精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

嘉陵一中高2024级高一下第一次月考 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A B. C. D. 4. 设，，，则 A. B. C. D. 5. 在中则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为0 C. 相等向量方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小 10. 的值可能是（ ） A B. 3 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象一条对称轴为直线 C. 当时，在区间上单调递增 D. 存在实数，使得在区间上恰有2023个零点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则________． 13. 若，则__________． 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且，求下列各式值． （1） （2） . 16. 已知. ⑴化简并求函数的最小正周期 ⑵求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合 17. 已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围. 19. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2024级高一下第一次月考 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】. 故选：A 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 故选：B. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 则. 故选：D. 4. 设，，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，可得的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数函数的单调性，可得， ，即， 又由，所以，故选C. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中根据对数函数的单调性和余弦函数的性质，得到的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 在中则值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦值的大小分析可得，进而求，再根据结合两角和差公式运算求解，注意的符号. 【详解】因，即，可知， 且，则， 若，可得； 若，可得； 综上所述：的值为或. 故选：D. 6. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后， 所得函数， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以，，即，， 当时，，所以的最小值为. 故选:A. 7. 把函数图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象的变换规律得出变换后的函数的解析式为，然后求出该函数的对称轴方程，利用赋值法可得出该函数图象的一条对称轴. 【详解】将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， 令，解得， 当时，可得该函数图象的一条对称轴方程为. 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了三角函数图象对称轴的求解，根据图象变换求出变换后的函数解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倍角与半角公式， 将题目化为，因式分解，然后根据三角函数的有界性对的值进行取舍，由此得解. 【详解】解：由，将，代入化简 得， 即，解得（舍去）或， 故选；B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 零向量是没有方向的向量 B. 零向量的长度为0 C. 相等向量的方向相同 D. 同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【解析】 【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误. 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 的值可能是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的不同取值去绝对值即可求解. 【详解】当是第一象限角时，均大于0，； 当是第二象限角时，大于0，小于0，； 当是第三象限角时，小于0，大于0，； 当是第四象限角时，小于0，大于0，； 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 当时，在区间上单调递增 D. 存在实数，使得在区间上恰有2023个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简的表达式，根据正弦函数的周期性可判断A；根据函数图象的对称轴的性质可判断B；结合正弦函数的单调性可判断C；取，结合正弦函数的零点可判断D. 【详解】对于A，， 故 ，即为的一个周期， 说明不是的最小正周期，A错误； 对于B， ， 故图象的一条对称轴为直线，B正确； 对于C，当时，，则， 由于正弦函数在上单调递增，且， 故在上单调递增，且， 此时， 而在上单调递减，则在上单调递增， 故在上单调递增，C正确； 对于D，由A可知即为的一个周期，且的最小正周期为， 故的最小正周期为， 当时，， 当时，，则在上的零点为和， 故当时，恰有个零点， 且第个零点为， 故当时，恰有个零点， 即存在实数，使得在区间上恰有2023个零点，D正确， 故选：BCD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了含型函数的性质，涉及到周期、对称性以及零点问题，综合性较强，解答时要综合应用函数的对称轴性质以及正弦函数的相关性质，进行解答，对于零点个数问题，可取特殊值，结合正弦函数的周期性以及零点进行判断. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题设求得，应用二倍角正弦公式求目标式的值即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 若，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据诱导公式计算． 【详解】， 故答案为：0. 14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数和在上都恰好存在两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围；再由的范围，判断两个零点的值，列不等式求的取值范围，取交集即可. 【详解】当时，， 函数在上的两个零点只能满足或， 所以，解得①． 由题意，得， 当时，． 由①知， 函数在上的两个零点只能满足或， 所以，解得②． 由①②，得的取值范围是． 故答案为： 点睛】关键点点睛： 本题的解题关键是由角的范围，确定函数和在上两个零点的值，进而通过不等式求的取值范围. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，且，求下列各式的值． （1） （2） . 【答案】（1）0； （2）2. 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系可得tan α＝－2，再应用商数关系化简求值即可. （2）应用诱导公式化简求值. 【小问1详解】 因为且， 所以sin α＝－，则tan α＝－2. ＝0； 【小问2详解】 ＝＝－tan α＝2. 16. 已知. ⑴化简并求函数的最小正周期 ⑵求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合 【答案】(1) ,最小正周期 (2) 【解析】 分析】（1）由倍角公式，将函数化简，然后得其最小正周期； （2）由（1）得知函数，根据正弦函数的性质，求得的最值以及此时的取值. 【详解】（1）由题 所以函数的最小正周期 （2）由（1）可知，当是，即时，函数取最大值，最大值为1-1=0, 所以，当 【点睛】被踢考查了三角函数的性质，解题的关键是利用三角恒等变化对函数进行化简，再利用性质，属于基础题. 17. 已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由周期得到，代入对称轴得到，再根据得到A=2，即可得到解析式； （2）根据题意分析可得与有且仅有一个交点，结合正弦函数分析运算. 【小问1详解】 由已知可得，故， 且，解得， 因为直线为图象的一条对称轴，则， 解得，且， 当时满足条件，此时， 则， 又因为，则， 所以. 【小问2详解】 由题意可知， 整理得， 原题意等价于与有且仅有一个交点， 因为，则，且， 可得或，解得或， 所以m的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）若在区间上有且仅有一个解，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助正弦型函数的单调性计算即可得； （2）借助正弦型函数的性质计算即可得； （3）原问题可转化为方程在区间上有且仅有一个解，即可得，即可得解. 【小问1详解】 令，， 解得，， 故的单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，， 则在区间上的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 令，即， 当时，， 即方程在区间上有且仅有一个解， 即，解得， 即的取值范围为. 19. 如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN （1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S； （2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】（1）;（2） 当A在弧MN的四等分点处时，． 【解析】 【详解】（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB， ， ， （2）设 则， ， 即时， ，此时A在弧MN的四等分点处 答：当A在弧MN的四等分点处时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $