第四章-因式分解复习 （课件）2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦北师大版八年级下册因式分解章末复习，涵盖概念、提公因式法、公式法（平方差与完全平方）及应用等核心知识点，通过整式乘法与因式分解的互逆关系导入，构建从概念到方法再到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“提公因式—套公式—检查”步骤为主线，结合例2分解多项式、例3提公因式求值等例题解析，以及三角形三边关系、整除证明等应用实例，培养学生的推理意识和应用意识。采用知识梳理与例题结合的教学方法，课堂小结系统归纳，学生能深化理解，教师可直接用于复习教学提升效率。

北师大版 八年级下册 章末复习 知识梳理 概念 把一个多项式化成几个整式_____的形式，这种变形叫作因式分解 乘积 与整式乘法的关系 提公因式法 概念：公因式、提公因式法 依据：ma+mb+mc=__________ m(a+b+c) 步骤：①找公因式；②提公因式 多项式 几个整式的积 因式分解 整式乘法 一、因式分解 1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫 做多项式的_________，也叫将多项式__________. 2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者 是把几个整式的______化为一个________. 因式分解 乘积 分解因式 整式乘法 相反 多项式 乘积 乘积 知识梳理 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a； (2) (a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2； (4) 3x - 2xy + x = x(3x - 2y)2. 考点一 因式分解与整式乘法的关系 不是 不是 是 不是 二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的________，简称多项式的________. 2. 公因式的确定： (1)定系数：多项式各项整数系数的 ； (2)定字母：多项式各项　 　的字母； (3)定各字母指数：取次数最　　的． 公因式 公因式 最大公约数 相同 低 知识梳理 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______写在括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法. 分配 公因式 因式 知识梳理 考点二 提公因式法分解因式 例2 因式分解： (1) 8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (3) (a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc). (2) 原式 ＝ (2a－3)(b＋c). (3) 原式 ＝ (a＋b)(a－b－1). 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 三、公式法 —— 平方差公式 1. 因式分解中的平方差公式 a2－b2＝　 　 ； 2. 多项式的特征：(1) 可化为个____整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______. 3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式； (2) 进行到每一个多项式都不能再分解为止. (a＋b)(a－b) 两 相反 平方 知识梳理 四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2 a2 - 2ab + b2 = ( )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式； (2) 有两项是两个数 (或式) 的_______的形式； (3) 另一项是这两个数 (或式) 的______的_____倍. 3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______. a + b a - b 平方和 乘积 ±2 公因式 知识梳理 公式法 把下列各式因式分解： (1) (x2+2x+1)-y2 解：(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1) (2) 4x4-4x2y2+y4 解：4x4-4x2y2+y4 =(2x2)2-4x2y2+(y2)2 =(2x2-y2)2 (3) m4-16n4 解：m4-16n4 =(m2+4n2)(m2-4n2) =(m2+4n2)(m+2n)(m-2n) 一定要分解到不能再分解为止 知识梳理 提：有公因式的先提公因式 套：套用公式 检查：检查因式分解的结果是否彻底 先提公因式，再用公式法 把下列各式因式分解： (1) 16a2(x-y) +9b2(y-x) 解：16a2(x-y) +9b2(y-x) =16a2(x-y) -9b2(x-y) =(x-y)(16a2-9b2) =(x-y)(4a+3b)(4a-3b) (3) 9(a-b)2+36b(b-a)+36b2 解：9(a-b)2+36b(b-a)+36b2 =9[(a-b)2-4b(a-b)+4b2] =9[(a-b)-2b]2 =9(a-3b)2 (2) -2a3+12a2-18a 解：-2a3+12a2-18a =-2a(a2-6a+9) =-2a(a-3)2 多项式第一项前有“–”时，先提出“-”号，注意多项式的各项要变号 先展开，再因式分解 把下列各式因式分解： (1) (x+3)(x-7)+21 解：(x+3)(x-7)+21 = x2-7x+3x-21+21 =x2-4x =x(x-4) (2) (x-y)2-4(x-y-1) 解：(x-y)2-4(x-y-1) =(x-y)2-4(x-y)+4 =(x-y-2)2 因式分解的应用 1.先因式分解，再计算求值： (1) (4x+y)2-9y2，其中x+y=2，y-2x=3； 解：(1)原式=(4x+y+3y)(4x+y-3y) =4(x+y)·2(2x-y) =8(x+y)(2x-y)。 当x+y=2，y-2x=3 时， 原式=8×2×(-3)=-48。 2.如果一个三角形的三边a，b，c满足ab+bc=b2+ac，那么这个三角形一定是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 B ab+bc=b2+ac ab+bc-b2-ac=0 =ab-ac+bc-b2 =a(b-c)+b(c-b) =a(b-c)-b(b-c) =(a-b)(b-c) (a-b)(b-c)=0 a=b或b=c 3. 求证：当n为自然数时，(n+7)2-(n-5)2 能被24整除。 证明：(n+7)2-(n-5)2 =[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)] =(2n+2)×12 =2×12×(n+1) =24(n+1)。 因为n为自然数，所以24(n+1)能被24整除， 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除。 例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 课堂小结 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 因式分解的应用 1.先因式分解，再计算求值： (2) a2b+ab2-a-b，其中a+b=-5，ab=5。 (2)原式=ab(a+b)-(a+b) =(a+b)(ab-1)。 当a+b=-5，ab=5 时， 原式=(-5)×(5-1)=(-5)×4=-20。 4. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值. 解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2) ＝ ab(a＋b)2. 当 a＋b＝5，ab＝10 时， 原式＝ ×10×52＝125. 【练一练】 $