第26章　二次函数小结（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学二次函数单元复习课件系统梳理了二次函数的定义、图像性质、平移规律、解析式求法及实际应用，通过知识结构流程图呈现“实际问题—二次函数—问题解决”的闭环逻辑，结合表格对比不同形式函数的性质，构建完整知识网络。 其亮点在于以核心素养为导向，通过表格对比发展几何直观，用平移规律简记（上加下减、左加右减）培养抽象能力，分类型设解析式（三点式、顶点式、交点式）助力分层复习，有效巩固知识，帮助教师精准教学。

小结 人教版 九年级 数学（上） 第26章　二次函数 知识结构 2 知识回顾 二次函数的定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）函数解析式是整式； （2）化简整理后自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0，即a≠0. 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. y=ax2 a>0 a<0 图象 位置开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时, y随着x的增大而减小. y=ax2 顶点(0, 0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时，向上平移k个单位长度得到 当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到 上下平移规律：上加下减常数项. 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 向上 向下 y=ax2+k a>0 a<0 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大； 当x<0时，y随x增大而减小； y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 当x>0时，y随x增大而增大. 当x>0时，y随x增大而减小. 抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系： 函数解析式 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 y＝ax2 (a≠0) (0，0) y轴 当a＞0时，抛物线开口向_____；当a＜0时，抛物线开口向_____． 如果a＞0，那么当x＜0时，y随x的增大而____，当x＞0时，y随x的增大而_____；如果a＜0，那么当x＜0时，y随x的增大而_____，当x＞0时，y随x的增大而______． y＝ax2＋k (a≠0) (0，k) 上 下 减小 增大 增大 减小 y=ax2 对称轴：y轴 顶点(0, 0) y=a(x-h)2 对称轴：x=h 顶点(h, 0) 当h>0时，向右平移h个单位长度得到 当h<0时，向左平移∣h∣个单位长度得到 左右平移规律：括号内左加右减. y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时, y随x增大而减小; 当x>h时, y随x增大而增大. 向上 直线 x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 二次函数 y＝a(x−h)2的图象和性质： y=a(x-h)2 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线 x=h （h,0） x=h时，y最大值=0 y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0) 或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 简记为： 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时, y随x增大而减小; 当x>h时, y随x增大而增大. 向上 直线 x=h （h，k） x=h时，y最小值= k 二次函数 y＝a(x−h)2+k的图象和性质： y=a(x-h)2 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线 x=h x=h时，y最大值= k （h，k） 一般地，通过配方，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x＋)2＋. 因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是_____________，顶点是______________． x＝－ (－，) 二次函数y=ax2+bx+c的图象： y O x （a>0） 最小值 y O x （a<0） 最大值 ①已知抛物线上的三点，通常设解析式为__________________； ②已知抛物线顶点坐标(h, k)，通常设抛物线解析式为___________________； ③已知抛物线与x轴的两个交点(x1, 0)、 (x2, 0)，通常设解析式为_____________________. y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 设解析式方法： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系: y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 二次函数与一元二次方程的关系： 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 ①根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： ②确定自变量的取值范围； ③根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； ④根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最______(______)点，也就是说，当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__________. 低 高 － 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②写出抛物线上的关键点的坐标； ③运用待定系数法求出函数解析式； ④求解数学问题； ⑤求解抛物线形实际问题． 作业布置 完成对应课时练习． $