第八章 空间几何体的表面积与体积基础练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何体表面积与体积计算，通过多样化题型构建从单一几何体到组合体、从公式应用到实际问题的知识逻辑链，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|1-5题|单一几何体（圆锥、球、圆台等）表面积与体积公式应用|从几何体定义到公式推导，强化空间量的量化关系| |组合与旋转体|6-8题|正四棱台、旋转体、组合体的复杂计算|通过轴截面、旋转轴分析，建立平面与空间转化逻辑| |实际应用与文化|9-12题|棱台体积、零件计算、祖暅原理应用|结合生活情境与数学史，体现模型意识与推理能力|

第八章 空间几何体的表面积与体积·基础通关 1. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】球的表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 2. 如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】根据条件可得出，即可求出体积. 【详解】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C 3. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】圆台表面积的有关计算 【详解】因为为正三角形，，所以， 又因为，所以， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为. 4. 若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】圆锥表面积的有关计算 【分析】计算出圆锥的母线长和底面半径，从而计算出圆锥的表面积. 【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为， 由， 设圆锥的底面半径为，则， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 5. 将半径为的实心铁球熔化后铸成一个实心正四面体（不计损耗），则正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据球体的体积公式及正四面体的体积公式，化简可得解. 【详解】 如图所示，设正四面体的棱长为， 则，， 所以正四面体的高为， 其中一个面的面积为， 所以正四面体的体积. 又实心铁球的体积为， 由题意可知，解得， 故选：C. 6. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 7. （多选）如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是（   ） A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求旋转体的体积、求组合旋转体的表面积 【分析】根据切割法得到旋转体，再结合柱体、锥体的体积公式和表面积公式求出体积或表面积，即可判断各项的正误. 【详解】延长DA、CB交于点E，如图， 由题意得，AE=AD=2，. 对于A，以AD所在直线为轴旋转，得到一个圆台，此圆台由大圆锥切去小圆锥得到， 所以圆台的侧面积，A错误； 对于B，以CD所在直线为轴旋转，得到一个以2为底面半径以2为高的圆柱与一个以2为底面半径以2为高的圆锥的组合体， 所以该组合体的体积为：，B正确； 对于C，以AB所在直线为轴旋转，得到一个圆柱挖去一个圆锥的旋转体，如图， 所以该旋转体表面积为：，C正确； 对于D，以BC所在直线为轴旋转，得到一个圆锥的体积和一个圆台的体积的和切去一个小圆锥的体积，如图， ，D正确. 故选：BCD 8. （多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求组合体的体积、求组合多面体的表面积、正棱锥及其有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C；将长方形及正置于同一平面，求出判断D. 【详解】对于A，正四棱锥底面半径，高， 因此该几何体的高为，A正确； 对于B，几何体的表面积为，B错误； 对于C，该几何体的体积为，C正确； 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图， 取中点，连接，则，而， 所以最短路程为，D正确. 故选：ACD 9. 已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，计算出三棱锥、的体积，作差后可得正三棱台的体积. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 设点在平面的射影点为点，则为正的中心，如下图所示：    由棱台的性质可知，所以，故， 所以为的中点，所以， 由正弦定理可得，故， 所以， 又因为，所以， 同理可知，点到平面的距离为， 故， 因此正三棱台的体积为. 故答案为：. 10. 在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】连接，根据题意利用割补法分析求解． 【详解】连接， 由题意可知：，， 则， 所以． 故答案为：． 11. 如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）借助圆柱与棱柱的体积公式计算可得体积，结合铁的密度即可求解； （2）借助圆柱与棱柱的表面积公式计算可得表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 直六棱柱部分体积为， 则此零件的体积为， 又铁的密度为， 故生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为 . 则5000个零件的表面积为. 故需锌的质量为. 12. 祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】（1）由圆柱、圆锥和球的体积公式，分别求得圆柱、圆锥和半球的体积，即可得出结论；可得，，，所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）（i）根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积，所以小球缺的体积为，令，代入计算，即可求解；（ii）将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体，连接球心O和每个小网格的顶点，整个几何体就被分割成n个“小锥体”，求得球缺曲面部分的面积为，进而得到球缺的表面积. 【详解】（1）解：根据题意，利用圆柱、圆锥和球的体积公式， 可得，，， 所以，即圆柱的体积等于圆锥和半球的体积和. （2）解：（i）图（1）中，截面圆的半径为，所以截面圆的面积为， 图（2）中，截面为圆环，其中小圆的半径为，大圆的半径为， 所以截面圆环的面积为， 根据祖暅原理，由小球缺的体积等于图（2）中截面上方的圆柱挖去其中圆台后剩余的几何体的体积， 所以小球缺的体积为， 令，可得. （ii）类比球的表面积和体积的求法，将球缺底部的圆与球心连线，组成一几何体， 把球缺的曲面部分分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点， 整个几何体就被分割成n个“小锥体”，记球缺曲面部分的面积为S， 则，可得，， 所以该球缺的表面积为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 空间几何体的表面积与体积·基础通关 1. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 2. 如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（ ） A． B． C． D． 4. 若圆心角是的扇形面积为，则该扇形围成的圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 5. 将半径为的实心铁球熔化后铸成一个实心正四面体（不计损耗），则正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 6. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（   ） A． B．48kg C．57kg D． 7. （多选）如下图，直角梯形ABCD中，，．则下列说法正确的是（   ） A．以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B．以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D．以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为 8. （多选）如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（    ） A．该几何体的高为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的体积为 D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为 9. 已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为______． 10. 在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为______ 11. 如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的直六棱柱（底面是正六边形，侧面是全等的矩形），上部是实心的圆柱. (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁？（结果精确到）； (2)要给一批共5000个零件镀锌，若电镀这批零件每平方厘米要用锌，求需要用锌的总量（结果精确到）. 12. 祖暅是南北朝时期伟大的数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下三个几何体：半径为R的半球，底面半径和高均为R的圆锥与圆柱，体积分别记为，，. (1)写出，，三者之间的关系； (2)过半径上一点A，且平行于半球大圆的平面将半球分割成两部分，位于上方的部分称为“球缺”.根据祖暅原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.当点A为半径中点时，求解下面两个问题： （i）求截得的“球缺”的体积； （ii）求截得的“球缺”的表面积. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $