26.3　二次函数与一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过一次函数与一元一次方程的关系类比导入，引导学生从已知迁移新知，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助理解两者内在关联。 其亮点在于以图像探究为核心，结合实例分析与表格归纳，培养几何直观、推理意识和模型意识。如小球飞行高度问题将函数值转化为方程求解，体现模型意识，图像观察交点对应方程根培养几何直观，助力学生掌握数形结合，教师可高效开展教学。

26.3　二次函数与一元二次方程 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_______. 2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是__________． x＝1 x＝－2 2 3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时, 它就变成了一个一元二次方程, 由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系. 那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？ 探究新知 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系. 类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系. 思考： 如图，下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) y=x2+x−2; (2) y=x2−8x+16; (3) y=x2−x+1. 由此，你能说说方程 x2+x−2=0， x2−8x+16=0， x2−x+1=0. 的根的情况吗？ (1)由图可以看出抛物线y＝x2＋x－2与x轴有几个公共点？ 它们的横坐标分别是什么？ 提出问题： 两 个 −2 1 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ 由此得出方程x2＋x－2＝0的根为多少？ 0 x1 = −2 x2 = 1 (2)由图可以看出抛物线y＝x2－8x＋16与x轴有几个公共点？ 公共点的横坐标是多少？ 一个 4 当x为多少时，函数值是0？ 由此得出方程x2－8x＋16＝0的根为多少？ x = 4 x1 = x2 = 4 (3)由图可以看出抛物线y＝x2－x＋1与x轴有没有公共点？ 由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？ 没有公共点 没有实数根 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况. (4)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系吗？ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系: 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t (单位：s)的关系近似为h=20t-5t2. 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h = 20t − 5t2的函数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方程 20 = 20t − 5t2的根的问题. O h t h = 20t − 5t2 解：当h=20时，由函数关系h=20t-5t2， 列得方程：20=20t -5t2. 即 t2-4t+4=0. 解方程，得t1=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t−5t2的函数值为20，即当小球飞行2s时，它的飞行高度为20 m. 从上面可以发现，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 二次函数与一元二次方程的关系： 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 知识归纳 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根； (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根． 例 1 例题与练习 利用函数图象求方程x²−2x−2=0的根的近似值（结果保留小数点后一位）. 解：画函数图象如图所示: 它与x轴的公共点的横坐标大约是−0.7，2.7. 所以方程x2−2x−2=0的实数根为x1≈−0.7，x2≈2.7. 我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 当自变量为3时的函数值大于0. 当自变量为2时的函数值小于0. 当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0 . 即方程x²−2x−2=0在2，3之间有根. (2,−2) (3,1) 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间.....可以看到： 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875−2.75|=0.0625 <0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值. 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 你能用这种方法得出方程x2−2x−2=0的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？ 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. 例 2 如图，已知直线y＝－x与抛物线y＝－x2＋6交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)－x2＋6＞－x的解集为______； (3)－x2＋6＜－x的解集为______． 解：(1)A(6，－3)，B(－4，2). (2)－4＜x＜6 .　 (3)x＜－4或x＞6 . 例 3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，请根据图象信息回答问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两根； 解：(1)x1＝0，x2＝4. (2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集； (3)写出方程ax2＋bx＋c＝2.5的两根； (2)x＜0或x＞4. (3)x1＝－1，x2＝5. (4)写出不等式ax2＋bx＋c＜2.5的解集； (5)若方程ax2＋bx＋c＋1－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． (4)－1＜x＜5. (5)k＞－1. 1. 关于例1，回答下列问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多长时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20.5 m？如果能，需要多长时间？ （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ (1) 能，1 秒和 3 秒； (2) 不能； (3) 全程落地用时 4 秒。 2. 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： （1）x2−3x+1=0； 设 开口向上，对称轴：，顶点 求抛物线与 轴交点横坐标，就是方程的根： ≈2.6 ，≈0.4 （2）−x2−x+1=0. 设 开口向下，解方程： 3．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　) A．y＝3x2－9x＋3 B．y＝2x2－4x＋12 C．y＝x2－6x＋9 D．y＝5x2－3x＋9 A 4．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( ) A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 C 5．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，另一个解为x2＝_______，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集为______________. －1 x＜－1或x＞3 课堂小结 1．二次函数与一元二次方程的联系． 2．注重数形结合法的掌握和运用． 随堂检测 1、已知二次函数y=x2−3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是( ). A. x1=1, x2=−1 B. x1=1, x2=2 C. x1=1, x2=0 D. x1=1, x2=3 B 2、二次函数y = kx2−6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ). A. k<3 B. k<3且k≠0 C. k≤3 D. k≤3且k≠0 D 3、利用二次函数的图象求一元二次方程2x2 + x − 15 = 0的近似根. 解：画出函数 y = 2x2+x−15的图象，如图所示. 它与x轴的公共点的横坐标大约是−3，2.5. 所以方程2x2+x−15=0的实数根为x1 ≈ −3，x2 ≈ 2.5. 作业布置 (1)教材P49～50　习题26.3第3，4，5，6题； (2)对应课时练习． $