确定两点坐标；(2)设一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；(3)将两点坐标代入一次函数表达式；(4)解关于k、b的二元一次方程组；(5)回答一次函数表达式． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝4x－5上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，6)，其中点C为直线y＝4x－5与y轴的交点． (1)求直线AB的函数表达式． (2)求△ABC的面积． 考点2　一次函数的实际应用 【典例2】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两城相距_ _km； (2)求乙车出发后几小时追上甲车？ 行程问题有点难，函数图象来帮忙． 时间横轴路程纵，坐标体系先搭好． 匀速直线是斜线，斜率速度要记牢． 变速分段来绘制，转折之处细思量． 交点相遇关键处，特殊点也有妙方． 信息读取要准确，计算推理不能慌． 检验答案保无误，解题口诀常回想． 【变式训练】 2．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是 米/秒，乙无人机的速度是 米/秒； (2)求线段PQ对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． 知识点　求一次函数的表达式 1．已知y－3与x成正比例，且经过点(2，7)，那么y与x的关系式为( ) A.y＋3＝2x B．y＝2x＋3 C．y＝x＋5 D．y＝3x＋1 2．一次函数的图象如图所示，这个一次函数的表达式是( ) A．y＝－x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x－1 D．y＝x＋1 3．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在边CD上留一个1 m宽的门．若设AB的长为y m，BC的长为x m，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝12－x B．y＝12－x C．y＝13－x D．y＝13－x 4．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的表达式为( ) A．y＝－x－2 B．y＝－x－6 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10 5．在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k、b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A(0，－1)、B(2，3)、C(3，2).同学们经过其中任意两点可画出一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，其中k＋b最大的值为( ) A．5 B．4 C．2 D．0 6．直线y＝kx＋3与x轴的交点是(1，0)，则k的值是 . 7．写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式 (写出一个即可) . (1)y随x的增大而减小； (2)图象经过点(0，2). 8．(河南南阳方城模拟)已知点(－4，2)在正比例函数y＝kx的图象上． (1)求该正比例函数的表达式； (2)若点(－1，m)在该函数的图象上，求出m的值． 易错易混点　忽略分类讨论导致漏解 9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当－2≤x≤2时，－3≤y≤5，则kb＝ ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3，1)，AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是 ． 11．将直线y＝x－3沿y轴向上平移2个单位，得直线的函数表达式为 . 12. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，某弹簧不挂物体时长15 cm，当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长16.8 cm.写出弹簧长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式： ． 13．有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第5个有序数对为 ；若在平面直角坐标系中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为 ． 14．已知A，B是直线y＝x＋3上的两点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，点B关于原点的对称点为B1.试求： (1)直线AB1的表达式； (2)△ABB1的面积． 15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－1，－1)和点B(1，－3)，求： (1)一次函数的表达式； (2)直线AB与坐标轴围成的三角形的面积； (3)请在x轴上找到一点P，使得PA＋PB最小，并写出点P的坐标． 【母题P56T9】小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100 m，气温下降0.6 ℃，小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为34 ℃，试写出山上气温T(℃)与该处距山脚垂直高度h(m)之间的函数关系式，当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为29.8 ℃，求山高． 【变式】王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买x(x＞10)本练习本，甲商店的费用为y1，乙商店的费用为y2. (1)分别求出y1、y2与x之间的关系式； (2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． 16.(模型观念)已知A、B两地相距4 800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出y1、y2与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.4求一次函数的表达式 用待定系数法求一次函数的表达式，先设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而写出一次函数的表达式． 考点1　待定系数法求一次函数的表达式 【典例1】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－1，1)和点(1，－5). (1)求一次函数的表达式． (2)求一次函数的图象与x轴的交点坐标． 解：(1)把(－1，1)和(1，－5)代入y＝kx＋b，得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－3x－2. (2)当y＝0时，由－3x－2＝0， 解得x＝－， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为(－，0). 待定系数法求一次函数表达式的步骤：(1)确定两点坐标；(2)设一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；(3)将两点坐标代入一次函数表达式；(4)解关于k、b的二元一次方程组；(5)回答一次函数表达式． 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝4x－5上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，6)，其中点C为直线y＝4x－5与y轴的交点． (1)求直线AB的函数表达式． (2)求△ABC的面积． (1)∵点A(2，m)在直线y＝4x－5上， ∴m＝4×2－5＝3， ∴点A的坐标为(2，3). 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b. 将点A(2，3)，点B(0，6)代入，得 解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋6； (2)过点A作AD⊥x轴于点D，如图． ∵点A的坐标为(2，3)，点B的坐标为(0，6)， ∴AD＝2，OB＝6. 对于函数y＝4x－5，当x＝0时，y＝5， ∴点C的坐标为(0，－5)，∴OC＝5， ∴BC＝OB＋OC＝6＋5＝11， ∴S△ABC＝BC·AD＝×11×2＝11. 考点2　一次函数的实际应用 【典例2】甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，解决下列问题： (1)A，B两城相距_300_km； (2)求乙车出发后几小时追上甲车？ 解：(1)由图可知，A、B两城相距300 km； (2)设甲对应的函数表达式为：y＝kx(k≠0)，把(5，300)代入解析式，得300＝5k，解得k＝60. 即甲对应的函数表达式为y＝60x(0≤x≤5). 设乙对应的函数表达式为y＝mx＋n(m≠0)， 把(1，0)，(4，300)代入解析式，得则 解得 即乙对应的函数表达式为y＝100x－100(1≤x≤4). 令60x＝100x－100，解得x＝2.5. 2．5－1＝1.5(h)，即乙车出发后1.5 h追上甲车． 行程问题有点难，函数图象来帮忙． 时间横轴路程纵，坐标体系先搭好． 匀速直线是斜线，斜率速度要记牢． 变速分段来绘制，转折之处细思量． 交点相遇关键处，特殊点也有妙方． 信息读取要准确，计算推理不能慌． 检验答案保无误，解题口诀常回想． 【变式训练】 2．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是6米/秒，乙无人机的速度是3米/秒； (2)求线段PQ对应的函数表达式； (3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间． (1)甲无人机的速度是36÷6＝6(米/秒)，乙无人机的速度是(72－12)÷20＝3(米/秒)； (2)甲无人机飞行PQ段用时(72－36)÷6＝6(秒)，20－6＝14(秒)， ∴点P的坐标为(14，36). 设线段PQ对应的函数表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)， 将点P(14，36)，Q(20，72)分别代入y＝kx＋b，得 解得 ∴线段PQ对应的函数表达式为y＝6x－48(14≤x≤20)； (3)设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y＝k′x＋b′， 将点(0，12)，(20，72)代入，得 解得 ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y＝3x＋12(0≤x≤20). 当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14≤x≤20， 由与乙无人机的高度差为9米，得3x＋12－(6x－48)＝9， 解得x＝17， ∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒． 知识点　求一次函数的表达式 1．已知y－3与x成正比例，且经过点(2，7)，那么y与x的关系式为(B) A.y＋3＝2x B．y＝2x＋3 C．y＝x＋5 D．y＝3x＋1 2．一次函数的图象如图所示，这个一次函数的表达式是(D) A．y＝－x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x－1 D．y＝x＋1 3．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在边CD上留一个1 m宽的门．若设AB的长为y m，BC的长为x m，则y与x之间的函数表达式为(C) A．y＝12－x B．y＝12－x C．y＝13－x D．y＝13－x 4．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与直线y＝－x＋1平行，且过点(8，2)，则此一次函数的表达式为(D) A．y＝－x－2 B．y＝－x－6 C．y＝－x－1 D．y＝－x＋10 5．在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k、b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：A(0，－1)、B(2，3)、C(3，2).同学们经过其中任意两点可画出一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，其中k＋b最大的值为(B) A．5 B．4 C．2 D．0 6．直线y＝kx＋3与x轴的交点是(1，0)，则k的值是－3. 7．写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式y＝－x＋2(写出一个即可) . (1)y随x的增大而减小； (2)图象经过点(0，2). 设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵y 随x的增大而减小，∴k＜0.令k＝－1，则函数表达式为y＝－x＋b，又∵点(0，2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，∴2＝b，∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.(答案不唯一). 8．(河南南阳方城模拟)已知点(－4，2)在正比例函数y＝kx的图象上． (1)求该正比例函数的表达式； (2)若点(－1，m)在该函数的图象上，求出m的值． (1)∵点(－4，2)在正比例函数y＝kx的图象上， ∴2＝－4k，∴k＝－， ∴该正比例函数的表达式为y＝－x. (2)∵点(－1，m)在函数y＝－x的图象上， ∴m＝－×(－1)＝. 易错易混点　忽略分类讨论导致漏解 9．一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当－2≤x≤2时，－3≤y≤5，则kb＝2或－2． ∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当－2≤x≤2时，－3≤y≤5，∴下面两种情况讨论： ①当k＞0时，y随x的增大而增大， 则x＝－2时，y＝－3，x＝2时，y＝5， ∴ 解得∴kb＝2×1＝2； ②当k＜0时，y随x的增大而减小， 即x＝－2时，y＝5，x＝2时，y＝－3， ∴解得 ∴kb＝(－2)×1＝－2；即kb＝2或－2. 10．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(3，1)，AB＝OB，∠ABO＝90°，则直线AB对应的函数表达式是y＝－3x＋10． 如图，过点A作AC∥x轴交y轴于点C，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，两条直线相交于点E. ∵CE∥x轴，ED∥y轴， ∴CE⊥ED， ∴∠E＝90°， ∴∠ACO＝∠E＝∠BDO＝90°，CE＝OD. 又∵∠ABO＝90°， ∴∠DOB＋∠OBD＝90°，∠ABE＋∠OBD＝90°，∠BAE＋∠ABE＝90°， ∴∠BOD＝∠ABE，∠OBD＝∠BAE. ∵点B的坐标为(3，1)，∴OD＝3，BD＝1. 在△ABE与△BOD中， ∴△ABE≌△BOD(ASA)， ∴AE＝BD＝1，BE＝OD＝3， ∴AC＝CE－AE＝OD－BD＝3－1＝2，DE＝BD＋BE＝1＋3＝4， ∴点A的坐标为(2，4). 设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将点A(2，4)，点B(3，1)代入，得 解得 ∴直线AB的表达式为y＝－3x＋10. 11．将直线y＝x－3沿y轴向上平移2个单位，得直线的函数表达式为y＝x－1. 12. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，某弹簧不挂物体时长15 cm，当所挂物体质量为3 kg时，弹簧长16.8 cm.写出弹簧长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式：L＝0.6x＋15． 设弹簧总长度L(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合的一次函数关系式为L＝kx＋15(k≠0).由题意，得16.8＝3k＋15，解得k＝0.6，所以该一次函数表达式为L＝0.6x＋15. 13．有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第5个有序数对为(25，26)；若在平面直角坐标系中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为y＝x＋1． ∵第1个有序数对是(1，2)，1＝12，2＝12＋1；第2个有序数对是(4，5)，4＝22，5＝22＋1；第3个有序数对是(9，10)，9＝32，10＝32＋1；第4个有序数对是(16，17)，16＝42，17＝42＋1，∴第5个有序数对为(25，26).设这条直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线过点(1，2)，(4，5)， ∴解得故这条直线的表达式为y＝x＋1. 14．已知A，B是直线y＝x＋3上的两点，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为1，点B关于原点的对称点为B1.试求： (1)直线AB1的表达式； (2)△ABB1的面积． (1)在y＝x＋3中，令x＝1，得y＝4，则点A的坐标是(1，4)；在y＝x＋3中，令y＝1，得x＋3＝1，解得x＝－2，则点B的坐标是(－2，1)，则点B1的坐标是(2，－1).设直线AB1的表达式是y＝kx＋b，则解得则直线AB1的表达式是y＝－5x＋9. (2)过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，过B1作x轴、y轴的平行线，分别相交于点C，D，E.则点C的坐标是(－2，4)，点D的坐标是(－2，－1)，点E的坐标是(2，4).则S△ABC＝BC·AC＝×3×3＝，S△BB1D＝BD·B1D＝×2×4＝4，S△AB1E＝B1E·AE＝×5×1＝，S长方形CDB1E＝4×5＝20，则S△ABB1＝20－－4－＝9. 15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－1，－1)和点B(1，－3)，求： (1)一次函数的表达式； (2)直线AB与坐标轴围成的三角形的面积； (3)请在x轴上找到一点P，使得PA＋PB最小，并写出点P的坐标． (1)把点A(－1，－1)，B(1，－3)代入y＝kx＋b，得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x－2； (2)如图，设直线与x轴交于点C，与y轴交于点D. 把y＝0代入y＝－x－2，解得x＝－2， ∴OC＝2. 把x＝0代入y＝－x－2， 解得y＝－2，∴OD＝2， ∴S△COD＝×OC×OD＝×2×2＝2； (3)作点A与A1关于x轴对称，连结A1B交x轴于点P，则点P即为所求． 由对称，知点A1的坐标为(－1，1). 设直线A1B的表达式为y＝ax＋c，将点A1(－1，1)，B(1，－3)代入，得 解得∴y＝－2x－1. 令y＝0，得－2x－1＝0， 解得x＝－，∴点P的坐标为(－，0). 【母题P56T9】小华暑假去某地旅游，导游要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100 m，气温下降0.6 ℃，小华在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为34 ℃，试写出山上气温T(℃)与该处距山脚垂直高度h(m)之间的函数关系式，当小华乘缆车到达山顶时，发现温度为29.8 ℃，求山高． (1)根据题意，得h＝×100＝－T＋， 当T＝29.8时，h＝－×29.8＋， 解得h＝700， ∴此山高大约700 m． 【变式】王华用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本2元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的八折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八五折卖．设小明买x(x＞10)本练习本，甲商店的费用为y1，乙商店的费用为y2. (1)分别求出y1、y2与x之间的关系式； (2)王华买了25本练习本，选择哪家商店更优惠？请说明理由． (1)y1＝10×2＋2×0.8(x－10)＝1.6x＋4， y2＝2×0.85x＝1.7x； (2)甲商店的费用为y1＝1.6x＋4＝1.6×25＋4＝44(元)， 乙商店的费用为y2＝1.7x＝1.7×25＝42.5(元). ∵42.5<44，∴买25本练习本选择到乙商店购买更优惠． 16.(模型观念)已知A、B两地相距4 800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)直接写出y1、y2与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？ (1)设y1＝k1x(k1≠0)，由题意，代入点(60，4 800)，得 60k1＝4 800，解得k1＝80，∴y1＝80x. 设 y2＝k2x＋b(k2≠0)，由题意，代入点(20，4 800)，(60，0)，得 解得 ∴y2＝－120x＋7 200. 答：y1＝80x，其中自变量x的取值范围是0≤x≤60， y2＝－120x＋7 200，其中自变量x的取值范围是20≤x≤60； (2)由题意，可知y1＝y2，即80x＝－120x＋7 200， 解得x＝36，∴y2＝－120×36＋7 200＝2 880. 答：甲出发后36分钟两人相遇，相遇时乙离A地2 880米． 学科网（北京）股份有限公司 $