期末复习核心突破篇 第二十一章四边形 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第二十一章------四边形 一、 四边形及多边形基础 1. 多边形内角和与外角和 内角和公式：n边形的内角和等于 (n-2)×180°​ 。 外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°​ 。 2. 对角线公式：从n边形的一个顶点可引出 (n-3)​ 条对角线；n边形共有 条对角线。 3..正多边形：每个内角 = (n-2)×180°/n；每个外角 = 360°/n。 考点：已知边数求内角和；已知内角和求边数；正多边形相关计算；截去一个角后边数变化问题。 二、 平行四边形（核心基础） 1. 性质（从边、角、对角线三个维度记忆） 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分。 对称性：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 2. 判定（5种常用方法） 定义法：两组对边分别平行。 两组对边分别相等。 一组对边平行且相等。 对角线互相平分。 两组对角分别相等。 3. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。平行线间的距离处处相等。 三、 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 这部分是本章的重中之重，需熟练掌握它们与平行四边形的关系（包含关系）及各自的特性。 图形 定义（前提） 特殊性质（在平行四边形基础上增加） 常用判定方法 矩形​ 有一个角是直角的平行四边形 1. 四个角都是直角。 2. 对角线相等。 1. 定义法。 2. 对角线相等的平行四边形。 3. 有三个角是直角的四边形。 菱形​ 有一组邻边相等的平行四边形 1. 四条边都相等。 2. 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3. 面积公式：S = 底×高 = 对角线乘积的一半 1. 定义法。 2. 对角线互相垂直的平行四边形。 3. 四条边都相等的四边形。 正方形​ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是特殊的矩形，也是特殊的菱形） 同时具有矩形和菱形的所有性质： 1. 四条边相等，四个角都是直角。 2. 对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 1. 定义法。 2. 有一组邻边相等的矩形。 3. 有一个角是直角的菱形。 4. 对角线垂直平分且相等的四边形。 关系图：平行四边形 → (增加一个直角) → 矩形 → (增加一组邻边相等) → 正方形；平行四边形 → (增加一组邻边相等) → 菱形 → (增加一个直角) → 正方形。 四、 其他重要定理 1. 三角形的中位线定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 应用：证明线段平行或倍分关系，是解决中点问题的核心工具。 2. 直角三角形斜边上的中线性质 · 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 · 应用：常与矩形性质（对角线相等且互相平分）结合考查 五、 综合应用与常考题型（能力提升） 1. 性质与判定的综合证明 核心逻辑：证明一个四边形是特殊图形，通常需要两步走：先证明它是平行四边形，再添加一个特殊条件（直角、邻边相等、对角线特性）证明它是矩形、菱形或正方形。 易错警示：避免判定条件不充分。例如，“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，必须加上“平行四边形”的前提。 2. 与全等三角形、勾股定理的综合 特殊四边形的性质（如对角线互相平分、垂直、相等）常用来构造全等三角形。 在矩形、正方形中，常结合勾股定理进行线段长度的计算。 3. 折叠（轴对称）问题 抓住折叠前后图形全等（对应边、角相等），将条件集中到某个特殊四边形或直角三角形中，利用方程思想求解。 4. 动点与存在性问题 在平面直角坐标系中，判断或求解使点构成平行四边形、矩形、菱形、正方形的点的坐标。常用方法：利用对角线中点坐标公式或平移坐标规律，并注意分类讨论。 5. 最值问题 常与“将军饮马”模型结合，利用对称性转化线段和，再结合特殊四边形的性质（如菱形的对称性）求解。 6. 阅读理解与新定义问题 根据材料中给出的新四边形（如“等邻边四边形”）定义，进行相关的证明与计算。 总结与建议：复习本章，关键在于构建清晰的知识网络，理解从一般四边形到平行四边形，再到矩形、菱形、正方形的逐级特殊化关系。务必区分性质定理（“是什么”，用于推导结论）和判定定理（“怎么证”，用于证明图形）。多做综合性证明题，规范书写步骤，并熟练掌握将四边形问题转化为三角形问题（通过连接对角线、作高等辅助线）的转化思想 1. 多边形内角和与外角和 1．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 3．镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2. 平行四边形的性质与判定 5．如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 6．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．7 7．如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 8．已知：中，，如图所示，现将沿所在直线平移至，使，点D为上一点，且，连接与交于点P，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 3. 矩形的性质与判定 9．如图，在矩形中，延长至点，连接，交于点是的中点，连接，且，若，求的长． 10．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 11．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)已知是的平分线，若，则□的面积为______． 12．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 4. 菱形的性质与判定 13．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 15．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 16．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 5. 正方形的性质与判定 17．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 18．如图1，正方形中，分别为上的点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点为的中点，交于点，连接．求证： 19．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 20．如图，四边形 和四边形都是正方形． (1)求证：． (2)若 请直接写出正方形的边长为 ． 6. 三角形的中位线 21．根据题意解答下列问题： (1)【问题背景】三角形中位线定理：如图1，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系：______． (2)【实际应用】证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图2，在中，，，．求证：与互相平分． 22．如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 24．如图，是的中点，，交于点，，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接．求的长． 7. 直角三角形斜边上的中线性质 25．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 26．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 27．如图，在中，，、分别在线段的延长线和反向延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积 28．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 8. 四边形中综合问题 29．综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 30．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，求EF的长． 31．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 32．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师将矩形按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形． (1)请解答老师提出的问题：试猜想与的数量关系，并加以证明． 【实践探究】 (2)小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，， ①试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②若点为的中点，连接，求的长； 【问题解决】 (3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为三角形内部折痕上一点，若，，，请直接写出线段的长． 1. 混淆各种四边形的定义与包含关系 1．下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 2．如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 2. 混淆“性质”与“判定”的用法 3．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 3. 证明与推理中的逻辑错误 5．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 6．如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 二、 分层突破专练 一、 核心考点详解 三、 易错点剖析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末复习核心突破篇 第二十一章------四边形（解析版） 一、 四边形及多边形基础 1. 多边形内角和与外角和 内角和公式：n边形的内角和等于 (n-2)×180°​ 。 外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°​ 。 2. 对角线公式：从n边形的一个顶点可引出 (n-3)​ 条对角线；n边形共有 条对角线。 3..正多边形：每个内角 = (n-2)×180°/n；每个外角 = 360°/n。 考点：已知边数求内角和；已知内角和求边数；正多边形相关计算；截去一个角后边数变化问题。 二、 平行四边形（核心基础） 1. 性质（从边、角、对角线三个维度记忆） 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分。 对称性：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 2. 判定（5种常用方法） 定义法：两组对边分别平行。 两组对边分别相等。 一组对边平行且相等。 对角线互相平分。 两组对角分别相等。 3. 两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。平行线间的距离处处相等。 三、 特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形） 这部分是本章的重中之重，需熟练掌握它们与平行四边形的关系（包含关系）及各自的特性。 图形 定义（前提） 特殊性质（在平行四边形基础上增加） 常用判定方法 矩形​ 有一个角是直角的平行四边形 1. 四个角都是直角。 2. 对角线相等。 1. 定义法。 2. 对角线相等的平行四边形。 3. 有三个角是直角的四边形。 菱形​ 有一组邻边相等的平行四边形 1. 四条边都相等。 2. 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 3. 面积公式：S = 底×高 = 对角线乘积的一半 1. 定义法。 2. 对角线互相垂直的平行四边形。 3. 四条边都相等的四边形。 正方形​ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（既是特殊的矩形，也是特殊的菱形） 同时具有矩形和菱形的所有性质： 1. 四条边相等，四个角都是直角。 2. 对角线相等、互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 1. 定义法。 2. 有一组邻边相等的矩形。 3. 有一个角是直角的菱形。 4. 对角线垂直平分且相等的四边形。 关系图：平行四边形 → (增加一个直角) → 矩形 → (增加一组邻边相等) → 正方形；平行四边形 → (增加一组邻边相等) → 菱形 → (增加一个直角) → 正方形。 四、 其他重要定理 1. 三角形的中位线定理 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 应用：证明线段平行或倍分关系，是解决中点问题的核心工具。 2. 直角三角形斜边上的中线性质 · 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 · 应用：常与矩形性质（对角线相等且互相平分）结合考查 五、 综合应用与常考题型（能力提升） 1. 性质与判定的综合证明 核心逻辑：证明一个四边形是特殊图形，通常需要两步走：先证明它是平行四边形，再添加一个特殊条件（直角、邻边相等、对角线特性）证明它是矩形、菱形或正方形。 易错警示：避免判定条件不充分。例如，“对角线互相垂直的四边形”不一定是菱形，必须加上“平行四边形”的前提。 2. 与全等三角形、勾股定理的综合 特殊四边形的性质（如对角线互相平分、垂直、相等）常用来构造全等三角形。 在矩形、正方形中，常结合勾股定理进行线段长度的计算。 3. 折叠（轴对称）问题 抓住折叠前后图形全等（对应边、角相等），将条件集中到某个特殊四边形或直角三角形中，利用方程思想求解。 4. 动点与存在性问题 在平面直角坐标系中，判断或求解使点构成平行四边形、矩形、菱形、正方形的点的坐标。常用方法：利用对角线中点坐标公式或平移坐标规律，并注意分类讨论。 5. 最值问题 常与“将军饮马”模型结合，利用对称性转化线段和，再结合特殊四边形的性质（如菱形的对称性）求解。 6. 阅读理解与新定义问题 根据材料中给出的新四边形（如“等邻边四边形”）定义，进行相关的证明与计算。 总结与建议：复习本章，关键在于构建清晰的知识网络，理解从一般四边形到平行四边形，再到矩形、菱形、正方形的逐级特殊化关系。务必区分性质定理（“是什么”，用于推导结论）和判定定理（“怎么证”，用于证明图形）。多做综合性证明题，规范书写步骤，并熟练掌握将四边形问题转化为三角形问题（通过连接对角线、作高等辅助线）的转化思想 1. 多边形内角和与外角和 1．如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理和平行线的性质，根据垂直的定义可得，结合内角和定理求得的度数，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 3．镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 4．如图，，，，是六边形的四个外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的外角和为360度和三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴. 2. 平行四边形的性质与判定 5．如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】由作图可知平分，结合平行四边形的性质推出，进而证得，最后利用求解． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图及等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理是解题的关键． 7．如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先中，由可以得到，又因为是等边三角形，，由此得到，并且，然后即可证明，再根据全等三角形的性质即可证明，根据是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形； （2）直接利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出各边长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， 又∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故四边形的周长为：． 8．已知：中，，如图所示，现将沿所在直线平移至，使，点D为上一点，且，连接与交于点P，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平移的性质可得，且，同时，，再利用平行线的性质、角的和差以及“边角边”即可证明结论； （2）如图：设与相交于G，先根据全等三角形的性质、平行线的判定与性质可证明是等腰直角三角形可得，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵将沿所在直线平移至， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴ ∵，， ∴． 又∵． ∴． （2）解：如图：设与相交于G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 3. 矩形的性质与判定 9．如图，在矩形中，延长至点，连接，交于点是的中点，连接，且，若，求的长． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵为的中点，， ． ， ． 在中，， ． 10．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知得是的中位线，则，再由，，得，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再由两个内角为直角即可得出结论； （2）先根据中位线的性质得，由中点的定义得，由矩形的性质得，，即可由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）知，是的中位线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 11．如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)已知是的平分线，若，则□的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形． (2）根据边角的关系，得到，再根据S行四边形进行计算． 【详解】（1）证明： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形及矩形判定，角平分线的性质，勾股定理及平行四边形面积计算，能够熟练运用平行四边形的性质是解题关键． 12．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2； （2）根据平行四边形的性质与AB=AC证得AC=ED，根据全等三角形的判定定理即可证得结论； （3）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠2， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠B=∠1， ∴∠1=∠2； （2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=ED， ∵AB=AC， ∴AC=ED， 在△ADC和△ECD中， ， ∴△ADC≌△ECD（SAS）； （3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下： ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AE∥BC， ∵D为边长BC的中点， ∴BD=CD， ∴AE=CD，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵△ADC≌△ECD， ∴AC=DE， ∴四边形ADCE是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等． 4. 菱形的性质与判定 13．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，利用平行线得出内错角相等，得出，根据等角对等边得出，根据菱形的定义即可得出结论； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴． 14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再由平行线的性质结合角平分线的性质得到，等角对等边可得，即可得证； （2）由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 15．如图，中，平分交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 16．如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过对角线互相平分证四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证该平行四边形有一个直角，从而得矩形； （2）由矩形性质得菱形边长，结合菱形内角条件，用直角三角形性质和勾股定理求对角线长，再用菱形面积公式计算． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知：四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得： ， ∴，， ∴菱形的面积为：． 5. 正方形的性质与判定 17．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 18．如图1，正方形中，分别为上的点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点为的中点，交于点，连接．求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，进而得到，由此得证； （2）过点作交于点，可证出，得，解直角三角形即可得证； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点， ∴， ∴ ∵，为的中点，， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ． 19．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可证，可求，即可求解； （2）设，，由即可求解； 【详解】（1）解：， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：设， ， ， ， 平分， ， ． 20．如图，四边形 和四边形都是正方形． (1)求证：． (2)若 请直接写出正方形的边长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再根据证明即可得出结论； （2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，由可求出，运用勾股定理可得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵，， 又， ∴， ∴， 在中，． 即正方形的边长为． 6. 三角形的中位线 21．根据题意解答下列问题： (1)【问题背景】三角形中位线定理：如图1，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系：______． (2)【实际应用】证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图2，在中，，，．求证：与互相平分． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）直接根据中点的定义及三角形中位线定理作答即可； （2）根据三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，可知与互相平分． 【详解】（1）解：∵点D，E分别是边，的中点， ∴，； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． ∴与互相平分． 22．如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、，交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】连接、，根据题意，是的中位线，则，，进而得到，，因此四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得． 【详解】证明：如图，连接、， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得； (2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是关键． （1）作平行四边形并利用平行四边形的性质进行作点E即可； （2）利用三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质进行作图即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）所作图形如图所示： 24．如图，是的中点，，交于点，，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，连接．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【详解】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 7. 直角三角形斜边上的中线性质 25．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 26．如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 27．如图，在中，，、分别在线段的延长线和反向延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的面积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，进一步证明可得结论； （2）过点作于，证明，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：过点作于， ∵，，， ∴，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ∴， ,， ． 28．如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 8. 四边形中综合问题 29．综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 30．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，求EF的长． 【答案】 【分析】先根据折叠的性质得，，，，则，，再作于，由于，，则可判断四边形为矩形，所以，，然后在中，利用勾股定理计算出，所以． 【详解】解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处， ∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3， ∴DC=2EF，AB=5， 作AH⊥BC于H， ∵ADBC，∠C=90°， ∴四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理，矩形的性质与与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 31．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义并灵活运用勾股定理是解题的关键． 32．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师将矩形按如图①所示方式折叠，使点与点重合，点的对应点为，折痕为，若为等边三角形． (1)请解答老师提出的问题：试猜想与的数量关系，并加以证明． 【实践探究】 (2)小明受到此问题启发，将纸片按如图②所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，， ①试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②若点为的中点，连接，求的长； 【问题解决】 (3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在中，将折叠，使点与点重合，点为三角形内部折痕上一点，若，，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，理由见解析． (2)①为等腰直角三角形，理由见解析．   ② (3) 【分析】（1）设，可求得，，进而求得，即可求得答案． （2）①根据图形折叠的性质可求得，，进而可求得答案；②求得，的长度，根据勾股定理即可求得答案． （3）当点在内部时，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，，先证得，进而证得四边形为正方形，设，根据可求得的值，进而可求得答案． 【详解】（1）． 理由如下： 证明：∵为等边三角形，四边形是矩形， ∴，， ∴． 设． 在 中 ， ． ∵矩形沿折叠， ∴． ∴． ∵四边形 是矩形， ∴． ∴． （2）解：①为等腰直角三角形． 理由如下： ∵沿折叠，点与点重合， ∴是线段的垂直平分线，． ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ②由①可知：． ∵点是的中点， ∴． ∴． （3）解：当点在内部时：      如图所示，过点作于点，折痕为直线，点为折痕上一点，过点作于点，作于点，连接，，． ∵， 两点关于折痕对称，， ∴，． ∴． ∵，， ∴点为的中点． ∴． ∴． ∵，，， ∴四边形为矩形，． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴四边形为正方形． ∴． 设． ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 1. 混淆各种四边形的定义与包含关系 1．下列四边形是矩形的是（   ） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．对角线互相平分且相等的四边形 D．对角线互相垂直的平行四边形 【答案】C 【详解】解：选项A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A错误； 选项B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误； 选项C、初中矩形判定定理明确：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合判定规则，故C正确； 选项D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D错误． 2．如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 【答案】C 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 2. 混淆“性质”与“判定”的用法 3．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 4．如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】先说明四边形为平行四边形，再由翻折可得，进而得到，再解直角三角形即可． 【详解】在中，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又沿折叠，点B落在平面内的点G处， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ． 3. 证明与推理中的逻辑错误 5．如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可求证； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合等腰三角形的性质可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵、分别是边、中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵点是边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 6．如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可得到结论； （2）根据与的周长差为7结合勾股定理可得，证明四边形是平行四边形，得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形．            ∵在中，，点D是的中点， ∴．                             ∴四边形是菱形． （2）解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积． 二、 分层突破专练 三、 易错点剖析 一、 核心考点详解 学科网（北京）股份有限公司 $