25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍中考】2026-2027学年九年级上册数学同步教学优质课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习一般形式及求根公式，引导学生观察公式特点，逐步推导两根之和与积的关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过问题链引导探究，结合求根公式推导与因式分解验证两种方法培养推理能力，例题涵盖已知根求参数、代数式变形等类型提升运算能力。总结常用变形公式形成知识体系，既助学生深化理解，又为教师提供结构化教学资源。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 RJ 9年级上册 学习目标及重难点 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 前 言 复习回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗？ 讲授新课 思考：观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系, 你能获得什么启发？ 探索一：一元二次方程的根与系数的关系 整体上看，两个根分别是“”和“”的形式，而且式子“”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“”，相乘可以去掉“”中的根号，从而使形式简洁. 讲授新课 思考：观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系, 你能获得什么启发？ 讲授新课 思考：观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系, 你能获得什么启发？ 讲授新课 由此得出，一元二次方程 的两个根为与其系数 有如下关系： 思考：观察求根公式 ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系, 你能获得什么启发？ 这种表示方式中，交换 的位置，不影响它们的和、积的值. 随着后续的学习，研究一元 次方程的根与系数的关系时，我们会认识到这种表示更具一般性. 讲授新课 () , 上述关系还可以用如下方法得出. 即 = 由此可得 , 由此 ， 这个关系通常称为韦达定理. 讲授新课 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他是第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 韦达（1540－1603） 讲授新课 例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： (1) ； (2) ； (3) . 解：(1) (2) (3) 方程化为 讲授新课 例2: 已知关于 的方程 有两个根，其中一个根是 ，求它的另一个根及 的值. 解: 设方程的另一个根是 ，则 解方程组，得 所以方程的另一个根为 ，的值为7. 本题还有其他解法吗？ 讲授新课 解：把 带入原方程得： 即 所以 原方程可化为 解得 所以方程的另一个根为 ，的值为7. 例2: 已知关于 的方程 有两个根，其中一个根是 ，求它的另一个根及 的值. 讲授新课 例3：方程 的两个根记作，不解方程，求下列各式的值. (1) (2) (3) 解：由韦达定理，得 ,. (1) 讲授新课 例3：方程 的两个根记作，不解方程，求下列各式的值. (1) (2) (3) 解：由韦达定理，得 ,. (2) 讲授新课 例3：方程 的两个根记作，不解方程，求下列各式的值. (1) (2) (3) 解：由韦达定理，得 ,. (3) 讲授新课 例4：方程 的两个根记作，求 的值. 解：由韦达定理，得 ,. 讲授新课 思考：一般地，若 的两个根为你能用 表示 吗？ = 讲授新课 与两根和、两根积相关的常用变形公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 讲授新课 1.若关于的一元二次方程的两个根为，则这个 方程可能是（　C　） A. B. C. D. C 习题1 习题解析 2.已知 和 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为( ). B A.3 B.1 C. D. 习题2 习题解析 3.若 是方程 的一个根，则该方程的另 一个根为___， 的值为___. 0 0 习题3 习题解析 4.设 是方程 的两个根，利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (2) 解：由韦达定理，得 ,. (1) 习题4 习题解析 4.设 是方程 的两个根，利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (2) 解：由韦达定理，得 ,. (2) 习题4 习题解析 5.已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且 ＋ ＝7，求的值. 解：（1）根据题意，得 ， 即， . 习题5 习题解析 5.已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，且 ＋ ＝7，求的值. 解：（2）由根与系数的关系，得 即 解得（舍去），. 的值为. 习题5 习题解析 一元二次方程的根与系数的关系 应用 与两根和、两根积相关的常用变形公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 内容 一元二次方程 的两个根为与其系数 有如下关系： ， 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $