25.3.1几何图形问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦几何图形问题与一元二次方程的应用，课堂导入先系统复习直角三角形、正方形等图形面积公式，再通过长方形铁皮截小正方形制容器的问题，搭建从面积公式到方程建模的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以“数学眼光”观察几何问题，通过例2多种设元方法培养“数学思维”的推理与运算能力，知识归纳强调转化思想体现“数学语言”的模型意识。如例2用不同设元列方程，课堂小结检验结果合理性，帮助学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 新课导入 直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式又是什么？ S = (a、b为两条直角边长) S = ah (a为三角形的底，h为这条底对应的高) 2 正方形的面积公式是什么？ 长方形的面积公式又是什么？ 正方形的面积 = 边长 × 边长 长方形的面积 = 长 × 宽 梯形的面积公式是什么？ S = (a为上底，a为下底，h为高) 菱形的面积公式是什么？ 平行四边形的面积公式是什么？ 圆的面积公式是什么？ ① S = ah (a底，h为这条底对应的高) ② S = d1d2 (d1和d2为菱形对角线) S = ah (a为底边长度，h为这条底边对应的高) S = πr2 (π为圆周率，r为圆的半径) 如图，(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是__________，高是_________，体积是_________． 24cm2 2cm 48cm3 (2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是___________________，高是_________，体积是_______________________． (10－2x)(8－2x)cm2 x cm x(10－2x)(8－2x)cm3 探究新知 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x十1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2+(x+1)2 = (x+2)2. 解方程，得 x1=3，x2=−1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域, 则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为xm，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解。 解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为（20−x）m；再由矩形的面积为96m2，得 解方程，得 x1=12，x2=8 . x（20−x）=96. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12 m. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 思考： 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如： （1）可设一边长为xm，那么其邻边长为m; （2）可设一边长为（10+x）m，那么其邻边长为（10−x）m. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点。 （1）可设一边长为xm，那么其邻边长为m; 解： x + = 20 . x2 + 96 = 20x , x2− 20x + 96 = 0 , 解得 x1=12，x2=8 . x =8 时，另一边 =12； x =12 时，另一边=8. （2）可设一边长为（10+x）m，那么其邻边长为（10−x）m. 解：(10+x)(10−x)=96 100 − = 96, = 4, 解得 x1=2，x2=−2 . x =2 时，边长 ：12m、8m； x = −2 时，边长 ：8m、12m. 知识归纳 1．直接利用面积公式列一元二次方程解决问题时，要熟记各种常见几何图形的面积公式． 2．对于不规则图形的面积或周长问题，一般通过平移、割补等方法转化为规则图形，然后列方程求解，和周长有关的问题中，平移或割补之后注意边是否存在重复或遗漏． 例 1 例题与练习 有一根10 m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6 m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．(用一元二次方程的知识解决) 解：设围成的矩形的长为x m，则宽为(5－x)m. 根据题意，得x(5－x)＝6. 解得x1＝2，x2＝3. 此时5－x＝3或5－x＝2. 答：这个矩形的长为3 m，宽为2 m． 例 2 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A出发，沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2 ? 解：设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2， 则AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm. 根据题意，得×(6－x)×2x＝8. 整理，得x2－6x＋8＝0， 解这个方程，得x1＝2，x2＝4. 所以P，Q同时出发，2 s或4 s后可使△PCQ的面积为8 cm2. 1. 如图，要为长22 cm，宽29 cm的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一, 相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？ 解：设相框边的宽度为 x cm， (22+2x)(29+2x) = 797.5 整理，得 4x2＋102x−159.5＝0. 此时 a=4，b=，c=−159.5， 所以 Δ= b2－4ac = 24×4×(−159.5) = 12956. 所以 x = ≈ ， 因为x取正值， x= 2. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 解：设斜边长为 x， 则一条直角边长x−1，另一条直角边长x−8 . 可列方程：(x−1) 2 +(x−8)2 = x 2 整理，得 x2 − 18x + 65 ＝0. 解这个方程，得x1＝5，x2＝13. 当 x = 5时， 边长不能为负数，舍去 直角边：5−1=4,  5−8=−3 当 x = 13时， 直角边：13−1=12,  13−8=5 由勾股定理a2+b2=c2得 52 +122 =25+144=169=132 所以这样的直角三角形存在，只有 1 个. 3. 如图，要设计一幅宽20cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？ 解: 设横彩条的宽度为3xcm, 则空白部分的长：30−2×2x = 30−4x 空白部分的宽：20−2×3x = 20−6x 图案总面积：30×20 = 600 cm2 所以空白部分面积：600×(1− ​ )=450 cm2 因此可列方程：(30−4x)(20−6x)=450 整理，得 12x2 − 130x + 75 ＝0. 竖彩条的宽度为 2xcm . 此时 a=12，b=130，c=， 所以 Δ= b2－4ac=(130)24×12×75 = 13300 x＝ = ≈ 即 x1 ≈ 10.22 . 横彩条宽度：3x ≈ 3×0.61 ≈ 1.8 cm 竖彩条宽度：2x ≈ 2×0.61 ≈ 1.2 cm 4．在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是 (　 　) A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2＋65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x2－65x－350＝0 B 课堂小结 1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系． 2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验． 随堂检测 1. 怎样用一根长为40 m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101 m2的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解: 细绳长40m，即矩形周长 40m , 长+宽= 20m . 设矩形一边长为xm，则另一边长为(20−x)m . ① 围成面积 75m2 列方程：x (20−x) = 75 , 方程可化为：x2 − 20x + 75 = 0 . 因式分解，得：(x − 5 ) (x − 15) = 75 解得：x1＝5，x2＝15. 所以能围成面积75m2的矩形区域，矩形两边为5m和15m . ②围成面积 101m2 列方程：x (20−x) = 101 , 方程可化为：x2 − 20x + 101 = 0 . 所以不能围成面积101m2的矩形区域 . 此时 a=1，b= − 20，c=101， Δ= b2－4ac = (− 20)24×1×101 = −4 < 0. 方程无实数根 2. 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4， AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角？ 解: 设AE = x，则 EB = 4−x . 在矩形 ABCD 中， AD=1，CD=4，∠A=∠B=90° 根据勾股定理得： DE2 =AD2 +AE2 =12+x2 =1+x2 CE2 =BC2 +EB2 =12+(4−x)2 =1+(4−x)2 若 ∠DEC = 90°，则△DEC为直角三角形，且 DC为斜边，满足：DE2 + CE2 = DC2 . 已知DC = 4，代入得： 1+x2 +[1+(4−x)2 ]= 42 . 方程可化为：x2 − 4x + 1 = 0 . 此时 a=1，b= −4，c=1， Δ= b2－4ac = (− 4)24×1×1 = 12 > 0. x＝ = = 2 ， 即 x1 =. 两个解都满足0<x<4，因此AB上是否存在点E . 作业布置 (1)教材P28　复习题25第9题； (2)对应课时练习． $