8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 题型一 棱柱的表面积计算 1．（23-24高一下·安徽亳州·月考）在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 2．（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A．40 B． C． D． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·吉林长春·期末）有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是 ． 题型二 棱锥的表面积计算 1．（23-24高一下·海南安定·期中）已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为 . 2．（23-24高一下·重庆·月考）正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 4．（23-24高一下·湖南郴州·月考）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 题型三 棱台的表面积计算 1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 2．（23-24高一下·河南商丘·月考）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 3．（23-24高一下·广东广州·期中）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 4．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）（多选）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 题型四 棱柱的体积计算 1．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知正三棱柱中，，则该三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·海南·期中）（多选）已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知点P为三棱柱侧棱上靠近点A的三等分点，若四棱锥的体积为V，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D．2V 题型五 棱锥的体积计算 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 2．（23-24高一下·山西运城·月考）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．48 B．64 C．80 D．144 3．（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（    ） A． B． C．1：3 D．1：4 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 题型六 棱台的体积计算 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏·月考）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川遂宁·月考）在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南信阳·月考）底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为3，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 1．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东聊城·月考）（多选）如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（    ） A． B．该四棱台的侧面积为 C．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面 D．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为 4．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（    ） A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 5．（22-23高一下·河南信阳·期中）有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 . 6．（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 7．（23-24高一下·广东湛江·期中）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，则正四棱锥的侧面积是多少？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 题型一 棱柱的表面积计算 1．（23-24高一下·安徽亳州·月考）在长方体中，，，，则该长方体的表面积为（    ） A．204 B．200 C．196 D．192 【答案】D 【解析】如图，在长方体中，连接，， 因为，，， 所以， 所以， 所以该长方体的表面积.故选：D. 2．（23-24高一下·重庆·期中）已知一个直四棱柱的高为4，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（    ） A．40 B． C． D． 【答案】C 【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为的平行四边形， 其周长是，面积是， 所以直四棱柱的表面积是.故选：C 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 .故选：C. 4．（23-24高一下·吉林长春·期末）有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是 ． 【答案】52 【解析】记两直三棱柱为直三棱柱和直三棱柱，如图所示： 当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为； ②边长为的边合在一起时，表面积为； ③边长为的边合在一起时，表面积为. 当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦： 图④的表面积， 图⑤的表面积， 图⑥的表面积， 图⑦的表面积. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是. 题型二 棱锥的表面积计算 1．（23-24高一下·海南安定·期中）已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为 . 【答案】80 【解析】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为， 取的中点，因为，所以， 因为， ， 所以正四棱锥的侧面积为， 故正四棱锥的侧面积为. 2．（23-24高一下·重庆·月考）正三棱锥的表面积是底面积的5倍，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为， 则底面面积为，侧面积为， 且表面积是底面积的5倍， 则侧面积是底面积的4倍，即， 化简可得，即. 所以.故选：A 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知正三棱锥P－ABC的底面边长为6，顶点P到底面ABC的距离是，则这个正三棱锥的侧面积为（    ） A．27 B． C．9 D． 【答案】A 【解析】由题意可知底面正三角形的中心到底面正三角形的边的距离为：， 所以正三棱锥的斜高为：， 所以这个正三棱锥的侧面积为：.故选：. 4．（23-24高一下·湖南郴州·月考）六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的表面积是（    ）（不计氟原子的大小）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】相邻两个氟原子间的距离为2a， 故正八面体的每个面都是边长为2a的等边三角形， 故正八面体的表面积为：.故选：A. 题型三 棱台的表面积计算 1．（23-24高一下·安徽黄山·期中）一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，高是.则三棱台的侧面积为（    ） A．27 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，，分别是上、下底面中心，则 cm， 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，过作于点， 在中，， ， 所以， 所以．故选：B 2．（23-24高一下·河南商丘·月考）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（    ） A．28 B．26 C．24 D．16 【答案】B 【解析】在正四棱台的侧面中，过点作，垂足为E， 则， 侧面的面积， 所以正四棱台的表面积．故选：B 3．（23-24高一下·广东广州·期中）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【解析】设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形， 在四边形中，过点作于点， 则，所以， 所以，解得， 在平面中，过点作于点， 易知为正四棱台的高，则， 所以.故选：C. 4．（22-23高一下·新疆昌吉·期末）（多选）正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（    ） A．该正六棱台的上底面积是 B．该正六棱台的侧面面积是 C．该正六棱台的表面积是 D．该正六棱台的高是 【答案】ACD 【解析】如图在正六棱台中， 因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：， 所以梯形的面积为：， 故正六棱台的侧面积为: ，故B选项错误； 由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成， 所以该正六棱台的上底面积为：，故A正确； 同理下底面积为：， 所以该正六棱台的表面积是,故C正确； 正六棱台的高为，D正确.故选：ACD. 题型四 棱柱的体积计算 1．（23-24高一下·广西南宁·期中）已知正三棱柱中，，则该三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正三棱柱中，， 所以， 所以.故选：C 2．（23-24高一下·海南·期中）（多选）已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9cm、宽为6cm的矩形， 所以正三棱柱的底面边长可为3 cm,高为6cm，则此正三棱柱的体积为 ， 或正三棱柱的底面边长可为2cm,高为9cm，则此正三棱柱的体积为 .故选：BD. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】D 【解析】设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 侧面水平放置时，水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为， 于是，解得， 所以当底面水平放置时，液面高为． 故降雨量等级为暴雨，故选：D 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知点P为三棱柱侧棱上靠近点A的三等分点，若四棱锥的体积为V，则三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D．2V 【答案】C 【解析】设三棱柱的高为， 因为点P为三棱柱侧棱上靠近点A的三等分点， 所以点到平面的距离为，到平面的距离为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 得.故选：C 题型五 棱锥的体积计算 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）所有棱长都相等的四面体的体积为，则其表面积为（    ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【解析】如图，正四面体中，设各棱长均为， 过作底面，交于点， ， ， 正四面体体积，解得， 所以．故选：D． 2．（23-24高一下·山西运城·月考）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（    ） A．48 B．64 C．80 D．144 【答案】C 【解析】设该正四棱锥的底面边长为a，则，解得. 设该正四棱锥的斜高为，则， 所以该正四棱锥的侧面积为.故选：C 3．（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（    ） A． B． C．1：3 D．1：4 【答案】C 【解析】设正方体的棱长为1， 则由题意可得正四面体的体积为 ， 所以此正四面体的体积与正方体的体积之比为1：3.故选：C 4．（23-24高一下·陕西西安·期中）在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【解析】如图，正四面体的棱长为2，点在平面内的射影为点， 点是三角形的中心，点在上， ，则， 所以三棱锥的体积， ，，且， 所以点到平面的距离是点到平面距离的， 所以三棱锥的体积. 题型六 棱台的体积计算 1．（23-24高一下·云南昆明·期中）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设线段、、、的中点分别为、、、，如图所示： 由题可知，四边形为等腰梯形， 设，因为，所以， 设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为， 则， ，所以， 又，所以， 所以该“方斗”可盛米的总质量为．故选：B． 2．（23-24高一下·江苏·月考）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正六棱台上、下底面的面积分别为、， 因为，，高为， 所以，， 所以该棱台的体积.故选：C. 3．（23-24高一下·四川遂宁·月考）在正三棱台中，已知，，侧棱的长为2，则此正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正三棱台中，已知，， 所以的面积为，的面积为， 设，分别是，的中心， 设，分别是，的中点， ，，三点共线，，，三点共线， ，， ，， ， 过作，垂足为，则， ， 三棱台的高为， 三棱台的体积为．故选：C． 4．（23-24高一下·河南信阳·月考）底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为3，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ． 【答案】63 【解析】由题意知截去的正四棱锥与原正四棱锥的底面边长的比， 而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6， 所以原正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 1．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，.故选：A. 2．（23-24高一下·天津南开·期中）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点分别为，连接， 可得几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥， 将三棱柱补成一个上底面与矩形全等的矩形的平行六面体， 可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半， 则三棱柱的体积为， 四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为.故选：D. 3．（23-24高一下·山东聊城·月考）（多选）如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（    ） A． B．该四棱台的侧面积为 C．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面 D．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为 【答案】BD 【解析】 对于A，由题意可得，故A错误； 对于B，梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的高为， 所以梯形的面积为， 故该四棱台的侧面积为，故B正确； 对于C，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时， 球恰好与面、面、面均相切， 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形， 较长的底边上的底角的正切值为，则， 由于互补，故， 则，所以（负值舍），从而球的半径为， 所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误； 对于D，将平面与平面展开至同一平面， 如图（2），则， 将平面与平面展开至同一平面，如图（3）， 则， 所以最短路程为，故D正确．故选：BD 4．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（    ） A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 【答案】BC 【解析】设图（1）中水的高度为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得图（2）中水的体积为， 对于A中，由，解得，所以A错误； 对于B中，若往容器内再注入升水，即， 则水面上升的高度为， 所以水面的高度为，所以B正确； 对于C中，由水的体积为， 容器的体积为，所以， 当容器侧面水平放置时，点点在长方体中截面上， 中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分，结合题意水面也恰好经过点，所C正确. 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确.故选：BC. 5．（22-23高一下·河南信阳·期中）有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为 . 【答案】 【解析】 6．（23-24高一下·安徽·期中）如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 . 【答案】 【解析】由正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为， 可得矩形的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为， 中，因为，则边上的高为， 其面积为， 所以四棱锥的表面积为. 7．（23-24高一下·广东湛江·期中）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱 (如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，则正四棱锥的侧面积是多少？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)；(2)；(3)，最大面积是 【解析】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积 正四棱柱的体积 所以仓库的容积. （2）连接，取的中点，连接， 由正四棱锥，可得，所以， 因为，所以，所以， 进而可求得， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为(. （3）设，下部分的侧面积为， 则，， ， 设， 当，即时，，. 即当为时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$