2025-2026学年北师大版数学七年级下册第二次月考模拟训练

**基本信息** 北师大版七年级下数学月考模拟卷，以几何与代数综合为核心，通过文化情境（成语必然事件）、动态问题（动点全等）及试验数据（摸球概率），考查空间观念、运算能力与数据意识，适配阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平方差公式、平行线判定、全等三角形判定|第2题结合成语考查必然事件，渗透文化传承| |填空题|6题|角平分线性质、全等三角形对数、概率计算|第15题动点全等分类讨论，体现思维层次性| |解答题|7题|整式运算、几何作图、动态几何综合|第23题动态点运动探究全等，融合创新应用；第21题用试验数据估计概率，培养数据观念|

北师大版2025-2026七年级下数学第二次月考模拟训练 一．选择题（共10小题） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x﹣2）（x+1） 2．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A．守株待兔 B．水涨船高 C．缘木求鱼 D．拔苗助长 3．一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠BAF＝10°，那么∠CED的大小为（　　） A．20° B．30° C．50° D．40° 4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 5．在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个红球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，∠A＝70°，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，求∠BOC的度数（　　） A．100° B．115° C．102° D．125° 7．如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，点E为正方形ABCD的对角线AC的中点，在Rt△FEG中，两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠3＝25°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．35° D．25° 10．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 二．填空题（共6小题） 11．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若射线OF在∠AOE内部，∠EOF＝26°，∠AOF：∠BOD＝3：5，则∠AOC的度数为　 　 ． 12．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，连接AO．若AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有 　 　 对． 13．如图，一只蚂蚁在△ABC区域内爬行，BD是△ABC的中线，E，F分别为BD，CE的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 　 　 ． 14．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　 　 三角形． 15．如图，在长方形ABCD中，AB＝20cm，点E在边AD上，且AE＝12cm．动点P在边AB上，从点A出发以4cm/s的速度向点B运动，同时，点Q在边BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，若在运动过程中存在△EAP与△PBQ全等的时刻，则v的值为 　 　 ． 16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AD上移动，且AD⊥AC则当AP＝　 　 时，△ABC和△QPA全等． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）； （2）20262﹣2025×2027． 18．（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1． 19．按下列要求作图： （1）如图（1），已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图（2），已知∠α、∠β和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a（保留作图痕迹，不写作法）． 20．如图两个等腰直角△ADC与△EDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，连接AG，CE交于点H． 证明：（1）AG＝CE； （2）AG⊥CE． 21．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 （1）表中a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　 　 （精确到0.1）； （3）盒子里约有白球　 　 个； （4）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少？ 22．如图，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点D为AC上一点，将△ABD沿BD翻折后得到△BDE． （1）如图1，当点E落在BC上时，求∠CDE的度数； （2）如图2，当点E落在BC下方时，DE与BC相交于点F，且DE⊥BC，试说明：BE∥AC； （3）如图3，当点E落在BC下方时，DE与BC相交于点F，连结CE，∠CED的平分线EG交BD的延长线于点G，交AC于点H．若CE∥BG，试判断∠BFE与∠G之间的数量关系，并说明理由． 23．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 　 ，BD，CE与DE的数量关系为 　 　 ． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 北师大版2025-2026七年级下数学第二次月考模拟训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A．（2x+y）（y﹣2x） B．（x+2）（2+x） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x﹣2）（x+1） 【分析】根据平方差公式的特征，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（2x+y）（y﹣2x）＝y2﹣4x2，故A符合题意； B、（x+2）（2+x）＝（x+2）2＝x2+4x+4，故B不符合题意； C、（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，故C不符合题意； D、（x﹣2）（x+1）＝x2+x﹣2x﹣2＝x2﹣x﹣2，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 2．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　） A．守株待兔 B．水涨船高 C．缘木求鱼 D．拔苗助长 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、属于随机事件，故A不符合题意； B、属于必然事件，故B符合题意； C、属于不可能事件，故C不符合题意； D、属于不可能事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 3．一把直尺和一个含30°，60°角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且∠BAF＝10°，那么∠CED的大小为（　　） A．20° B．30° C．50° D．40° 【分析】结合题意由平行得出∠CAF＝∠CED，即可求解． 【解答】解：根据题意得：∠BAC＝60°， ∵∠BAF＝10°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝60°﹣10°＝50°， 由题意得：DE∥AF， ∴∠CAF＝∠CED＝50°（两直线平行，同位角相等）， 故选：C． 【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案． 【解答】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，符合题意； B、∠3＝∠4，根据内错角相等，BD∥AC，不符合题意； C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，不符合题意； D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，不符合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理． 5．在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个红球和3个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出袋子中球的总个数，再求出红球的个数，用红球个数除以总球数即可得到摸出红球的概率． 【解答】解：∵在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个红球和3个黄球， ∴袋子中球的总个数为 1+2+3＝6（个），其中红球有 2 个， ∴随机摸出一个球，摸出红球的概率为． 故选：B． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 6．如图，△ABC中，∠A＝70°，∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，求∠BOC的度数（　　） A．100° B．115° C．102° D．125° 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°， ∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°， 在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 7．如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据三角形全等的判定进行一一判断即可得到答案． 【解答】解：A、其中有一个角相等，两条边相等，但是其中的角不是两条边的夹角，不能证明三角形全等， 故此选项不符合题意； B、180°﹣72°﹣50°＝58°，所以这两个三角形有一个角对应相等，且有两条边对应相等，这个角也是两条边的夹角，可以证明三角形全等， 故此选项符合题意； C、虽然由一个角和两条边对应相等，且角是夹角，但是边不是对应相等的，不能证明三角形全等， 故此选项不符合题意； D、有两个角相等，但边不是对应相等的，不能证明三角形全等， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 8．如图，点E为正方形ABCD的对角线AC的中点，在Rt△FEG中，两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点E作EG⊥DC于点G，EH⊥BC于点H，证明△GEN≌△HEM，得到计算即可． 【解答】解：过点E作EG⊥DC于点G，EH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC，∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，AD⊥CD， ∴EG＝EH， ∴四边形EHCG是正方形， ∴∠HEG＝90°， ∵∠MEN＝90°， ∴∠HEM＝∠GEN＝90°﹣∠MEG， ∴△GEN≌△HEM（ASA）， ∴S△GEN＝S△HEM， ∵AE＝EC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查相似形综合题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠3＝25°，则∠2的度数为（　　） A．60° B．50° C．35° D．25° 【分析】先证明△BAD≌△CAE（SAS）得到∠ABD＝∠3＝25°，再利用三角形外角的性质求解即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC＝35°， 在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠3＝25°， ∴∠2＝∠1+∠ABD＝35°+25°＝60°， 故选：A． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【解答】解：如图， ∵∠A＝65°，∠B＝75°，∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°， ∵将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处， ∴∠C′＝∠C＝40°， ∴∠3＝∠1+∠C′＝70°， ∴∠2＝∠C+∠3＝40°+70°＝110°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是相关定理的熟练掌握． 二．填空题（共6小题） 11．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若射线OF在∠AOE内部，∠EOF＝26°，∠AOF：∠BOD＝3：5，则∠AOC的度数为　40°　 ． 【分析】根据已知可设∠AOF＝3x°，∠BOD＝5x°，再根据垂直定义可得∠EOD＝90°，然后利用平角定义列出关于x的方程，进行计算可得：∠BOD＝40°，最后根据对顶角相等即可解答． 【解答】解：∵∠AOF：∠BOD＝3：5， ∴设∠AOF＝3x°，∠BOD＝5x°， ∵EO⊥CD， ∴∠EOD＝90°， ∵∠AOF+∠EOF+∠EOD+∠DOB＝180°， ∴3x+26+90+5x＝180， 解得：x＝8， ∴∠AOF＝24°，∠BOD＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点O，连接AO．若AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有 　4　 对． 【分析】先证△OAD≌△OAE（AAS），得出AD＝AE，OD＝OE，再证△ADC≌△AEB（ASA），得∠B＝∠C，然后证△AOB≌△AOC（AAS），最后证△BDO≌△CEO（AAS），即可得出答案． 【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°，∠OAD＝∠OAE， 在△OAD和△OAE中， ， ∴△OAD≌△OAE（AAS）， ∴AD＝AE，OD＝OE， 在△ADC和△AEB中， ， ∴△ADC≌△AEB（ASA）， ∴∠B＝∠C， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC（AAS）， 在△BDO和△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO（AAS）， ∴图中的全等三角形共有4对， 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定、角平分线定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 13．如图，一只蚂蚁在△ABC区域内爬行，BD是△ABC的中线，E，F分别为BD，CE的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 　　 ． 【分析】根据“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”求得图中阴影区域的概率． 【解答】解：∵F是CE的中点， ∴S△ACE＝2S△AEF， ∵E是BD的中点， ∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE， ∴S△ACE＝S△ABC， ∴S△AEF＝S△ABC， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了几何概率，三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等． 14．已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　等腰　 三角形． 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而判断出其形状． 【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， ∴b﹣2＝0，c﹣3＝0， 解得：b＝2，c＝3， ∵a为方程|x﹣4|＝2的解， ∴a﹣4＝±2， 解得：a＝6或2， ∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6， ∴a＝6不合题意，舍去， ∴a＝2， ∴a＝b＝2， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键． 15．如图，在长方形ABCD中，AB＝20cm，点E在边AD上，且AE＝12cm．动点P在边AB上，从点A出发以4cm/s的速度向点B运动，同时，点Q在边BC上，以vcm/s的速度由点B向点C运动，若在运动过程中存在△EAP与△PBQ全等的时刻，则v的值为 　4或　 ． 【分析】设运动ts，则AP＝4tcm，BP＝AB﹣AP＝20﹣4t（cm），BQ＝vtcm，由于在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，因此①当AE＝BP，AP＝BQ时，△AEP≌△BPQ（SAS），②当AE＝BQ，AP＝BP时，△AEP≌△BQP（SAS），代入即可求解v的值． 【解答】解：设运动ts，则AP＝4tcm，BP＝AB﹣AP＝20﹣4t（cm），BQ＝vtcm， ∵在长方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°， ∴①当AE＝BP，AP＝BQ，即12＝20﹣4t，4t＝vt时，△AEP≌△BPQ（SAS）， 解得：t＝2，v＝4， 或当AE＝BQ，AP＝BP，即12＝vt，4t＝20﹣4t时，△AEP≌△BQP（SAS）， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或． 【点评】本题主要考查矩形的性质、三角形全等的判定，掌握其性质定理是解决此题的关键． 16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AD上移动，且AD⊥AC则当AP＝　4或8　 时，△ABC和△QPA全等． 【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可． 【解答】解：要使△ABC和△QPA全等， ∵PQ＝AB，∠C＝90°，AC⊥AD， ∴AP＝BC＝4，或AP＝AC＝8， 所以，AP的长为4或8． 故答案为：4或8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键掌握全等三角形对应边相等的性质． 三．解答题（共7小题） 17．计算： （1）； （2）20262﹣2025×2027． 【分析】（1）先算乘方、负整数指数幂，然后算加法； （2）将乘法算式转化成（2026﹣1）×（2026+1），然后运用平方差公式展开，然后去括号，再计算减法． 【解答】解：（1） ＝（﹣8）+1+ ＝﹣8+1+9 ＝2； （2）20262﹣2025×2027 ＝20262﹣（2026﹣1）×（2026+1） ＝20262﹣（20262﹣1） ＝20262﹣20262+1 ＝1． 【点评】本题考查了平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解决本题的关键是熟练运用平方差公式计算． 18．（1）已知，求的值； （2）先化简，再求值：[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a＝2，b＝﹣1． 【分析】（1）将变形，整理即可求得所求式子的值； （2）先化简所求式子，再将a、b的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴（x+）2＝9， ∴x2+2+＝9， ∴x2﹣2+＝5， ∴（x﹣）2＝5； （2）[（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b ＝（4a2+4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b ＝（4ab+2b2）÷2b ＝2a+b， 当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2×2+（﹣1）＝3． 【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19．按下列要求作图： （1）如图（1），已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图（2），已知∠α、∠β和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝a（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）先作一个角等于已知角，即∠MBN＝∠O，在边BN上截取BC＝a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB＝2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求； （2）先作一个已知角使∠PAM＝∠α，在AM上截取AB，使得AB＝a，以B为顶点，以AB为边作角等于∠β，另一边与∠A的一边相交于点C，则△ABC即为所求． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求； （2）如图，△ABC即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 20．如图两个等腰直角△ADC与△EDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，连接AG，CE交于点H． 证明：（1）AG＝CE； （2）AG⊥CE． 【分析】（1）由两个等腰直角△ADC与△EDG，可得AD＝CD，DG＝DE，∠ADC＝∠GDE＝90°，进而得出∠ADG＝∠CDE，然后由SAS即可判定△ADG≌△CDE，进而可得结论； （2）根据全等三角形的性质则可证得∠DAG＝∠DCE，再根据直角三角形的两锐角互余进而证出∠CHA＝90°即可得解． 【解答】解：（1）证明：∵△ADC与△EDG是等腰直角三角形， ∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°， ∴∠ADC+∠CDG＝∠GDE+∠CDG， 即∠ADG＝∠CDE， 在△ADG与△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE； （2）证明：设CD与AG相交于点P，由（1）知，△ADG≌△CDE， ∴∠DAG＝∠DCE， ∵∠ADC＝90°， ∴∠DAG+∠APD＝90°， ∵∠APD＝∠CPH， ∴∠DCE+∠CPH＝90°， ∴∠CHP＝90°， ∴AG⊥CE． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据SAS判定△ADG≌△CDE是解本题的关键． 21．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 a b 0.601 0.599 0.602 （1）表中a＝　0.57　 ；b＝　0.62　 ； （2）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为　0.6　 （精确到0.1）； （3）盒子里约有白球　24　 个； （4）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在50%，请你推测x可能是多少？ 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）观察表格中频率的稳定趋势，取近似值即可得到摸到白球的概率． （3）用总球数乘以摸到白球的概率即可估算白球数量． （4）根据加入球后的频率稳定值得到概率，结合白球数量与总球数列出方程，求解即可得到x的值． 【解答】解：（1）a＝＝0.57，b＝＝0.62， 故答案为：0.57，0.62； （2）由表格数据可知，随着摸球次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近， ∴摸到白球的概率约为0.6． 故答案为：0.6； （3）∵盒子中共有40个球，摸到白球的概率约为0.6， ∴盒子里约有白球40×0.6＝24（个）． 故答案为：24； （4）∵加入x个球后，总球数变为40+x，白球个数变为24+2＝26，且摸到白球的概率为50%， 故可列方程得26＝50%（40+x）， 整理得40+x＝52， 解得x＝12， 答：推测x可能是12． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 22．如图，△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点D为AC上一点，将△ABD沿BD翻折后得到△BDE． （1）如图1，当点E落在BC上时，求∠CDE的度数； （2）如图2，当点E落在BC下方时，DE与BC相交于点F，且DE⊥BC，试说明：BE∥AC； （3）如图3，当点E落在BC下方时，DE与BC相交于点F，连结CE，∠CED的平分线EG交BD的延长线于点G，交AC于点H．若CE∥BG，试判断∠BFE与∠G之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由直角三角形的性质求得∠C＝30°，再由折叠的性质得∠A＝∠BED＝60°，最后根据三角形外角的性质求解即可； （2）由折叠的性质得∠BEF＝∠BAD＝60°，根据直角三角形的性质求得∠EBF＝∠ACB，再根据平行线的判定即可得证； （3）设∠G＝x，由平行线的性质得∠CEG＝∠G＝x，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得∠BDE＝2x，根据折叠的性质得∠ADB＝2x，再利用三角形内角和定理求得∠ABD＝120°﹣2x，进而求得∠BFE＝4x﹣30°即可． 【解答】（1）解：在△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°． ∵将△ABD沿BD翻折后得到△BDE， ∴∠A＝∠BED＝60°， ∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝60°﹣30°＝30°； （2）证明：∵∠A＝60°，将△ABD沿BD翻折后得到△BDE， ∠BEF＝∠BAD＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠BFE＝90°． ∴∠EBF＝90°﹣∠BEF＝90°﹣60°＝30°． ∵∠BCA＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠EBF＝∠ACB， ∴BE∥AC； （3）解：∠BFE＝4∠G﹣30°．理由如下： 设∠G＝x， ∵CE∥BG， ∴∠CEG＝∠G＝x． ∵EG平分∠CED， ∴∠DEG＝∠CEG＝∠G＝x． ∴∠BDE＝2x． ∵∠ADB＝∠BDE， ∴∠ADB＝2x． ∵∠A＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝120°﹣2x， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠ABD＝2x﹣30°． ∴∠BFE＝∠FBD+∠FDB＝4x﹣30°． ∴∠BFE＝4∠G﹣30°． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 23．已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 BD＝AE ，BD，CE与DE的数量关系为 BD+CE＝DE ． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE＝∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD＝AE，CE＝AD，即可解决问题； （2）同（1）得△ABD≌△CAE（AAS），得BD＝AE，CE＝AD，即可得出结论； （3）分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC＝∠BAD+∠ABD+∠BDA＝180°， ∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵∠BDA＝∠AEC，AB＝CA， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵AE+AD＝DE， ∴BD+CE＝DE， 故答案为：BD＝AE，BD+CE＝DE； （2）成立，BD＝AE，BD+CE＝DE，理由如下： 同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∵AE+AD＝DE， ∴BD+CE＝DE； （3）存在，理由如下： 当△DAB≌△ECA时，AD＝CE，BD＝AE＝7cm， ∵AD+AE＝DE＝10cm， ∴CE＝AD＝DE﹣AE＝3cm， ∴t＝＝， ∴x＝3÷＝2； 当△DAB≌△EAC时， ∴AD＝AE＝DE＝5cm，DB＝EC＝7cm， ∴t＝＝，x＝7÷＝， 综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t＝，x＝2或t＝，x＝． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/2 23:08:48；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 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