11.4.1 直线与平面垂直 期末巩固提升训练十三-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦直线与平面垂直，通过正方体、棱柱等载体整合空间位置关系判断、空间角与距离计算，突出立体几何逻辑推理与空间想象 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间垂直与位置关系|单选2-3、多选6|线面垂直判定与性质辨析|从线线垂直到线面垂直的转化，构建空间位置关系推理链| |空间角与距离计算|填空7-8、单选1|异面直线所成角、点面距离求解|基于定义转化为平面角或距离公式，体现空间问题平面化思想| |综合证明与计算|解答9-10|直三棱柱、四棱锥中垂直证明与距离计算|综合应用线面垂直性质与体积法，强化知识纵向整合|

高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修四第十一章) 11.4.1直线与平面垂直期末巩固提升训练十三 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到平面ABC1D1的距离为() A月 B9。 C a D.a 【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查了点到面的距离计算，利用等体积法解决，属于中档题. 通过V41-ABC1D1=VB1C1B-A1D1A-Vg-A1B1G代入计算即可. 【解答】 解：VA1-ABC1D1=VB1C18-A1D1A-Vg-A181C1' hSARGIDI-A1 B1SABBIGBBSABG hV2aa=ar时aa-far时aa, 1 1 得h-, 即点A1到平面ABCD,的距离为a. 故选B. 第1页，共10页 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列判断正确的是（) D A.A1D⊥CC1 B.BD1⊥AD C.A1D⊥AC D.AC⊥BD1 【答案】D 【解析】【分析】本题考查平面中的线线垂直的证明，异面直线所成角，属于对基础知 识的考查，属于基础题 利用异面直线所成角的定义可判断ABC选项，利用线面垂直的性质定理可判断D选项， 【解答】解：对于A选项，CC1/DD1,而∠A1DD1=45, ·CC1与A1D所成的角为45°， 故A1D与CC1不垂直，A错； 对于B选项，连接A1B, :AD⊥平面AA1B1B,A1BC平面AA1B1B, .AD1⊥A1B,∠A1DB为锐角， :AD∥A1D1,·AD与BD1所成角不是直角，B错： 对于C选项，连接A1C1、C1D, :AA1∥CC1且AA1=CC1,四边形AA1C1C为平行四边形， 故A1D与AC所成角为∠C1A1D或其补角， 设正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为a,则A1C1=A1D=C1D=√2a, 即△A1C1D是等边三角形，故LC1A1D=60°，C错； 对于D选项，：四边形ABCD为正方形，·BD1AC, ·DD1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,∴.AC⊥DD1, BD∩DD1=D,BD、DD1C平面BDD1, .AC⊥平面BDD1, BD1C平面BDD1, AC1BD1,D对. 第2页，共10页 D A B C B 故选：D 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是() D C B D 小 A.A B//D B B.AC 1 B C C.A1B与平面DD1B1B成45° D.A1B与B1C成30° 【答案】B 【解析】解：在正方体中，A1B与D1B1是异面直线，所以A错误： 在正方体中，连接AC1,B1C,BC1,由题可知，AB1平面BCC1B1,B1CC平面BCC1B1, 所以AB1B1C,又因为B1C1BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1C平面ABC1,所以B1C⊥平 面ABC1,AC1C平面ABC1,故AC11B1C,所以B正确： 取B1D1的中点O,连接A1O,则可得∠A1B0为A1B与平面DD1B1B所成的角，这个角不等于 45°，所以C不正确： 在正方体中，A1B和B1C所成的角为60°，所以D不正确. 故选B. 第3页，共10页 4.如图，直四棱柱ABCD一A,BC1D,的底面是菱形，则A1C与BD所成的角是() D C B A.90° B.60° C.45 D.30° 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了异面直线所成角、线面垂直的判定和线面垂直的性质，先得出BD1平 面AA1C,由线面垂直的性质可得BD1A1C,即可得出A1C与BD所成的角， 【解答】 解：连接AC, 由底面是菱形，可得BD L AC, 又直四棱柱，可得AA11平面ABCD,所以AA1⊥BD, 又AA1∩AC=A, 所以BD⊥平面AA1C, 由A1CC平面AA1C, 所以BD1A1C, 故选A. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，O为BD的中点，直线A1C交平面 C1BD于点M,则下列结论正确的是() D B 第4页，共10页 A.C1,M,O三点共线 B.A1C1平面C1BD C.直线A1C1与平面ABCD1所成的角为 D.B,到平面CBD的距离为 【答案】ABC 【解析】【分析】 利用正方体的特征证得点M在AC上可知A项正确：利用线面垂直的判断定理可得A1C1平 面C1BD,故B项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可： 由三棱锥的等体积法可得点面距离， 本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题， 【解答】 解：根据直线A1C交平面C1BD于点M, 由于A1C在平面ACC1A1内，故M点在平面ACC1A1内， O是AC和BD交点，故O和C1也在平面ACC1A1内， 又因为O,C1和M都在平面BDC1内，平面ACC1A1和平面BDC1相交， 故O,C1和M在两个平面的交线上，故C1,M,O三点共线，A项正确： 根据正方体的结构特征，BD1AC,BD⊥AA1, AC∩AA1=A, AC,AA1,都在平面ACC1A1内， 所以BD⊥平面ACC1A1,A1CC平面ACC1A1, 所以BD1A1C,同理A1C⊥BC1, BD∩BC1于点B,BD,BC,都在平面C1BD内， 故A1C⊥平面C1BD,故B项正确： 设正方体的棱长为1，直线A1C与平面ACC1A,的夹角为0，则A1C1=√2， 点A1到平面ACC1A,的距离为A1D=9,故sm日=，0=？故C项正确： 设B1到平面C1BD的距离为h,“V81-C1BD=VD-C1BB1' xxV2xV2x9xh-x×1x1x, 第5页，共10页 解得h=5故D项错误； 故选：ABC 6.设l,m是两条不同的直线，是一个平面.下列命题正确的是() A.若l1m,mc,则l1a B.若l1a,/m,则m1 C.若/a,mca,则/m D.若U1a,m1a,则l1m 【答案】BD 【解析】根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平 面，知选项B正确.根据线面平行的性质与线面垂直的定义，知选项D正确 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为 A B 【答案】90° 【解析】【分析】 本题主要考查异面直线所成角以及线面垂直的性质与判定，属于基础题. 先分析出BD1在平面ADD1A1上的射影是AD1,再根据其为正方体得到AD1⊥A1D:由线面 垂直的性质与判定得到AD⊥平面AD,B,即可得出结论. 【解答】 解：因为BD1在平面ADD1A1上的射影是AD1, 又因为其为正方体， 所以有：AD11A1D 由AB1平面ADD1A1,A1DC平面ADD1A1,得AB⊥A1D. 第6页，共10页 由AD1∩AB=A,AD1、AB≤平面AD1B, A1D1平面AD1B, 又D1BC平面AD1B, 得A1D1D1B, 即：异面直线BD1与A1D所成的角等于90°， 故答案为90° 8.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A'BD的位置， 使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A'B与CD所成角的大小为 【答案】90° 【解析】【分析】 本题考查异面直线所成的角，线面垂直的判定和性质，属于基础题， 由题意，A'O⊥平面ABCD,可得A'O⊥DC,结合CD L BC可得CDI平面A'BC,则CD⊥ A'B,即可求出结果 【解答】 解：由题意，A'O1平面ABCD, 又CDC平面ABCD, ..A'O L DC, 又：矩形ABCD中，BC⊥DC, 又BCnA'O=O,BCC平面A'BC,A'OC平面A'BC, ·.DC⊥平面A'BC, 又A'BC平面A'BC, 所以DC⊥A'B, 所以异面直线A'B与CD所成角的大小为90°. 故答案是：90° 第7页，共10页 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=V2,∠ACB=90°.AA1=2,D为AB的中 点 ()求证：AC⊥BC1; (I)求证：AC1/平面B1CD: (III)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值. 【答案】(D证明：：CC1I平面ABC,ACC平面ABC,·CC11AC, ∠ACB=90°，.AC1BC, 且BC∩CC1=C,BC,CC1C平面BCC1 .AC1平面BCC1,又BC1C平面BCC1, AC⊥BC1. (ID证明：如图，设CB1∩C1B=E,连接DE, B B :D为AB的中点，E为C1B的中点，.DE∥AC1, 又：DEC平面B1CD,AC1平面B1CD, AC1∥平面B,CD. 第8页，共10页 (II)解：由DE∥AC1,得LCED为AC1与B1C所成的角， 在△CDE中，DE-AC,-√ACe+CC,2-5 CE=BC=、Bc3+BB,2=5 CD=号AB=;VAC+BC=1, COSLCED=CE2+DE2-CD2 3月1 2XCEXDE 异面直线AC与B1C所成角的余弦值为， 【解析】本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角，属于基 础题， ()先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可； ()作平行线，由线线平行证明线面平行即可： (I)先证明∠CED为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可. 10.(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=V2,AB=2V2,AB/∥ DC,∠BCD=90°. D A B (①求证：PC⊥BC: (I)求点A到平面PBC的距离. 【答案】解：（①证明：因为PD1平面ABCD,BCc平面ABCD,所以PD1BC. 由∠BCD=90°，得CD L BC, 又PD nDC=D,PD、DCC平面PCD, 所以BCI平面PCD. 因为PCc平面PCD,故PC L BC. 第9页，共10页 D B (I)设点A到平面PBC的距离为h, :PDI平面ABCD,PD为三棱锥P-ABC的高，PD=DC=BC=V2,PC= VPD2+CD2=2, 由VA-PBc=Vp-ABc,得SAPBch=号S△ABC·PD, 即时××V2×2×h=××2W2×V×V2,解得h=2, 所以点A到平面PBC的距离为2. 【解析】【分析】 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. ①推导出PD⊥BC,BC⊥CD,从而BC1平面PDC,由此能证明BC⊥PC. (四)设点A到平面PBC的距离为h,由VA-Pc=VP-ABc,能求出点A到平面PBC的距离. 第10页，共10页 高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修四第十一章） 11.4.1 直线与平面垂直期末巩固提升训练十三 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在正方体中，下列判断正确的是  (    ) A. B. C. D. 3.在正方体中，下列几种说法正确的是(    ) A. B. C. 与平面成 D. 与成 4.如图，直四棱柱的底面是菱形，则与所成的角是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是     A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 6.设，是两条不同的直线，是一个平面．下列命题正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为__________． 8.如图，矩形中，，，将沿对角线折起到的位置，使点在平面内的射影点恰好落在边上，则异面直线与所成角的大小为______． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． 求证：； 求证：平面 求异面直线与所成角的余弦值． 10.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，， ，． Ⅰ求证：；                                  Ⅱ求点到平面的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修四第十一章） 11.4.1 直线与平面垂直期末巩固提升训练十三 （分值70分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了点到面的距离计算，利用等体积法解决，属于中档题． 通过代入计算即可． 【解答】 解：， ， ， 得， 即点到平面的距离为． 故选B． 2.如图，在正方体中，下列判断正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】本题考查平面中的线线垂直的证明，异面直线所成角，属于对基础知识的考查，属于基础题． 利用异面直线所成角的定义可判断选项，利用线面垂直的性质定理可判断选项． 【解答】解：对于选项，，而，  与所成的角为， 故与不垂直，错； 对于选项，连接， 平面，平面， ，为锐角， ，与所成角不是直角，错； 对于选项，连接、， 且，四边形为平行四边形， 故与所成角为或其补角， 设正方体的棱长为，则， 即是等边三角形，故，错； 对于选项，四边形为正方形，， 平面，平面，， ，、平面， 平面， 平面，  ，对． 故选：． 3.在正方体中，下列几种说法正确的是(    ) A. B. C. 与平面成 D. 与成 【答案】B  【解析】解：在正方体中，与是异面直线，所以A错误； 在正方体中，连接，，，由题可知，平面，平面，所以，又因为，，，平面，所以平面，平面，故，所以B正确； 取的中点，连接，则可得为与平面所成的角，这个角不等于，所以不正确； 在正方体中，和所成的角为，所以不正确． 故选B． 4.如图，直四棱柱的底面是菱形，则与所成的角是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了异面直线所成角、线面垂直的判定和线面垂直的性质，先得出平面，由线面垂直的性质可得，即可得出与所成的角． 【解答】 解：连接， 由底面是菱形，可得， 又直四棱柱，可得平面，所以， 又， 所以平面， 由平面， 所以， 故选A． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图所示，在棱长为的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是     A. ，，三点共线 B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 【答案】ABC  【解析】【分析】 利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故B项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离． 本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题． 【解答】 解：根据直线交平面于点， 由于在平面内，故点在平面内， 是和交点，故和也在平面内， 又因为，和都在平面内，平面和平面相交， 故，和在两个平面的交线上，故，，三点共线，项正确； 根据正方体的结构特征，，， ， ，，都在平面内， 所以平面，平面， 所以，同理， 于点，，都在平面内， 故A平面，故B项正确； 设正方体的棱长为，直线与平面的夹角为，则， 点到平面的距离为，故，故C项正确； 设到平面的距离为，， ， 解得，故D项错误； 故选：． 6.设，是两条不同的直线，是一个平面．下列命题正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD  【解析】根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．根据线面平行的性质与线面垂直的定义，知选项D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为__________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查异面直线所成角以及线面垂直的性质与判定，属于基础题． 先分析出在平面上的射影是，再根据其为正方体得到；由线面垂直的性质与判定得到平面，即可得出结论． 【解答】 解：因为在平面上的射影是， 又因为其为正方体， 所以有：D. 由平面，平面，得D. 由，、平面， 平面， 又平面， 得， 即：异面直线与所成的角等于， 故答案为． 8.如图，矩形中，，，将沿对角线折起到的位置，使点在平面内的射影点恰好落在边上，则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成的角，线面垂直的判定和性质，属于基础题． 由题意，平面，可得，结合可得平面，则，即可求出结果． 【解答】 解：由题意，平面， 又平面， ， 又矩形中，， 又，， 平面， 又平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小为． 故答案是：． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． 求证：； 求证：平面 求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】证明：平面，平面，， ，， 且，，平面 平面，又平面， ． 证明：如图，设，连接， 为的中点，为的中点，， 又平面，平面，  平面． 解：由，得为与所成的角， 在中，， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为．  【解析】本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角，属于基础题． 先证线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直即可； 作平行线，由线线平行证明线面平行即可； 先证明为异面直线所成的角，再在三角形中利用余弦定理计算即可． 10.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，，． Ⅰ求证：；                                  Ⅱ求点到平面的距离． 【答案】解：Ⅰ证明：因为平面，平面，所以． 由，得， 又，、平面， 所以平面． 因为平面，故． Ⅱ设点到平面的距离为， 平面，为三棱锥的高，，， 由，得， 即，解得， 所以点到平面的距离为．  【解析】【分析】 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． Ⅰ推导出，，从而平面，由此能证明． Ⅱ设点到平面的距离为，由，能求出点到平面的距离． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学下学期阶段测试（人教版B版必修四第十一章) 11.4.1直线与平面垂直期末巩固提升训练十三 (分值70分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为a,则点A到平面ABCD1的距离为() A月 B.Ya ca D.a 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列判断正确的是（) A.A D 1 CC1 B.BD LAD C.A D L AC D.AC⊥BD 3.在正方体ABCD-A1B1CD1中，下列几种说法正确的是() D C D A.AB//D B B.AC1⊥B1C C.A1B与平面DD1B1B成45 D.A1B与B1C成30° 第1页，共4页 4.如图，直四棱柱ABCD-ABC1D1的底面是菱形，则AC与BD所成的角是() C B A.90° B.60° C.45° D.30 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，O为BD的中点，直线A1C交 平面C1BD于点M,则下列结论正确的是() D A.C1,M,O三点共线 B.A1C1平面C1BD C.直线AC,与平面ABCD,所成的角为 D.B到平面C,BD的距离为9 6设1，m是两条不同的直线，α是一个平面.下列命题正确的是() A.若11m,mca,则11a B.若11a,1/m,则m1a C.若/a,mca,则1/m D.若/a,m1a,则11m 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为 D 第2页，共4页 8.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A'BD的位 置，使点A'在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A'B与CD所 成角的大小为 D 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.(本小题14分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=V2,∠ACB=90°.AA1=2,D为AB 的中点. C B D (①)求证：AC⊥BC1: (II)求证：AC1/∥平面B1CD, (II)求异面直线AC1与B,C所成角的余弦值. 第3页，共4页 10.(本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PDI平面ABCD,PD=DC=BC=V2,AB=2V2, AB/DC,∠BCD=90°. D D以 A B (I)求证：PC⊥BC: (II)求点A到平面PBC的距离. 第4页，共4页