26.2.2.3　二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质，课堂导入通过回顾y=ax²等旧知的开口方向、对称轴及顶点坐标，结合平移练习题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以探究式学习引导学生画图分析平移过程，结合几何直观和空间观念培养数学眼光，通过归纳平移规律和性质表格发展推理意识。喷水池实际应用题强化模型意识，知识归纳用表格清晰呈现。学生能提升直观理解与应用能力，教师可依托结构化流程提高教学效率。

26.2　二次函数的图象和性质 26.2.2 二次函数y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 第3课时 二次函数 y＝a(x－h)²＋k的图象和性质 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 1．填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y＝2x2 y＝－x2＋2 y＝3x2－5 y＝0.5(x－6)2 y＝－8(x＋4)2 向上 y轴或x＝0 (0，0) 最小值0 向下 y轴或x＝0 (0，2) 最大值2 向上 y轴或x＝0 (0，－5) 最小值－5 向上 x＝6 (6，0) 最小值0 向下 x＝－4 (－4，0) 最大值0 2 2. 把抛物线y＝－2x2向左平移1个单位长度得到的抛物线是 (　 　) A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2 C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1 A 探究新知 探究： (1)画出函y=−(x+1)2−1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线y=−(x+1)2−1与抛物线y=−x2有什么关系？ 解：先列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y= -(x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … y = -(x+1)2-1 描点、连线，画出这个函数的图象. 开口_______， 对称轴是__________， 顶点坐标是_________. 向下 直线x=−1 (-1, -1) 根据图象，你能指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ y = -(x+1)2-1 思考：抛物线y＝－(x＋1)2－1可以由抛物线y＝－x2经过怎样的变换得到？ y=- (x+1)2-1 y=- x2 y=-x2 向左平移1个单位 y=- (x+1)2 向下平移1个单位 还有其他的平移方法吗？ y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1 y=- x2 向下平移1个单位 y=- x2-1 向左平移1个单位 y=- (x+1)2-1 y=-x2 y=-x2-1 y=-(x+1)2-1 函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质？ y = -(x+1)2-1 ①开口向下； ②对称轴为直线x=−1； ③顶点坐标为(−1，−1)； ④当x=−1时, y有最大值为−1； ⑤x<−1时，y随x增大而增大； x>−1时，y随x增大而减小. 请依据上述问题中的发现，说说抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？ 你能由此归纳出y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的性质吗？ y=ax2 y=a(x-h)2 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 y=a(x-h)2+k 向上(k>0) 或向下(k<0)平移| k |个单位长度 y=ax2+k 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度 向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度， 再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度 简记为： 上下平移，括号外上加下减； 左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时, y随x增大而减小; 当x>h时, y随x增大而增大. 向上 直线 x=h （h，k） x=h时，y最小值= k 二次函数 y＝a(x−h)2+k的图象和性质： y=a(x-h)2 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线 x=h x=h时，y最大值= k （h，k） 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少？ 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点（1.6，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y=a(x−1.6)2+3 (0≤ x ≤3.6) 由这段抛物线经过点（3.6，0），可得 0 = a(3.6−1.6)2+3 . 解得，a = − . 因此，y =− (x−1.6)2+3 (0≤ x ≤3.6) 当x=0时，y=1.08， 也就是说，水管的长应为1.08 m. 知识归纳 1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状______，位置______．把抛物线y＝ax2向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k. 平移的方向、距离要根据______的值来决定． 相同 不同 h，k 2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点： ①当a＞0时，开口向______；当a＜0时，开口向______； ②对称轴是x＝______； ③顶点是________； 上 下 h (h，k) 3．从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，那么当x＜h时，y随x的增大而____，当x＞h时，y随x的增大而_______，当x＝h时，取最小值，最小值为k；如果a＜0，那么当x＜h时，y随x的增大而______，当x＞h时，y随x的增大而______，当x＝h时，y取得最大值，最大值为k. 减小 增大 增大 减小 例 1 例题与练习 对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 (　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 例 2 把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象． (1)试确定a，h，k的值； 解:原二次函数的解析式为y＝(x＋1－2)2－1－4, 即y＝(x－1)2－5， ∴a＝，h＝1，k＝－5. (2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标. 开口向上 对称轴为x＝1 顶点坐标为(1，－5) y＝(x－1)2－5 （1）y=2(x+3)2+5； 开口向上， 1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： 对称轴为x=−3， 顶点坐标为(−3，5). 当x<h时, y随x增大而减小; 当x>h时, y随x增大而增大. （2）y=−3(x−1)2−2； 开口向下， 对称轴为x = 1， 顶点坐标为(1，−2). 当x<h时, y随x增大而增大; 当x>h时, y随x增大而减小. （3）y=4(x−3)2+7； 开口向上， 对称轴为x = 3， 顶点坐标为(3，7). 当x<h时, y随x增大而减小; 当x>h时, y随x增大而增大. （4）y=−5(x+2)2−6. 开口向下， 对称轴为x = −2， 顶点坐标为(−2，−6). 当x<h时, y随x增大而增大; 当x>h时, y随x增大而减小. 2. 说出下列二次函数的最大值或最小值： （1）y = (x+2)2−2； （2）y = − (x−1)2+2； 解: (1)，抛物线开口向上，有最小值， (2)，抛物线开口向下，有最值， 3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围是 (　 　) A．m＞1　　　 B．m＞0　　　 C．m＞－1　　　D．－1＜m＜0 B 4．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_______________． y3＞y1＞y2 课堂小结 1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质． 2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和二次函数y＝ax2的图象之间的关系. 随堂检测 1、将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ). A. y=3(x-2)2-1 B. y=3(x-2)2+1 C. y=3(x+2)2-1 D. y=3(x+2)2+1 C 2、小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y = −x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ). A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m B 解：由函数顶点坐标是(1, −2)， 3、已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1, −2)，求这个二次函数的关系式． 设二次函数的关系式为y=a(x−1)2-2. 图象过点(0, 0)，则0=a(0−1)2−2， 解得a=2. ∴这个二次函数的关系式为y=2(x−1)2−2. 作业布置 (1)教材P44　习题26.2第2题(3)； (2)对应课时练习． $