精品解析：四川省大竹中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

高一数学试题 满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面向量数量积的定义可得 . 2. 用斜二测画法画一个边长为8的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】斜二测画法中，平面图形沿轴方向长度不变，沿轴方向长度变为原来的一半，并且直角坐标系中的夹角在直观图中画成。因此，若原图中一个矩形面积为，则其直观图面积会缩小为原来的倍.先求原正三角形面积，再乘这个缩放比即可. 【详解】边长为的正三角形面积为 在斜二测画法中：与轴平行的线段长度不变； 与轴平行的线段长度变为原来的一半； 直观图中两坐标轴夹角为， 故直观图的面积变为原来的， 所以该正三角形直观图的面积为 故选C. 3. 在中，已知，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得 . 4. 已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线与所成角. 【详解】在平行六面体中，连接，， 则四边形是平行四边形，，于是是异面直线与所成角或其补角， 由，棱两两的夹角均为， 得都是正三角形，即，则， 所以异面直线与所成角为. 故选：C 5. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 6. 在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 7. 如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 8. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据面积公式即可求解. 【详解】由三角形的面积公式可得， 故，故， 由于为三角形的内角，所以或， 故选：BD 10. 若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面的所有直线都垂直 B. 在平面内存在与直线异面的直线 C. 在平面内存在无数条直线与直线相交 D. 在平面内存在与直线平行的直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义与性质，逐一分析各选项. 【详解】A选项：根据线面垂直的定义，若，则面内的所有直线，A正确； B选项：已知，设，平面内所有不过点的直线均与异面，因此存在无数条这样的直线，B正确； C选项：平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，C正确； D选项：若，则平面内所有直线均与垂直，不可能存在与平行的直线，D错误. 故选：ABC. 11. 在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为定值判断C，点位于或时满足即可判断D. 【详解】对于A，当时，，如图， 所以点为线段的中点，因为， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， ， 同理可得，在等腰中，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P在线段上， 因为平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，故C正确； 对于D，因为，，，取，中点分别为，， 所以点在线段上运动，当点位于或时，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，共15分． 12. 设复数（为虚数单位），则复数的虚部为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念，即可求得复数的虚部，得到答案. 【详解】根据复数的概念，可得复数（为虚数单位）的虚部为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 13. 如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三棱锥的侧面展开图求得正确答案. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 14. 在中，，作交于，若，则为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设基底 ，由垂直得 ，结合在上设参数，利用 列方程解出 ，最后化得代入即得. 【详解】 设，，则，记. 由得. 因为，所以. 点在上，可设. 则，解得. 又 ，故. 计算得，所以. 而，代入得. 两边平方得 ， 即 ，故 ，. 由于. 由得 ，代入得. 因为，所以. 综上，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）求与的夹角余弦值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值. 【小问1详解】 由已知，， 所以. 【小问2详解】 由已知，， 因此由，可得， 解得． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案; （2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 根据正弦定理及， 得. ∵， ∴. ∵， ∴. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， ∵， ∴，即， 当且仅当时取等号. ∴. ∴的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形， ，为的中点，平面. （1）求证：； （2）求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理与性质； （2）通过线面垂直来确定射影，再求出相应的线段长度，从而求线面角的余弦值. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面，所以. 【小问2详解】 如图，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，且 平面， 所以平面. 由（1）得，且，则， 所以平面，又平面，所以. 因为为的中点，且，所以， 又 平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 由且，为的中点，得， 因为平面，所以，故，即， 又因为且，所以， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 18. 如图①，矩形中，，，，分别为，的中点.将四边形沿折起至四边形的位置，如图②. （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影为的中点，求三棱锥的体积； （3）当平面与平面垂直时，作正方体如图③.若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积为. ①若，求； ②求的最大值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）在翻折过程中，,保持不变，结合线面垂直的判定定理即可求出结果； （2）因为平面，通过换顶点即可求出结果； （3）利用正方体的性质，平面沿体对角线运动，①分析可知截面为边长为的等边三角形，进而可以求出面积；②当截面为正六边形时，面积最大，进而可以求出结果. 【小问1详解】 在矩形中，,， 在图②中，,， 且，平面，所以EF⊥平面. 【小问2详解】 设的中点为， 因为点在平面EFCB上的射影为BE的中点，则平面， 且平面，则，可得， 所以. 【小问3详解】 ①连接， 因为，，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为，，可知为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，可得平面平面， 所以平面截该正方体所得图形为边长为的等边三角形，面积为； ②如图所示，分别取的中点， 则，所以四点共面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 且相交，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 所以平面平面， 所以平面与平面平行， 此时截面是边长为的正六边形，且截面过正方体的中心， 根据对称性可知此时面积最大，最大面积. 19. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． （1）在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． （2）如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出线段所对的正四棱柱外接球截面大圆的圆心角，再求出弧长. （2）①根据给定条件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性质确定球心，求出球半径，进而求出球面距离. 【小问1详解】 正四棱柱的外接球直径，球半径， 因此球心与点构成正三角形，弦所对球过的大圆圆心角为，弧长为， 所以顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离为. 【小问2详解】 ①在直角梯形中，，，，， ，，则为正三角形， 在棱锥中，平面，而平面，则， 又，平面，则平面， 而平面，因此，， 在中，，，， 所以点到底面的距离为. ②取中点，则为外接圆圆心，令正的外接圆圆心为， 连接，则，平面，平面， 于是，， 在中，，因此棱锥的外接球半径， 有，球的弦所对大圆的圆心角为， ，即是钝角，而， 则，在大圆中所对劣弧长为， 所以，两点在球上的球面距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 用斜二测画法画一个边长为8的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若直线与平面垂直，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与平面的所有直线都垂直 B. 在平面内存在与直线异面的直线 C. 在平面内存在无数条直线与直线相交 D. 在平面内存在与直线平行的直线 11. 在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（ ） A. 若时，直线与直线的夹角余弦值为 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥的体积为定值 D. 当时，有且仅有一个点，使得 三、填空题：本题共3小题，共15分． 12. 设复数（为虚数单位），则复数的虚部为_______. 13. 如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 14. 在中，，作交于，若，则为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量． （1）求与的夹角余弦值； （2）若，求实数的值． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求A； （2）若，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形， ，为的中点，平面. （1）求证：； （2）求与平面所成角的余弦值. 18. 如图①，矩形中，，，，分别为，的中点.将四边形沿折起至四边形的位置，如图②. （1）求证：平面； （2）若点在平面上的射影为的中点，求三棱锥的体积； （3）当平面与平面垂直时，作正方体如图③.若平面平面，且平面截该正方体所得图形的面积为. ①若，求； ②求的最大值. 19. 球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：球面上两点之间的最短连线的长度，即经过这两点的大圆（经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度．这个弧长就被称作两点的球面距离． （1）在正四棱柱（底面为正方形的直棱柱）中，，，求顶点，在该正四棱柱外接球上的球面距离． （2）如图1，在直角梯形中，，，，．现将沿边折起到，如图2，使得点在底面的射影在上． ①求点到底面的距离； ②设棱锥的外接球为球，求，两点在球上的球面距离． 参考数据：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $