第五章 一元一次方程【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件系统梳理了一元一次方程的定义、解法及应用，通过分节整合认识方程、求解步骤（等式性质、移项、去括号、去分母）和三类应用题（形积、盈不足、行程），结合全章解题口诀构建知识网络，体现知识点间的逻辑递进。 其亮点在于聚焦高频易错点（如去分母漏乘）和解题步骤标准化，设计分层练习（选择、解方程、应用题），如行程问题分相遇追及模型培养数学思维，盈不足问题模板强化模型意识，帮助学生巩固基础提升能力，教师可精准教学。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 章末复习 第五章 一元一次方程 北师大版七年级上册数学 第五章 一元一次方程 全章知识点总结+练习题 第五章 一元一次方程 总目录 5.1 认识方程 5.2 求解一元一次方程（4个小节） 5.3 一元一次方程的应用（3个小节） 5.1 认识方程 1. 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 判断必备两个条件：①有等号（是等式） ②含有字母未知数。 2. 一元一次方程定义（三要素） 只含一个未知数、未知数最高次数为1、等式两边都是整式（分母不含未知数）。 3. 方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 4. 列方程核心 读懂题意，找准等量关系，设未知数列方程。 高频易错点 式子≠方程、等式不一定是方程、分母含未知数不是一元一次方程。 5.2 求解一元一次方程（四大解法） 5.2.1 等式的基本性质 性质1（加减） 等式两边同时加/减同一个数或整式，等式仍然成立。 若$$a=b$$，则$$a\pm c=b\pm c$$ 性质2（乘除） 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 若$$a=b$$，则$$ac=bc$$；$$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c eq0)$$ 5.2.2 移项与合并同类项解方程 1. 移项法则（重中之重） 移项要变号，不移不变号（正变负、负变正）。 移项依据：等式性质1。 2. 解题步骤 移项（未知项左、常数项右）→ 合并同类项（化为$$ax=b$$）→ 系数化为1。 5.2.3 去括号解方程 去括号法则 括号前是“+”，去括号不变号； 括号前是“−”，去括号全部变号； 括号外系数要乘遍括号内每一项，不漏乘。 完整步骤 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 5.2.4 去分母解方程（终极五步） 解一元一次方程标准五步（必考） 1. 去分母：两边同乘分母最小公倍数，所有项都要乘（含常数项），分子多项式加括号； 2. 去括号：注意变号、不漏乘； 3. 移项：移项必变号； 4. 合并同类项：化为$$ax=b$$； 5. 系数化为1：求出$$x$$。 最大易错点 去分母漏乘常数项、分子不加括号导致符号错误。 5.3 一元一次方程的应用（三大必考应用题） 5.3.1 形积问题（等积变形） 核心口诀 形变，总量不变 1. 铁丝围图形：形状变，周长不变； 2. 橡皮泥/铁块熔铸重塑：形状变，体积不变。 必背公式 长方形：$$C=2(a+b),S=ab$$ 正方形：$$C=4a,S=a^2$$ 长/正方体体积：$$V=abc、V=a^3$$ 5.3.2 盈不足问题（分配问题） 核心不变量 人数不变、物品总数不变，用两次分配总数相等列方程。 三类模板 ① 一盈一亏：$$ax+m=bx-n$$ ② 两次都盈：$$ax+m=bx+n$$ ③ 两次都亏：$$ax-m=bx-n$$ 口诀：多就加、少就减。 5.3.3 行程问题 万能公式 $$s=vt\quad v=\frac{s}{t}\quad t=\frac{s}{v}$$ 两大必考模型 1. 相遇问题（相向） 甲路程+乙路程=总路程，同时出发时间相等。 2. 追及问题（同向） 快者路程−慢者路程=路程差，快追慢才能追上。 第五章 全章解题总口诀（考前必背） 解方程：去分去括、移项变号、合并化1 应用题：找不变、找等量、设未知、列方程 第五章 综合练习题 一、选择题 1. 下列属于一元一次方程的是（） A. $$2x+3$$ B. $$2x+3y=5$$ C. $$2x-1=3x$$ D. $$x^2=4$$ 2. 解方程移项的依据是（） A. 等式性质1 B. 等式性质2 C. 乘法分配律 3. 相遇问题的等量关系是（） A. 路程差=总路程 B. 路程和=总路程 C. 速度和=总速度 二、解方程（基础必考） 1. $$3x-2=x+4$$ 2. $$2(x-1)=6$$ 3. $$\frac{x+1}{2}=\frac{x}{3}+1$$ 三、应用题 1. 一根铁丝长48cm，围成一个长方形，长是宽的3倍，求长和宽。（形积问题） 2. 分糖果：每人分4颗多5颗，每人分6颗少3颗，求人数和糖果数。（盈不足） 3. 甲乙两地相距600km，两车相向而行，甲70km/h，乙50km/h，几小时相遇？（行程） 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.B 二、解方程 1. $$3x-2=x+4$$，移项：$$3x-x=4+2$$，合并：$$2x=6$$，$$x=3$$ 2. $$2(x-1)=6$$，去括号：$$2x-2=6$$，移项合并：$$2x=8$$，$$x=4$$ 3. 去分母乘6：$$3(x+1)=2x+6$$，去括号：$$3x+3=2x+6$$，移项得$$x=3$$ 三、应用题 1. 解：设宽为$$x$$cm，长$$3x$$cm。$$2(x+3x)=48$$，$$x=6$$，长18cm，宽6cm。 2. 解：设$$x$$人。$$4x+5=6x-3$$，$$x=4$$，糖果：21颗。 3. 解：设$$x$$小时相遇。$$70x+50x=600$$，$$x=5$$。 本章知识回顾 一元一次方程 概念 方程的解 解方程 认识方程 等式基本性质 同类相、移项 去括号 去分母 一元一次方程的解法 几何图形问题 古代数学问题 行程问题 一元一次方程应用 知识点回顾 在一个方程中，只含有____个未知数，且方程中的代数式都是______，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程. 一 整式 1 使方程左、右两边的值_____的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程称为解方程. 相等 方程的有关概念 下列式子中是一元一次方程的有（ ）. B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ① x + 3 = ； ② 7x = 3； ③ 4x – 3 = 3x + 2； ④ x = 2； ⑤ x + y = 5； ⑥ x2 + 3x = 1. 4 等式的基本性质： 等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式. 等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式. 用字母可以表示 如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c； 如果a=b，那么 ac=bc ， = (c≠0) 解一元一次方程的步骤 步骤 根据 注意事项 去分母 等式的基本性质2 ①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号、去括号 去括号 乘法对加法的分配律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项； ②括号前是“－”号，要变号 移项 移项法则 移项要变号 合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项 未知数的系数化为1 等式的基本性质2 乘分数系数的倒数时不要出错 解一元一次方程 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 读题分析题中已知什么，求什么？有哪些事物在什么方面产生关系？ 设未知数(直接设，间接设)，包括单位名称. 把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程. 解方程，求出未知数的值（x = a） 写出答案 审 列 设 答 解 验 检验所求解是否符合题意 实际问题 数学问题 （一元一次方程） 数学问题的解 （一元一次方程的解） 实际问题的解 抽象 解方程 验证 解释 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 寻找等量关系 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 商场将某种品牌的冰箱先按进价提高50%作为标价，然后打出“八折酬宾，外送100元运装费”的广告，结果每台冰箱仍获利300元，求每台冰箱的进价是多少元. 解：设每台冰箱的进价为 x 元，则标价为x(1+50%)元， 实际售价为x(1+50%)×80%元 由题意得：x(1+50%)×80% – 100 – x = 300 解得，x = 2000 答：每台冰箱的进价是 2000 元. 考点1 一元一次方程及方程的解 1. 已知下列方程： ；； ； ；； . 其中一元一次方程的个数是( ) B A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 若是一元一次方程，则 的值是( ) B A. B. C. 2 D. 4 返回 考试考法 10 3. 如果是方程 的解， 那么 的值是( ) C A. 0 B. 2 C. D. 返回 考试考法 11 考点2 等式的基本性质 4. 下列等式变形，正确的是( ) C A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 返回 考试考法 12 5. 如图所示，两个天平都平衡，则与2个球 体质量相等的正方体的个数为( ) A A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 返回 考试考法 13 考点3 一元一次方程的解法 6. 下列变形，正确的是( ) C A. 由，移项，得 B. 由，去括号，得 C. 由，合并同类项，得 D. 由，去分母，得 返回 考试考法 14 7.解方程： （1） ； 【解】 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 解得 . 考试考法 15 （2） . ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 解得 . 返回 考试考法 16 考点4 一元一次方程的应用 8.某中学学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步 行速度为 ，七（2）班的学生组成后队，步行速度为 ；前队出发 后，后队才出发，同时后队派一名联 络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度 为 . 考试考法 17 （1）后队追上前队需要多长时间？ 【解】设后队追上前队需要 ， 根据题意得，解得 . 所以后队追上前队需要 . （2）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少千米？ ， 所以联络员走的路程是 . 考试考法 18 （3）七（1）班出发多少小时后两队相距 ？ 设七（1）班出发后，两队相距 ， 当七（2）班没有出发时， ； 当七（2）班出发，但没有追上七（1）班时， ，解得 ； 当七（2）班超过七（1）班时， ， 解得 . 所以七（1）班出发或或后，两队相距 . 返回 考试考法 19 9. 将长为1，宽 为 的长方形纸片如 图①那样折一下，剪下一个边长 等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下 的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形 宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若 在第 次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止. 考试考法 20 （1）第一次操作后，剩下的长方 形的两边长分别为_________； （用含 的代数式表示） ， 考试考法 21 （2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，求 的 值，并写出解答过程； 【解】第1次操作后，剩下的长方形的两边长分别是 ， . 若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则 或 ， 解得或 （舍去）. 考试考法 （3）若第三次操作后，剩下的长方 形恰好是正方形，试求 的值. 第二次操作后，剩下的长方形的两 边长分别是， . 若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形， 则或 ， 解得或 . 返回 考试考法 23 思想1 数形结合思想 10.两个完全相同的长方形按如图所示的 方式摆放成“ ”形，则每个长方形的面积 为____. 30 【点拨】设长方形的宽为 ，由题意可得 ，解得 ，所以长方 形的宽为3，长为 ，所以每个长方形的面积为 . 返回 考试考法 24 思想2 分类讨论思想 11.解关于的方程： . 【解】把方程 变形， 得 . 分三种情况： 考试考法 25 （1）当，即 时，方程只有一个解，为 . （2）当且 时，方程有无数个解. 由，得，由，得 . 所以当且 时，方程有无数个解. 考试考法 （3）当且 时，方程无解. 由，得，由，得 . 所以当且 时，方程无解. 对形如“”的方程求解时，应根据， 的取 值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用. . . 返回 考试考法 $