5.3.3行程问题 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决行程问题，涵盖直线与环形跑道的相遇、追及场景。以“龟兔赛跑”故事导入，通过合作探究、线段图分析及变式训练，从基本关系到复杂问题搭建学习支架。 亮点在于以几何直观（线段图）和模型意识（总结等量关系）为核心，结合《九章算术》追及等实例，培养推理与应用能力。采用“问题-图示-方程”教学法，学生提升建模与分类思考能力，教师可借助规范步骤和分层训练提高教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月19日 5.3.3行程问题 第五章 一元一次方程 班级：________ 姓名：________ 得分：________ （时间：40分钟 满分：100分） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 行程问题的基本关系式是（ ） A. 路程 = 速度×时间 B. 速度 = 路程×时间 C. 时间 = 速度×路程 D. 路程 = 速度 + 时间 2. 甲、乙两人从相距120km的两地相向而行，甲的速度是40km/h，乙的速度是20km/h，两人同时出发，经过x小时相遇，下列方程正确的是（ ） A. 40x + 20x = 120 B. 40x - 20x = 120 C. 40x + 20 = 120 D. 20x + 40 = 120 3. 小明以5m/s的速度跑步，小亮以3m/s的速度步行，两人从同一地点同向出发，小明在小亮身后10m处，经过x秒小明追上小亮，可列方程为（ ） A. 5x + 3x = 10 B. 5x - 3x = 10 C. 5x - 3 = 10 D. 5x + 3 = 10 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 行程问题中，相向而行（相遇问题）的核心等量关系：______ + ______ = 总路程；同向而行（追及问题）的核心等量关系：______ - ______ = 路程差。 2. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，经过t小时，行驶的路程为180km，可列方程为______，解得t = ______。 3. 甲、乙两车从同一地点出发，同向而行，甲车速度为70km/h，乙车速度为50km/h，甲车比乙车晚出发1小时，设甲车行驶x小时后追上乙车，可列方程为______。 三、解答题（每题20分，共40分） 1. 甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，A、B两地相距180km，甲每小时行15km，乙每小时行10km，两人同时出发，经过几小时相遇？相遇时甲行驶了多少千米？ 2. 一列快车以120km/h的速度从甲地开往乙地，一列慢车以80km/h的速度从乙地开往甲地，两车同时出发，经过2小时后两车相距40km，求甲、乙两地的距离（分两种情况解答）。 参考答案 一、选择题：1.A 2.A 3.B 二、填空题：1. 甲走的路程，乙走的路程，快者走的路程，慢者走的路程；2. 60t = 180，3；3. 70x = 50(x + 1) 三、解答题： 1. 解：设经过x小时两人相遇，根据相向而行总路程关系列方程。 由题意，得15x + 10x = 180 合并同类项，得25x = 180 解得x = 7.2 相遇时甲行驶的路程：15×7.2 = 108（km） 答：经过7.2小时相遇，相遇时甲行驶了108千米。 2. 解：分两种情况，设甲、乙两地的距离为y km。 情况一：两车未相遇，相距40km，此时两车行驶的总路程 + 40km = 总距离 列方程，得(120 + 80)×2 + 40 = y 解得y = 440 情况二：两车相遇后，继续行驶相距40km，此时两车行驶的总路程 - 40km = 总距离 列方程，得(120 + 80)×2 - 40 = y 解得y = 360 答：甲、乙两地的距离为440km或360km。 （说明：本题围绕行程问题的基本关系式，结合相遇、追及及分类讨论题型，结合一元一次方程解决实际问题，侧重方程建模和分类思考能力培养，难度贴合北师大版七年级“5.3.3行程问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。） 能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题。（重、难点） 进一步领会采用代数方法解应用题的优越性。 经历运用方程解决行程问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识. 假如兔子每分钟跑30m，乌龟每分钟爬1m，它们同时同地同向出发，兔子跑了2min后觉得领先太多，就躺下睡觉了.乌龟出发多久后追上兔子？ 引用故事，导入新课 问题：小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ （1） 问题中有哪些已知量和未知量？ 探究点一：直线行程问题 【合作探究】 （2）想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 解：设爸爸追上小明用了 x min， 小明家 学校 80×5 80x 180x 探究点一：直线行程问题 （3）你是怎样列出方程的？与同伴进行交流。 由题意得 80×5 + 80x = 180x。 解：设爸爸追上小明用了 x min， 解得 x = 4。 180×4 = 720 (m)，1000 - 720 = 280 (m)。 答： 爸爸追上小明用了 4 min。追上小明时，距离学校还有 280 m。 探究点一：直线行程问题 小明家 学校 80×5 80x 180x 找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系。这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系。 【方法总结】 小明家 学校 80×5 80x 180x 探究点一：直线行程问题 变式训练：小明家离学校 2.9 千米，一天小明放学走了 5 分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走 60 米，爸爸骑自行车每分钟骑 200 米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？ 解：设小明爸爸出发 x 分钟后接到小明， 由题意得 200x＋60(x＋5)＝2900. 答：小明爸爸从家出发 10 分钟后接到小明. 解得 x＝10. 探究点一：直线行程问题 200x 米 60(x+5) 米 2.9 千米 A B 【练一练】1. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？ 8x 6x 60 4 A B 8x 6x 60 4 A B 解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得 8x＋6x＝60－4 或 8x＋6x＝60＋4. 解得 x＝4 或 探究点一：直线行程问题 例1 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 探究点二：环形跑道行程问题 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 260 起点 起点 260 260x 300x 260x 300x 追及问题 相遇问题 探究点二：环形跑道行程问题 解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x。 解这个方程，得 x = 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 追及问题 260 起点 260x 300x 探究点二：环形跑道行程问题 （2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇， 根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 - 260。 解这个方程，得 x = 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 起点 260 260x 300x 相遇问题 探究点二：环形跑道行程问题 环形问题中的相等关系： 两个人同地同向而行：追及问题(首次追上)， 甲的行程 － 乙的行程 ＝ 一圈周长。 两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇) 甲的行程 ＋ 乙的行程＝ 一圈周长。 【方法总结】 探究点二：环形跑道行程问题 针对训练：甲、乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度为 360 米/分，乙的速度是 240 米/分.两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？ 解：设 x 分钟后两人第一次相遇， 由题意，得 360x－240x＝400. 解得 所以 ÷400＝5 (圈). 答：两人一共跑了 5 圈. 知识点1 相遇问题 1.李华和赵亮从相距的， 两地同时出发，李华每小时走 ，后两人相遇，设赵亮的速度为 ，所列方程正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 16 2.甲、乙两站间的路程为 ， 一列慢车从甲站开出，每小时行驶 ，一列快车从乙站开出，每 根据题意列方程：______________________。 解得_______。 因此慢车行驶___ 后两车相遇。 小时行驶，快车先开 ，两车相向而行，慢车行驶多少小时后 两车相遇？设慢车行驶后两车相遇，根据下面的示意图单位： 回答问题： 返回 中考考法 17 3.甲、乙两人从， 两地同时出发，甲骑自行车，乙开小汽车，沿同一 路线相向匀速行驶，出发后两人相遇，已知乙比甲每小时快 ， 相遇后经乙到达地，则乙行驶的速度为____ 。 45 返回 中考考法 18 知识点2 追及问题 4.［2024扬州中考改编］《九章算术》 是中国古代的数学专著，是《算经十书》 根据题意列方程为__________________，解得 ____。即速度快的人 追上他需要____ 。 2.5 2.5 中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题， 可理解为：速度快的人每分钟走，速度慢的人每分钟走 ，现 在速度慢的人先走 ，速度快的人去追他。问速度快的人追上他需 要多少分钟？ 设速度快的人追上他需要，根据下面的示意图单位： 回答问题： 返回 中考考法 19 5.（8分）［教材P例3变式］运动场的跑道一圈长 ，小刚练习 骑自行车，平均每分钟骑，小强练习跑步，平均每分钟跑 。 （1）若两人同时同地同向出发，经过多长时间首次相遇？ 解：设两人同时同地同向出发，经过 首次相遇.根据题意，得 。解得 。 答：两人同时同地同向出发，经过 首次相遇。 中考考法 20 （2）若两人同时同地反向出发，经过多长时间首次相遇？ 解：设两人同时同地反向出发，经过 首次相遇.根据题意，得 ,解得 。 答：两人同时同地反向出发，经过 首次相遇。 返回 中考考法 21 知识点3 其他问题 6.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要7天，由乙工程队单独铺设需 要12天。由这两支工程队合作铺设需要 天，根据题意可列方程为_____ ________。 返回 中考考法 22 行程问题 直线行程问题 环形跑道问题 相遇问题 追及问题 相遇问题 追及问题 课堂小结 $