专题04 平面向量的最值与范围问题4种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦平面向量最值与范围问题，按数量积、线性系数、模长、夹角4类考法系统归类，通过多样化题型构建从概念应用到综合问题的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量数量积的最值范围|12题|结合矩形、圆、菱形等几何图形，考查动态点的数量积范围|以数量积定义为基础，通过坐标法或几何意义转化为函数最值| |线性关系中系数的最值范围|10题|涉及动点在线段/区域运动，求线性表示系数范围|基于向量线性运算，利用共线定理或坐标参数法建立不等式| |向量模长的最值范围|7题|含单位向量、正多边形、梯形等背景，求模长取值范围|由模长公式出发，结合图形几何性质或三角换元转化| |与向量夹角有关的最值范围|8题|判断钝角/锐角条件，结合投影向量考查夹角范围|依据夹角公式，关注数量积符号与共线情况的分类讨论|

专题04 平面向量的最值与范围问题4种常考考法归类 题型一 向量数量积的最值范围 题型三 向量模长的最值范围 题型二 线性关系中系数的最值范围 题型四 与向量夹角有关的最值范围 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的最值范围 1．（2026高一·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·海南海口·阶段检测）如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·福建泉州·期中）已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________. 6．（2026高一·江苏盐城·期中）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为，设为线段上任意一点，则的取值范围是_____． 7．（2026·天津河西·模拟预测）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 8．【多选】（2026高一·广东江门·期中）已知向量，（），则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，的值为 C．的取值范围为 D．存在，使得 9．【多选】（2026高三·河北衡水·期中）如图，在四边形中，，则（    ） A．当时， B．当时， C．的取值范围是 D．的取值范围为 10．（2026高一·广东清远·期中）如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． (1)若，证明：； (2)若，，求a的值； (3)若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 11．（2026高一·陕西商洛·期中）如图，在菱形中，． (1)用表示； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 12．（2026高一·江西赣州·期中）如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. (1)若，用表示； (2)求的取值范围； (3)延长到点，使得，若，求. 题型2 线性关系中系数的最值范围 13．（2026高三·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 14．（2026高一·重庆·阶段检测）如图，在正六边形中，延长，相交于点，线段的中点为，为线段上一动点（不包括端点），连接，相交于点，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高一·江苏淮安·阶段检测）在边长为5的正方形中，，则下列结论正确的是（    ） A．若点在上，则 B．的取值范围为 C．若点在上，则的最小值为 D．若，，则在上的投影向量为 16．【多选】（2026高一·云南曲靖·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 17．（2026高一·重庆·期中）如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 18．（2026高一·重庆·期中）如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 19．（2026高一·四川内江·阶段检测）如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若点G在线段上运动，设，求的取值范围． 20．（2026高一·四川资阳·阶段检测）如图所示，已知梯形中，，，E为线段的中点，且线段与的交点为F，设，． (1)用表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 21．（2026高一·浙江·期中）如图，在等腰梯形中，,交于. (1)当时， （i）用和表示； （ii）求； (2)设，求的取值范围. 22．（2026高一·四川广安·阶段检测）已知．求： (1)； (2)． (3)如图，，点在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求的取值范围． 题型3 向量模长的最值范围 23．（2026高一·河南南阳·期中）已知，，则的取值范围为_____________． 24．（2026·上海崇明·模拟预测）已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 25．（2026高一·山西晋中·期中）已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026高一·上海·期中）已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 27．（2026高一·宁夏银川·期中）如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 28．（2026高一·山东·期中）如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则______________，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为________________. 29．（2026高一·河北衡水·期中）在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型4 与向量夹角有关的最值范围 30．（2026高一·四川达州·期中）已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．【多选】（2026高一·江苏常州·期中）已知平面向量，则下列说法错误的是（） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 32．【多选】（2026·山东菏泽·模拟预测）已知平面向量，，则下列说法错误的有（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 33．【多选】（2026高一·江苏无锡·期中）已知向量，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．向量在方向上的投影向量的坐标为 D．若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 34．【多选】（2026高一·四川资阳·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围为 C．若且，则最大值为 D．若，则的最小值为 35．（2026高一·河南濮阳·阶段检测）已知单位向量与的夹角为，向量，． (1)若，求实数k的值； (2)若，与的夹角为钝角，求实数k的取值范围； 36．（2026高一·江苏无锡·期中）已知平面直角坐标系中，向量，. (1)求在上的投影向量； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. $专题04 平面向量的最值与范围问题4种常考考法归类 题型一 向量数量积的最值范围 题型三 向量模长的最值范围 题型二 线性关系中系数的最值范围 题型四 与向量夹角有关的最值范围 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 向量数量积的最值范围 1．（2026高一·安徽阜阳·阶段检测）如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取 中点 ，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 2．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积，结合点的位置求解即可. 【详解】如图，设圆的圆心为点，，则为等边三角形. 过点作，交于点， 当点在点右侧时， 当点在点左侧时，； 当点在点正上方时，，. 当点在点右侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，即； 当点在点左侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，则， 综上，的取值范围为. 3．（2026高一·河北石家庄·阶段检测）已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点D，则，， 所以， 因为，所以. 4．（2026高一·海南海口·阶段检测）如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】由 因为，所以是正三角形， 在中，， ， 在上，， ，则取值范围是 5．（2026高一·福建泉州·期中）已知三边的垂直平分线交于点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用线性关系表示出和，代入原式并转化为关于的函数式，求二次函数取值范围即可 【详解】如图所示，由题知是的外心，取中点，连接， 可得，故. 因为， 所以， 由是的中线，可得，且， 故. 已知，可得：， 由，，可得， 将代入目标式： ， 设，则，为开口向上的二次函数，对称轴为，， 当时，取最小值（此时，三角形存在，最小值可取）； 当时，，但，故.因此的取值范围是. 6．（2026高一·江苏盐城·期中）如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为，设为线段上任意一点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算以及二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，设点，其中，，， 则， 令，其中， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，故，即. 所以的取值范围是. 7．（2026·天津河西·模拟预测）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 8．【多选】（2026高一·广东江门·期中）已知向量，（），则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，的值为 C．的取值范围为 D．存在，使得 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 因为，所以的值为，故B正确； 对于C，， 因为，所以，， 所以，所以的取值范围为，故C正确； 对于D，因为，所以， ， 若，则，得. 又因为，所以，所以无解， 所以不存在，使得，故D错误. 9．【多选】（2026高三·河北衡水·期中）如图，在四边形中，，则（    ） A．当时， B．当时， C．的取值范围是 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】建系，确定各点坐标，结合向量数量积的坐标表示，及两点间距离公式逐项判断即可. 【详解】 由题意如图建系，可得， 过点作轴，垂足为， 因为，则， 又，所以， 又，， 所以直角直角，即， 则 选项A，当 时，，则 ​，A正确； 选项B，当 时，， 则 ，， 故 ，B错误； 选项C，，， 则： ， 因为，由二次函数单调性可得 ， C错误； 选项D，， 则： ， 时，二次函数对称轴为， 由单调性可知， 即的取值范围是 ，D正确. 10．（2026高一·广东清远·期中）如图，在中，点P，Q分别在边AB，BC上，点P为AB的中点且CP，AQ交于点D． (1)若，证明：； (2)若，，求a的值； (3)若是边长为2的正三角形，点Q是与B，C不重合的动点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）用中点公式表示 ，结合 ，再通过向量减法得到 ； （2）引入未知的比例系数，将相关向量都用两个不共线的基底表示，利用向量相等的条件，将各分向量表达式代入，得到关于两个未知数的方程组，解方程组求得目标系数. （3）设 ，将数量积表示为 的二次函数，由 求值域. 【详解】（1）证明：因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以. （2）设， 由， 得， 即， 即， 因为，不共线，所以，解得. （3）因为是边长为2的正三角形，点为的中点， 所以，，， 设， 则， 因为，所以， 所以的取值范围是. 11．（2026高一·陕西商洛·期中）如图，在菱形中，． (1)用表示； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得； （2）结合（1）中所得，利用转化法计算即可得解； （3）借助转化法可得，从而只需计算范围即可得解，由图可得与重合时，最小，此时，与重合时，最大，此时可借助余弦定理求出最大值，即可得解. 【详解】（1）由， 则，； （2）由（1）可知，， 则 ， 因为，，则， 则， 故； （3）由题可知， 则． 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为， 当与重合时，最大，取得最大值． 如图连接，在中，由余弦定理， 得， 所以的最大值为， 故的取值范围为. 12．（2026高一·江西赣州·期中）如图，在长方形中，是的中点，是线段上的点（含端点）. (1)若，用表示； (2)求的取值范围； (3)延长到点，使得，若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量基本定理可得答案； （2）方法一：为基底，表达出，得到关于的关系式，求出最值；方法二：利用向量的投影进行求解，得到最值； （3）以为基底，表达出，两边平方后可得，求出答案 【详解】（1）因为，所以. 又是的中点，所以， 从而. （2）（方法一）因为是线段上的点， 所以. 又，所以 . 由，得，故的取值范围为. （方法二），分别记在上的射影为. 由向量的投影可知，当运动到点处时，取得最小值， 当运动到点处时，取得最大值. 记的交点为，易得， 则， 则， 则，故的取值范围为. （3）由题可知， 因为，所以. 又，所以， 则，从而， ， 则， 则. 题型2 线性关系中系数的最值范围 13．（2026高三·上海·阶段检测）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点、，根据平面向量基本定理，讨论点在点处与处时的值，从而得到的取值范围. 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 14．（2026高一·重庆·阶段检测）如图，在正六边形中，延长，相交于点，线段的中点为，为线段上一动点（不包括端点），连接，相交于点，若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用为基底，结合，然后利用三点共线得出的关系，从而把化为关于的函数，由可求得其范围. 【详解】因为是正六边形，所以， ， ， ， 设，则 ， 又不共线，所以，解得， 因为三点共线，所以， 所以，变形得， 因为是的中点，所以，则，令，即. ， 因为，所以， 结合二次函数性质得， 所以的范围是. 15．【多选】（2026高一·江苏淮安·阶段检测）在边长为5的正方形中，，则下列结论正确的是（    ） A．若点在上，则 B．的取值范围为 C．若点在上，则的最小值为 D．若，，则在上的投影向量为 【答案】AC 【分析】根据平面向量共线基本定理可判断A；建立平面直角坐标系，利用向量的线性坐标运算计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；根据投影向量计算公式及数量积运算律计算可判断D. 【详解】A，因为点在上，则三点共线，所以，故A正确； B，如图建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，，，设， 因为，所以， 即，所以， 因为，所以，则，故B错误； C，，当且仅当时取等号， 所以当在线段上时，的最小值为，故C正确； D，， ， 则在上的投影向量为，故D错误. 16．【多选】（2026高一·云南曲靖·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】利用平面向量的线性运算和基本定理，结合投影向量定义、二次函数性质求解即可. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，因OM交AC于N，设， 则由选项A知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即，B错误； 对于C，设， ， 又有， 所以向量在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，由已知， 因D是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为，即， 因为在上单调递增， 所以当时，，当时， 所以的取值范围是，D错误． 17．（2026高一·重庆·期中）如图，在中，D是的中点，，过O的直线分别与边，相交于点P，Q（含，端点），设（），（）. (1)设，求的值； (2)求的最小值； (3)若是边长为1的等边三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得和，代入即可求解； （2）根据，，三点共线可求得，利用“1”的代换和基本不等式即可求解； （3）以，为基底可表示出，，平方后相加，整理可得到关于的二次函数，根据（2）的结论有，，，换元，可得出，然后根据对勾函数的单调性可得出，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为D是的中点，所以， 又因为，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 因为，，三点共线，所以， 又，， ，当且仅当，即，时等号成立， 的最小值为3. （3）， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，即， ， 由，得，， 因为，所以，又，所以，即， 所以，又，所以， 令，，则，， 所以， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，，所以，所以， 因为， 所以根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的取值范围为. 18．（2026高一·重庆·期中）如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定坐标及、，设点坐标，由用表示，再结合列方程组，求解. （2）确定矩形各顶点与坐标，由用表示，再由联立方程，推出，根据范围求出取值区间. （3）由三点共线得，设，写出各点与相关向量，把用线性表示，利用建立等式，求出关于的解析式，化简后借助函数单调性求得最大值. 【详解】（1）如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 则，所以， 设点，则，由，得， 所以，即， 设，则， 所以，解得； （2）易知， 由得：， 设，则， 所以，可得. 由于，所以； （3）因为三点共线，且， 所以， 设. 则. 所以， 所以， 又，，所以， 所以， 所以， 若，则，若，则， 由对勾函数性质可知当时，单调递减， 故当时，取得最大值为. 综上所述：的最大值为. 19．（2026高一·四川内江·阶段检测）如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若点G在线段上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合已知条件，用基底法表示向量； （2）用基底法表示向量，再利用平面向量基本定理构造方程组求出相关比例； （3）用基底法表示向量得出的表达式，进而结合对勾函数性质求值域． 【详解】（1），，， ， E为线段BC的中点， ， ． （2）设，则，， ， 又共线， 存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即． （3）设，； ，， ， ， ， ，解得， ，， 令， 函数在上单调递增，如下图所示： 当时，取最小值，最小值为1； 当时，取最大值，最大值为； ． 20．（2026高一·四川资阳·阶段检测）如图所示，已知梯形中，，，E为线段的中点，且线段与的交点为F，设，． (1)用表示； (2)求的值； (3)若，点G在线段CD上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量运算结合基本定理可得答案； （2）设出两线段的关系，利用基本定理可得答案； （3）利用基底得出的关系，结合对勾函数的性质可得范围． 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 又E为线段的中点， 所以． （2）设，则， ， 因为共线，所以存在一个非零实数，使得，即， 所以，两式相除可得， 所以． （3）设，，， ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 由对勾函数的性质可得，当时，． 21．（2026高一·浙江·期中）如图，在等腰梯形中，,交于. (1)当时， （i）用和表示； （ii）求； (2)设，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （ii）根据三点共线的平面向量性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合反比例型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）（i）依题意， ， 所以； （ii）设，由共线可得①， 又三点共线，所以，则②， 联立①②解得：， 所以， 故，所以； （2）因为， 所以 所以. 又因为， 所以根据条件 ， 又因为， 所以有，可得：， 所以， 因为函数在上单调递减，且， 所以. 22．（2026高一·四川广安·阶段检测）已知．求： (1)； (2)． (3)如图，，点在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. （3）利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1）由，得，即， 则，所以. （2）由（1）得. （3）由点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动， 得存在，使 ，而， 则，则，由，得， 所以实数的取值范围为. 题型3 向量模长的最值范围 23．（2026高一·河南南阳·期中）已知，，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当与方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为3. 当与方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为1. 由上述计算可知的最小值为1，最大值为3，所以的取值范围是. 24．（2026·上海崇明·模拟预测）已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由及向量模长公式表示出，由数量积性质得到的范围，再根据向量模长公式及数量积性质求的取值范围. 【详解】由得，， 又，则， 因为，则， 即，解得， ，因为， 又，， 所以， 因为，所以. 25．（2026高一·山西晋中·期中）已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，结合的取值，推导三个点积的正负分布情况，排除不可能的组合；令，，，设，，，根据点积的结果确定的取值范围；根据向量的坐标表示形式，计算关于的函数表达式，根据的取值范围，进而得到的取值范围. 【详解】若，则，即，，，不符合题意； ，令，，； 由知，，，. 设，，； 则，，； ， 则； ，，得， ，得； 即. 26．（2026高一·上海·期中）已知点是所在平面上一点，且满足为线段中点，且，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量条件转化为代数方程，利用点在线段上的参数表示和向量数量积求出参数范围，再将目标向量模长转化为二次函数，结合定义域分析其取值范围. 【详解】由，可知点在线段上。 因为，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设，，则，为中点，故，， 由，得，整理得，将代入， 化简得，则， 由得或，由得或，所以或， 则， 所以 ， 该二次函数开口向上，对称轴， 当时，该二次函数单调递减，，当时，函数递增，， 所以，故 综上，的取值范围是. 27．（2026高一·宁夏银川·期中）如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】如图：过作于点，以为原点，以所在直线分别为轴建立直角坐标系，则，直线的方程为. 设,,，，即， 当或时取得最大值； 当时取得最小值.所以的取值范围是. 28．（2026高一·山东·期中）如图，点为边长为1的正六边形的边上一点，若点与点重合，则______________，若点在边上（边除外）运动，则的取值范围为________________. 【答案】 2 【分析】转化，再转化，根据几何图形得，求的取值范围. 【详解】如图，延长交于点，则是等边三角形， 当点和点重合时，； 当点在边上（边除外）运动，则， 显然的最小值是点到的距离，为， 当点由点运动到点，变大，这段运动过程的最大值是， 中根据余弦定理可知，， 显然，所以由点运动到点的过程中，当点是的中点时， ， 此时最短，这段过程的最大值是， 由点到点的运动过程，显然变小，所以这段过程的最大值为， 所以点由点到点的过程中的最大值为， 所以的取值范围为. 29．（2026高一·河北衡水·期中）在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 题型4 与向量夹角有关的最值范围 30．（2026高一·四川达州·期中）已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量，由向量，的夹角是钝角， 得，解得或， 所以的取值范围是. 31．【多选】（2026高一·江苏常州·期中）已知平面向量，则下列说法错误的是（） A．当时， B．当时， C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】先由向量平行坐标公式求出时有两解，判定A错误；代入算出夹角余弦值为，知B错误；把代入，利用投影向量公式求得结果为，C正确；由夹角为钝角需数量积小于0且不共线，解不等式并剔除共线情况判断D错误. 【详解】已知，，,逐一分析选项. 选项A：若，则， 整理得，解得或，A错误. 选项B：当时，，， 则，,， 所以，B错误. 选项C：当时，，， 则，， 则投影向量为，C正确. 选项D：夹角为钝角，则且不反向共线. 由得， 当时，，，两向量反向共线，夹角为平角不是钝角， 故正确范围为，D错误. 32．【多选】（2026·山东菏泽·模拟预测）已知平面向量，，则下列说法错误的有（    ） A．当时， B．若，则或 C．当时，在方向上的投影向量为 D．若和的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】根据向量共线求解选项A.根据向量垂直求解选项B.根据投影向量求解选项C.根据向量数量积求解即可. 【详解】对于A，因为，，， 所以或，A错误； 对于B.，则，化简得， 解得或，B正确. 对于C.当时，，， 所以在方向的投影向量为，C正确； 对于D，因为与的夹角为钝角，所以，且，不反向平行， 由，解得，由可得或， 当时，，，，反向平行，夹角不是钝角， 当时，，，，方向相同， 所以若和的夹角为钝角，则的取值范围为，D错误. 33．【多选】（2026高一·江苏无锡·期中）已知向量，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．向量在方向上的投影向量的坐标为 D．若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确. 【详解】对于A，由题意可得， 若，则，得，故A正确； 对于B，由题意可得， 若，则，解得，所以，故B正确； 对于C，由题意可得，， 则向量在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D，由题意得，， ， 若向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 且向量与向量不共线，则，即， 所以的取值范围是，故D正确. 34．【多选】（2026高一·四川资阳·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围为 C．若且，则最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D. 【详解】当、、能围成三角形，且、、时，有， 则，当、、共线且同向时，有，故， 故的取值范围为，故A正确； 若，则，则当与反向时，取最大值， ，当与同向时，取最小值，，故取值范围为，故B正确； ，即，则可设，， 则，其中，故最大值为，故C错误； ，由，则， 则，故， 故的最小值为. 35．（2026高一·河南濮阳·阶段检测）已知单位向量与的夹角为，向量，． (1)若，求实数k的值； (2)若，与的夹角为钝角，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量共线定理列方程求解即可. （2）问题转化为且与不共线列式求值. 【详解】（1）因为，所以存在实数，使，即， 由题知，与为不共线的单位向量， 所以，解得. （2）当时，， 因为与的夹角为钝角，所以且与不共线， 所以，即， 解得， 由（1）知，所以的取值范围为. 36．（2026高一·江苏无锡·期中）已知平面直角坐标系中，向量，. (1)求在上的投影向量； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)且. 【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案； （2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案； （3）由题可得且与不平行，据此可得答案. 【详解】（1）在上的投影向量为：， 又，， 则； （2）由题可得， 设，因，则. 因，则，从而， 则或 （3）由题可得，因与的夹角为锐角， 则且与不平行， 从而且. $