精品解析：四川南充市嘉陵第一中学2025～2026学年高一下学期第三次学情调研数学试题

高2025级高一下学期第三次学情调研 数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（客观性试题58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 5. 圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，记，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，部分选对得部分分．） 9. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若不同在任何一个平面内，则与异面 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知向量，，，则（     ） A. 的夹角为锐角 B. 若，则 C. 若与垂直，则 D. 在上的投影向量是 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 第Ⅱ卷（主观性试题92分） 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共15分） 12. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为____________． 13. 已知，则__________． 14. 在棱长为的正方体中，为线段上靠近的三等分点，过点、、的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为______. 四、解答题（本大题共5题，77分，要求写出文字说明，过程） 15. 已知复数，（为虚数单位）. （1）当时，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. （1）求A及的周长； （2）求的面积． 17. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． （1）求证平面AEF； （2）若，求多面体的体积 18. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求实数，的值； （2）若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，求m的最小正值； （3）若方程区间上恰有三个实数根，且，求及的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高一下学期第三次学情调研 数学试题 满分：150分考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（客观性试题58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列出方程，即可求解. 【详解】根据题意知，则，解之可得. 故选： 3. 利用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，原三角形的面积， 所以其直观图的面积. 4. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理可得, ，即， 故选：D 5. 圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出母线长，再根据圆锥表面积公式求解即可 【详解】圆锥母线长，表面积 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 7. 在中，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，记，， 所以，，， 所以，即. 8. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简的表达式，由图象经过点，求出，再根据在上恰有2个零点，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知， 的图象经过点，故，即， 而，即，则， 故， 当，时，， 由于在上恰有2个零点，故， 则，实数的取值范围是， 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，部分选对得部分分．） 9. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则与是异面直线 B. 若不同在任何一个平面内，则与异面 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则与是异面直线或相交直线或，故A符合题意； B：由异面直线的定义，若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故B不符合题意； C：若，则与相交或，故C符合题意； D：若，则，而不一定相交，故D符合题意. 故选：ACD 10. 已知向量，，，则（     ） A. 的夹角为锐角 B. 若，则 C. 若与垂直，则 D. 在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算，结合向量夹角、平行、垂直的判定规则，以及投影向量的计算公式逐项分析判断. 【详解】选项A：易知 ，且 ， 说明与不共线，因此两向量夹角为锐角，A正确； 选项B：若，则 ，解得，B正确； 选项C：因为 ，所以 ， 解得 ，C错误； 选项D：投影向量公式为，代入 ， 得 ，D正确. 11. 在中，，，分别为内角，，的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理可判断选项A；根据正弦定理及正弦的二倍角公式可判断选项B；根据正弦定理及余弦定理可判断选项C；根据锐角三角形的特点、余弦函数的单调性及诱导公式可判断选项D． 【详解】在中，. 对于A，若，，，由正弦定理，得， 所以或，此时有两解，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理有，所以，即， 所以有或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，若，则由正弦定理可得， 不妨设，，，其中，则为最大边，所以为最大角， 则由余弦定理有，所以为钝角，即为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则，所以， 因为在上单调递减，所以，故D正确． 第Ⅱ卷（主观性试题92分） 三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共15分） 12. 把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象变换求得，代入求解. 【详解】由题，，所以. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 14. 在棱长为的正方体中，为线段上靠近的三等分点，过点、、的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设截面交棱于点，连接、，由面面平行的性质可知，可知截面为等腰梯形，求出该梯形的高以及上、下底的长，结合梯形的面积公式求解即可. 【详解】设截面交棱于点，连接、，如图所示， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为，由等角定理结合图形可得， 又因为，故为等腰直角三角形，且，， 易知，且，同理可得， 故四边形为等腰梯形，如下图所示： 在平面内分别作，，垂足分别为点、， 因为，，，故四边形为矩形，所以， 在和中，，，， 所以， 所以， 由勾股定理可得， 故截面面积为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5题，77分，要求写出文字说明，过程） 15. 已知复数，（为虚数单位）. （1）当时，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 故，所以. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，. （1）求A及的周长； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，再根据正弦定理求得的值即可； （2）根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因，则， 由余弦定理得，， 因，则. 又因为，由正弦定理 得，又 ，∴. 所以的周长为. 【小问2详解】 由得，， 由（1），所以，得， 故. 17. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． （1）求证平面AEF； （2）若，求多面体的体积 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面. （2）求出四棱锥及三棱柱的体积，再利用割补法求出多面体的体积. 【小问1详解】 取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 18. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求实数，的值； （2）若，且满足， ①求实数的值； ②如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，）求的最小值. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 又，且与不共线，由平面向量基本定理得，. 【小问2详解】 ①因为，，三点共线，所以存在实数使得， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 因为与不共线，所以，解得，. ②由①可知，，且，， 所以， 因为，，三点共线，所以，且，， 所以 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移m个单位长度，所得图象关于y轴对称，求m的最小正值； （3）若方程区间上恰有三个实数根，且，求及的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析式； （2）先根据函数的平移得到函数解析式，再结合正弦型函数的奇偶性求解即可； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出的范围，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以， 所以，又，即，所以，所以， 又因为函数的图象过点，所以，即， 又因为，解得，所以； 【小问2详解】 将函数的图象向右平移m个单位长度，得， 因为此函数图象关于y轴对称，所以， 则，所以时，m取得最小正值，即为； 【小问3详解】 当时，设，则， 由方程在区间上恰有三个实数根， 得方程在区间上恰有三个实数根， 则函数与在上有3个交点， 则的图象如下： 由图可知，，即，则的取值范围为， 且， 即，故， 由图得，，则，即， 即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $