16.3.1．一次函数 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 以一次函数定义与模型应用为核心，分层设计基础巩固、变式应用、综合拓展三阶练习，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|一次函数与正比例函数定义|以选择、填空为主，聚焦概念辨析（如判断一次函数类型）| |变式应用层|定义延伸与简单模型|通过典例变式深化理解（如含参数的一次函数判定）| |综合拓展层|实际情境函数应用|结合生活情境（如汽车剩油、阶梯水费），培养建模能力|

16.3.1．一次函数 一般地，形如y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的形式，叫做一次函数；当b＝0时，一次函数y＝kx(k≠0)也叫正比例函数． 考点1　一次函数的定义 【典例1】已知函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4. (1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？ 解：(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，且m＋1≠0，解得m＝±1. ∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数； (2)根据正比例函数的定义，得 2－|m|＝1，n＋4＝0， 解得m＝1，n＝－4. ∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数． 掌握一次函数和正比例函数的定义是解决本题的关键，但注意正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数不一定是正比例函数． 【变式训练】 1．函数y＝是一次函数吗？如果是，请写出k、b的值；如果不是，试说明理由． 函数y＝是一次函数． 理由：∵y＝＝x－1， ∴属于一次函数，其中k＝，b＝－1. 考点2　从实际问题中抽象一次函数模型 【典例2】一辆汽车油箱内有油48 L，从某地出发，每行2 km，耗油1.2 L，如果设剩油量为y(L)，行驶路程为x(km). (1)写出y与x的关系式； (2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12 L时，行驶了多少千米？ (3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？ 解：(1)y＝－0.6x＋48. (2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27， ∴这辆汽车行驶35 km时，剩油27 L. 当y＝12时，48－0.6x＝12， 解得x＝60. ∴汽车剩油12 L时，这辆汽车行驶了60 km. (3)令y＝0，则0＝－0.6x＋48， 解得x＝80.故这辆汽车在中途不加油的情况下最远能行驶80 km. 列函数关系式的关键是找出等量关系，在函数值的运算中一定要注意取值范围的界定． 【变式训练】 2．把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量(只) 1 2 3 4 5 … 高度(cm) 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度． (1)上述两个变量之间的关系中，碗的数量是自变量，高度是因变量． (2)设这摞碗的数量为x，这摞碗的高度为y. 由表格，可知增加1只碗，高度增加1.2 cm， ∴y＝4＋1.2(x－1)＝2.8＋1.2x， ∴当x＝7时，y＝2.8＋1.2×7＝11.2(cm)， ∴当碗的数量为7时，这摞碗的高度是11.2 cm. 知识点1　一次函数 1．下列关于x的函数是一次函数的是(D) A.y＝ B．y＝ C．y＝x2－1 D．y＝3x 2．下列函数关系式：①y＝－x；②y＝2x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝.其中一次函数的个数是(B) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数y＝(a＋1)x＋a2－1，当a≠－1时，它是一次函数． 知识点2　正比例函数 4．下列关系中的两个量成正比例的是(C) A．从甲地到乙地，所用的时间和速度 B．正方形的面积与边长 C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量 D．人的体重与身高 5．下列函数，是正比例函数的是(C) A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝2x－1 6．已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为－2. 7．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系； (2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的关系； (3)一个长方形的面积是16 cm2，它的一边长y(cm)与邻边长x(cm)的关系． (1)y＝0.2x，y是x的正比例函数； (2)y＝120－40x，y是x的一次函数； (3)y＝，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． 易错易混点　模型概念不熟练导致错误 8．已知y＋a与x－b成正比例关系(其中a、b都是常数). (1)试说明y是x的一次函数； (2)如果x＝－1时，y＝－15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的表达式． (1)∵y＋a与x－b成正比例关系， ∴设比例系数为k，则y＋a＝k(x－b)， 整理，得y＝kx－kb－a，∴y是x的一次函数； (2)把x＝－1时，y＝－15；x＝7时，y＝1分别代入y＝kx－kb－a，得 解得 则该一次函数的表达式为y＝2x－13. 9．若函数y＝(3－m)xm2－8是正比例函数，则常数m的值是(D) A．－ B．± C．±3 D．－3 10．已知函数y＝xa2－8＋3是一次函数，则a的值是(B) A．±3 B．3 C．－3 D．1 11．一次函数y＝kx＋3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为(C) A．2 B．－2 C．－1 D．4 当x＝a时，y＝ka＋3，当x＝a＋2时，y＝k(a＋2)＋3，∵ka＋3－[k(a＋2)＋3]＝2，∴ka＋3－(ka＋2k＋3)＝2，∴－2k＝2，∴k＝－1. 12．定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数，若特征数为[t，t＋3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为y＝－3x． 根据题意，特征数为[t，t＋3]的一次函数表达式为y＝tx＋(t＋3).因为此一次函数为正比例函数，所以t＋3＝0，解得t＝－3.故正比例函数为y＝－3x. 13．一盘蚊香长105 cm，点燃时每小时缩短10 cm. (1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式； (2)该蚊香可燃烧多长时间？ (1)∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度， ∴y＝105－10t. (2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y＝0， ∴105－10t＝0，解得t＝10.5， ∴该蚊香可燃烧10.5 h． 14．已知函数y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3? (1)由y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7是一次函数，得 解得m＝－2. 故当m＝－2时，y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7是一次函数； (2)当y＝3时，3＝－4x＋5， 解得x＝，故当x＝时，y的值为3. 15.(应用意识)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费y元． (1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式； (2)若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨． (1)当x≤20时，y＝2.5x；当x＞20时，y＝3.3(x－20)＋50＝3.3x－16. (2)∵该户4月份水费平均为每吨2.8元， ∴该户4月份用水超过20吨．设该户4月份用水a吨，得2.8a＝3.3a－16，解得a＝32. 答：该户4月份用水32吨． 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.1．一次函数 一般地，形如 (k、b为常数，k≠0)的形式，叫做一次函数；当b＝ 时，一次函数y＝kx(k≠0)也叫 ． 考点1　一次函数的定义 【典例1】已知函数y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4. (1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？ 掌握一次函数和正比例函数的定义是解决本题的关键，但注意正比例函数是特殊的一次函数，而一次函数不一定是正比例函数． 【变式训练】 1．函数y＝是一次函数吗？如果是，请写出k、b的值；如果不是，试说明理由． 考点2　从实际问题中抽象一次函数模型 【典例2】一辆汽车油箱内有油48 L，从某地出发，每行2 km，耗油1.2 L，如果设剩油量为y(L)，行驶路程为x(km). (1)写出y与x的关系式； (2)这辆汽车行驶35 km时，剩油多少升？汽车剩油12 L时，行驶了多少千米？ (3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米？ 列函数关系式的关键是找出等量关系，在函数值的运算中一定要注意取值范围的界定． 【变式训练】 2．把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量(只) 1 2 3 4 5 … 高度(cm) 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)求当碗的数量为7时，这摞碗的高度． 知识点1　一次函数 1．下列关于x的函数是一次函数的是( ) A.y＝ B．y＝ C．y＝x2－1 D．y＝3x 2．下列函数关系式：①y＝－x；②y＝2x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝.其中一次函数的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数y＝(a＋1)x＋a2－1，当a 时，它是一次函数． 知识点2　正比例函数 4．下列关系中的两个量成正比例的是( ) A．从甲地到乙地，所用的时间和速度 B．正方形的面积与边长 C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量 D．人的体重与身高 5．下列函数，是正比例函数的是( ) A．y＝ B．y＝x2 C．y＝2x D．y＝2x－1 6．已知正比例函数为y＝mx|m+1|，则m的值为 . 7．写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数． (1)每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系； (2)汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，汽车距天津的路程y(千米)与行驶时间x(小时)的关系； (3)一个长方形的面积是16 cm2，它的一边长y(cm)与邻边长x(cm)的关系． 8．已知y＋a与x－b成正比例关系(其中a、b都是常数). (1)试说明y是x的一次函数； (2)如果x＝－1时，y＝－15；x＝7时，y＝1，求这个一次函数的表达式． 9．若函数y＝(3－m)xm2－8是正比例函数，则常数m的值是( ) A．－ B．± C．±3 D．－3 10．已知函数y＝xa2－8＋3是一次函数，则a的值是( ) A．±3 B．3 C．－3 D．1 11．一次函数y＝kx＋3的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为( ) A．2 B．－2 C．－1 D．4 12．定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数，若特征数为[t，t＋3]的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ． 13．一盘蚊香长105 cm，点燃时每小时缩短10 cm. (1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式； (2)该蚊香可燃烧多长时间？ 14．已知函数y＝(m－2)x3-|m|＋m＋7. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3? 15.(应用意识)某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费y元． (1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式； (2)若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水多少吨． 学科网（北京）股份有限公司 $