专题05 平面向量的 “四心” 问题及奔驰定理10种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦平面向量“四心”判定、性质及奔驰定理，以10类题型构建“概念判断-性质应用-综合拓展”的递进训练体系，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重心/外心/内心/垂心的判断|每模块8-12题|向量线性运算、模长关系、单位向量法|从定义出发，通过向量表达式判定“四心”本质特征| |“四心”性质应用|每模块5-8题|中线分比、角平分线定理、垂直向量转化|性质与几何特征结合，提升模型应用能力| |“四心”综合与奔驰定理|10-15题|面积比例关系、欧拉线定理、定理逆用|整合“四心”内在联系，以奔驰定理为桥梁实现知识迁移|

专题05 平面向量的 “四心” 问题及奔驰定理 10种常考考法归类 题型一 三角形重心的判断 题型六 三角形内心性质的应用 题型二 三角形重心性质的应用 题型七 三角形垂心的判断 题型三 三角形外心的判断 题型八 三角形垂心性质的应用 题型四 三角形外心性质的应用 题型九 三角形的“四心”问题的综合 题型五 三角形内心的判断 题型十 奔驰定理与三角形的“四心” 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三角形重心的判断 1．（2026高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 3．（2026高一·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 4．（2026高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 5．（2026高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 6．（2026·全国·模拟预测）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 7．（2026高一·四川自贡·期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．（2026高一·云南玉溪·阶段检测）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 9．（2026高一·全国·课后作业）若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 10．（2026高一·山西临汾·阶段检测）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的__________.（选填：外心、内心、垂心、重心） 11．（2026高一·山东德州·期末）已知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 12．（2026高一·全国·课堂例题）已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 13．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 题型2 三角形重心性质的应用 14．（2026高一·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则___________；___________.（用向量、表示）    15．（2026高三·全国·一轮复习）在中，点E为的重心，若设，则可用表示为______． 16．（2026·吉林·模拟预测）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（2026高一·全国·课后作业）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 19．【多选】（2026高三·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·山东济宁·模拟预测）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 21．（2026高一·福建宁德·期中）在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 题型3 三角形外心的判断 22．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 23．（2026高三·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 24．（2026高一·辽宁葫芦岛·期末）已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 25．（2026高一·四川眉山·阶段检测）设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 26．（2026高一·广东东莞·期中）点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 27．（2026高一·全国·暑假作业）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 28．（2026高三·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型4 三角形外心性质的应用 29．（2026高三·全国·一轮复习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 30．（2026高三·安徽·阶段检测）已知点是的外心，，，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026高三·全国·阶段检测）中，，，为的重心，为的外心，则______． 32．（2026高三·北京·阶段检测）在中，，，，为的外心，若，、，则（    ） A． B． C． D． 33．（2026·四川成都·模拟预测）在中，，，，为的外心，若，，，则（    ） A． B． C． D． 34．（2026高三·浙江杭州·期中）设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 35．（2026高一·山东泰安·期末）已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式： ①；②；③；④ 其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）. 36．【多选】（2026高一·重庆万州·阶段检测）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 题型5 三角形内心的判断 37．（2026高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 38．（2026高三·全国·专题练习）已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 39．（2026高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 40．（2026高一·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 41．（2026高一·河南开封·阶段检测）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 42．（2026高一·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 43．（2026高一·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 44．【多选】（2026高一·广东·期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 45．（2026高三·全国·二轮复习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 46．（2026高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 47．（2026高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 题型6 三角形内心性质的应用 48．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 49．（2026高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则__________. 50．（2026高一·云南红河·阶段检测）已知的内心为，且，则______． 51．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 52．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，则______，______． 53．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______． 题型7 三角形垂心的判断 54．【多选】（2026高一·宁夏银川·期中）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 55．【多选】（2026高二·海南·阶段检测）下列命题中正确的是（） A．已知向量，则，使得 B．设是非零向量，则是成立的必要不充分条件 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若为的外心，，则为的垂心 56．（2026高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 57．（2026高三·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 58．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型8 三角形垂心性质的应用 59．（2026高一·湖北武汉·期中）已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 60．（2026高二·湖南常德·阶段检测）若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 61．（2026高一·全国·暑假作业）如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 62．（2026高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则______． 63．（2026高三·全国·专题练习）已知H是的垂心，满足，且，则__________． 64．（2026高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 题型9 三角形的“四心”问题的综合 65．（2026高一·安徽马鞍山·阶段检测）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 66．【多选】（2026高一·山东·阶段检测）已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 67．（2026高一·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 68．【多选】（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 69．（2026高一·广西南宁·阶段检测）已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 70．（2026高一·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 71．【多选】（2026高一·浙江温州·期中）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 72．【多选】（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 73．【多选】（2026高一·贵州黔南·阶段检测）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 74．【多选】（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 75．【多选】（2026高一·四川南充·期中）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 76．【多选】（2026高一·安徽宿州·期中）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．满足，则点是的外心 B．满足，则点是的内心 C．满足，则点是的垂心 D．满足，且，则为等边三角形 77．【多选】（2026高一·山东临沂·阶段检测）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．，则为内心 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 题型10 奔驰定理与三角形的“四心” 78．（2026高一·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 79．（2026高一·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 80．（2026高一·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 81．【多选】（2026高一·广东·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 82．【多选】（2026高一·重庆万州·期中）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 83．【多选】（2026高三·河北保定·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 84．【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 85．【多选】（2026高一·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 86．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 87．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. $专题05 平面向量的 “四心” 问题及奔驰定理 10种常考考法归类 题型一 三角形重心的判断 题型六 三角形内心性质的应用 题型二 三角形重心性质的应用 题型七 三角形垂心的判断 题型三 三角形外心的判断 题型八 三角形垂心性质的应用 题型四 三角形外心性质的应用 题型九 三角形的“四心”问题的综合 题型五 三角形内心的判断 题型十 奔驰定理与三角形的“四心” 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三角形重心的判断 1．（2026高三·全国·一轮复习）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【详解】由已知，得，即，根据平行四边形法则，知（D为的中点），所以点P的轨迹必过的重心． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 3．（2026高一·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】本题可通过向量的线性运算，将的表达式进行变形，再根据向量共线的性质即可确定点的轨迹经过的特殊点. 【详解】设的中点为， 则， ∵， ∴， 而， ∴三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心， 故选：C. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 6．（2026·全国·模拟预测）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【详解】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A 7．（2026高一·四川自贡·期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】设为的中点，由向量的线性运算可得，代入已知条件计算可知，进而可得答案. 【详解】如图：设为的中点， 因为 由可得，， 所以三点共线，因为， 所以点在射线上， 所以点的轨迹一定通过的重心， 故选：C. 8．（2026高一·云南玉溪·阶段检测）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 9．（2026高一·全国·课后作业）若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答. 【详解】取线段的中点，连接，则，而，    因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点， 所以是的重心. 故选：D 10．（2026高一·山西临汾·阶段检测）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的__________.（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【分析】过作，垂足为，取中点为，连接，根据向量的线性运算，即可判断. 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 11．（2026高一·山东德州·期末）已知是所在平面内的一动点且满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】A 【分析】作交与点，不妨设的底边上的中线，由可得答案. 【详解】 作交与点，不妨设的底边上的中线， 所以， 所以，因为， 则动点的轨迹一定通过的重心， 故选：A. 12．（2026高一·全国·课堂例题）已知，求证： (1)若点为的重心，则； (2)已知点为内一点，若，则点为的重心． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算法则及重心的性质可得； （2）作平行四边形，设对角线与交于点，则是的中点，根据平面向量的线性运算法则，可证四点共线，即在中线上，同理可证点在其他两条中线上，从而证得点为的重心． 【详解】（1）因为点为的重心，所以连接，并延长交于点，则为的中点，且，所以. 又， 所以. （2）如图2所示，作平行四边形， 设对角线与交于点，则， 即与是相反向量，所以，，，四点共线． 又点是的中点，所以点在的中线上， 同理可证，点也在的另外两条中线上．所以点为的重心． 13．（2026高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 题型2 三角形重心性质的应用 14．（2026高一·上海·课后作业）如图，已知，，是中线，G为重心，则___________；___________.（用向量、表示）    【答案】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得，再由重心的性质得到，从而得解. 【详解】因为是中线，所以为的中点，所以， 所以， 又G为的重心，所以. 故答案为：； 15．（2026高三·全国·一轮复习）在中，点E为的重心，若设，则可用表示为______． 【答案】 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求解. 【详解】由于的重心E为三角形三条中线的交点，为中线的三等分点， 设D为的中点，连接，则E在上， 所以． 故答案为： 16．（2026·吉林·模拟预测）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 18．【多选】（2026高一·全国·课后作业）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合三角形重心的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，点为的重心，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D正确. 故选：CD． 19．【多选】（2026高三·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答. 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 20．（2026·山东济宁·模拟预测）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 21．（2026高一·福建宁德·期中）在中，是重心，过的直线交于，交于，设 ，，且，，则的值为________. 【答案】3 【详解】因为三角形重心是三条中线的交点，所以有， 又因为，，所以，. 于是可得， 又因为三点共线，所以有，得. 题型3 三角形外心的判断 22．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. 23．（2026高三·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（    ） A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心 【答案】A 【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案. 【详解】解：设中点为，因为， 所以，即， 因为有公共点， 所以，三点共线，即在的中线， 同理可得在的三条中线上，即为的重心； 因为， 所以，点为的外接圆圆心，即为的外心 综上，点依次是的重心，外心. 故选：A 24．（2026高一·辽宁葫芦岛·期末）已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 25．（2026高一·四川眉山·阶段检测）设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点分别为，可得，再由已知可得，得，同理可得，即可得出结论. 【详解】设的中点分别为， ， ， 所以，点在线段的垂直平分线上， 同理点在线段的垂直平分线上， 所以为的外心. 故选:B. 【点睛】本题考查三角形外心的向量表示，考查向量线性运算以及垂直的向量表示，考查数形结合思想，属于中档题. 26．（2026高一·广东东莞·期中）点是所在平面内一点，若，则点的轨迹经过的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】D 【详解】取线段的中点，则， 因为，所以， 则，所以， 则点的轨迹经过的外心. 27．（2026高一·全国·暑假作业）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的（     ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】为的中点，由得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故选：B 28．（2026高三·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】取中点D，根据条件化简得，所以点P在中垂线上，所以，所以为三边中垂线交点，即为的外心. 【详解】    如图，取中点D， . ， ， ， ， ， 点P在中垂线上. ，又， 所以 为的外心. 故选：A. 题型4 三角形外心性质的应用 29．（2026高三·全国·一轮复习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 30．（2026高三·安徽·阶段检测）已知点是的外心，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先推导出外心的向量性质，，然后由即可计算出答案. 【详解】如下图所示： 取弦的中点，则，，同理可得， . 故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及三角形外心的向量性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 31．（2026高三·全国·阶段检测）中，，，为的重心，为的外心，则______． 【答案】 【解析】根据三角形的外心的性质，得出，，由三角形的重心的性质，得出，通过向量的数量积运算，即可求出的值. 【详解】解：因为为的重心，为的外心， 所以，， 所以 ， 即. 故答案为:． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力. 32．（2026高三·北京·阶段检测）在中，，，，为的外心，若，、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值. 【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且， ， 同理可得， ， 由，可得，即， 解得，，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 33．（2026·四川成都·模拟预测）在中，，，，为的外心，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值. 【详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，， 过分别做，的平行线，， 由题知， 则外接圆半径， 因为，所以， 又因为，所以，， 由题可知， 所以，， 所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 34．（2026高三·浙江杭州·期中）设O是的外心，满足，，若，则的面积是 A．4 B． C．8 D．6 【答案】B 【分析】取AC中点D,由以及题设条件得到，计算，得到，由三角形面积公式求解即可. 【详解】取AC中点D，因为O是的外心，所以 则 ，解得： 所以 即 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题. 35．（2026高一·山东泰安·期末）已知、、分别是的边、、的中点，为的外心，且，给出下列等式： ①；②；③；④ 其中正确的等式是_________（填写所有正确等式的编号）. 【答案】①②④. 【分析】根据向量的中点性质与向量的加法运算,可判断①②③. 【详解】、、分别是的边、、的中点,为的外心,且,设三条中线交点为G,如下图所示: 对于①,由三角形中线性质及向量加法运算可知 ,所以①正确; 对于②,,所以②正确; 对于③,,所以③错误; 对于, 由外心性质可知, 所以 故正确. 综上可知,正确的为①②④. 故答案为: ①②④. 【点睛】本题考查了向量的线性运算,三角形外心的性质及应用,属于基础题. 36．【多选】（2026高一·重庆万州·阶段检测）已知分别为的外心和重心，为平面内一点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．为内心 C． D．对于平面内任意一点，总有 【答案】ACD 【分析】根据三角形内心、外心、重心的几何性质及向量的几何关系得到相关向量的线性关系，判断各项的正误. 【详解】A：由为的重心，则，，， 所以，即，正确； B：，由为外心，所以， 即，同理，故为垂心，错误. C：，所以， 因为，故，而， 所以，即，正确. D：，所以， 因为，故，正确. 故选：ACD 题型5 三角形内心的判断 37．（2026高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 38．（2026高三·全国·专题练习）已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 39．（2026高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 40．（2026高一·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 41．（2026高一·河南开封·阶段检测）已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据，的几何意义及向量加法运算法则得到射线在角A的平分线所在射线上，从而得到答案. 【详解】，分别表示的是方向上的单位向量，由向量加法运算法则可知：射线在角A的平分线所在射线上，故射线经过的内心. 故选：A 42．（2026高一·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的__________.（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 43．（2026高一·广西崇左·期中）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 44．【多选】（2026高一·广东·期中）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的形状为等边三角形 B．若，则点三点共线 C．若点是的重心，则 D．若所在平面内一动点满足：，则的轨迹一定通过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A，根据共线定理的推论即可判断B，根据重心的性质即可判断C，根据向量加法的平行四边形法则即可判断D. 【详解】对于A，，为等边三角形，故A正确； 对于B，，，、、三点不共线，故B错误； 对于C，设，，分别为，，的中点，则， ，， ，即，故C正确； 对于D，，，，，在的角平分线上，的轨迹一定通过的内心，故D正确． 故选：ACD． 45．（2026高三·全国·二轮复习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【分析】条件可转化为 ， ，结合数量积的定义证明 ， ，由此确定的位置. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 ， ． 所以，， 又， 所以 ， ， 所以 在 的平分线上， 也在 的平分线上， 所以点 是 的内心． 故选：C． 46．（2026高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 47．（2026高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的向量等式，可得，结合两个单位向量的和组成的菱形的性质，即可判断点在的角平分线上即可. 【详解】由可得：， 如图，设,,则， 作,则四边形为菱形，故平分, 又， 即点在的角平分线上，故点的轨迹过内心． 题型6 三角形内心性质的应用 48．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案. 【详解】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点. 在三角形和三角形中，由正弦定理得： ， 由于，所以，， 同理可得，， . 所以 ， 则. 故选：C 49．（2026高三·全国·专题练习）在中，I为的内心，若，则__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 50．（2026高一·云南红河·阶段检测）已知的内心为，且，则______． 【答案】 【分析】借助奔驰定理，以此得出三角形三边之比，然后利用余弦定理计算即可 【详解】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 51．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______. 【答案】 【分析】根据为的内心，可以得到等式，由，，分别表示，，得到关于，，的等式，令两个等式相对应的系数相等即可. 【详解】插入分点，得， 即， 又，从而有，得， 所以， 故答案为：. 52．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，则______，______． 【答案】 /0.625 /0.3125 【分析】解法1：根据平面向量共线定理即可求解. 解法2：根据题意，以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，根据坐标运算即可求解. 【详解】解法1： ， 设为与的交点，如图所示， 由角平分线的性质知，， 故， 则有，解得. 解法2： 以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，如图， 则，，． 又设，则，，． 因为是内心， 所以， 又，得，即，则， 所以，从而， 解得. 故答案为：. 53．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，，，，，则______． 【答案】/ 【分析】先判断的形状，确定其内切圆半径，明确相关线段的长度，用为基底，表示即可. 【详解】如图：因为，所以为直角三角形. 设内切圆半径为． 则. 设内切圆与边，的切点分别为. 则. 又， 所以. 故答案为： 题型7 三角形垂心的判断 54．【多选】（2026高一·宁夏银川·期中）已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（ ） A．若，则为的垂心 B．若，则为的外心 C．若为的重心，是边上的中线，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的加法运算与三角形三心的性质及判定条件依次判断即可. 【详解】对于A，，则，所以， 同理可得，，由此可知，是的垂心，故A正确； 对于B，由于，所以为的外心，故B正确； 对于C，如图所示： 为的重心，是边上的中线，则，即，故C错误； 对于D，，即， 设的中点为，根据向量加法的平行四边形法则，有， 因，则得，说明在的中线上， 同理可得，在的中线上，因此是的重心， 根据重心的性质，有，故D正确. 55．【多选】（2026高二·海南·阶段检测）下列命题中正确的是（） A．已知向量，则，使得 B．设是非零向量，则是成立的必要不充分条件 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若为的外心，，则为的垂心 【答案】ABD 【详解】选项A：两个平面向量平行的充要条件是；代入得：，解得，存在这样的实数，故A正确； 选项B：是与同方向的单位向量，等式仅说明与同向，但不能推出； 反之若，则与同向，单位向量一定相等，因此是的必要不充分条件，B正确； 选项C：当与反向夹角为时，，但不是钝角，C错误； 选项D：因为是外心，故（外接圆半径）； 因为，，， 所以， 即； 所以，又， 则， 因此，同理可得，，故是的垂心，D正确. 56．（2026高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 57．（2026高三·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 58．（2026高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 题型8 三角形垂心性质的应用 59．（2026高一·湖北武汉·期中）已知为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得，最后求. 【详解】因为是的垂心，所以， 因为， 所以， ，即，即， ， ， ， 所以， . 60．（2026高二·湖南常德·阶段检测）若点O是锐角三角形的垂心，且，，则的面积为______. 【答案】 【分析】作于，根据为的垂心得出，再由，求出与的关系，再由三角形面积公式求面积. 【详解】过点作于，因为为垂心，所以三点共线， 在中，，所以， 所以. 在中，， 所以，又，所以， 所以， 因此. 故答案： 61．（2026高一·全国·暑假作业）如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值. 【详解】是的垂心，延长交与点， 设， ， 同理可得，， 又，， 又，， 不妨设，其中， ， ，解得或， 当时，此时，则都是钝角， 则，矛盾. 故，则，是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 62．（2026高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则______． 【答案】 【分析】设，根据向量线性运算得到，并结合余弦定理求出，，，根据得到方程组，求出，，从而得到答案. 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 故答案为： 63．（2026高三·全国·专题练习）已知H是的垂心，满足，且，则__________． 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可得，两边点乘及由垂心向量公式得解. 【详解】由，得， 化简得，再左右点乘及垂心向量公式得 ，故. 故答案为：. 64．（2026高三·全国·专题练习）已知点在内，且是的垂心，若，则____． 【答案】 【分析】利用五心的向量表达式可求，利用两角和的正切公式得，进而得，即可求解. 【详解】依题意，取的中点，取的中点，连接， 则， 因为，所以，所以. 所以三点共线，且，连接，则，且， 所以， 如图，延长分别交于点， 在线段上取，使得.连接， 取的中点，取的中点，连接，    则， 因为，所以， 所以三点共线，且， 因为为的中点，所以，且，所以， 所以， 综上可得， 设， 因为， 整理得，可得，因为， 所以．又，所以，所以． 故答案为：. 题型9 三角形的“四心”问题的综合 65．（2026高一·安徽马鞍山·阶段检测）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（   ） A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则 C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则 【答案】C 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A不正确；    对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D不正确； 故选：C. 66．【多选】（2026高一·山东·阶段检测）已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由重心为G，得， 则，A正确； 对于B，外心为O，有，， ，B错误； 对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得， 因此，C正确； 对于D，由，得，则， ，D正确. 故选：ACD 67．（2026高一·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，再根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，作图如下， 所以，则， 所以， 则. 故选：D. 68．【多选】（2026高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是边的中点 B．若，则是的垂心 C．若，则是的重心 D．若，则动点过的内心 【答案】ACD 【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断A，根据外心的性质判断B，根据重心的性质判断C，根据向量共线及内心的性质判断D. 【详解】对于A，如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，可得， 若，可得是边的中点，故A正确； 对于B，若，则是的外心，故B错误； 对于C，若，则，即， 所以是的重心，故C正确； 对于D，因为表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 所以与的角平分线同向，又， 则在的角平分线上，所以动点过的内心，故D正确. 故选：ACD 69．（2026高一·广西南宁·阶段检测）已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 70．（2026高一·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用重心向量公式判断①；利用数量积运算律及定义求解判断②；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断③；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断④. 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 71．【多选】（2026高一·浙江温州·期中）已知，则下列正确的是（   ） A．若满足条件，则为的重心 B．若满足条件，则动点经过的内心 C．若满足条件，则动点经过的外心 D．若满足条件，则动点经过的垂心 【答案】ABD 【分析】利用三角形的重心、内心、外心、垂心的性质逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，设中点为，根据平面向量加法的平行四边形法则： ，又因为， 所以，即， 这表明、、三点共线，且， 根据重心的定义和性质可得为的重心，A正确， 在B选项中，和分别是和方向上的单位向量， 设，以和为邻边作平行四边形， 则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角， 所以在的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点， 所以动点经过的内心，B正确， 在C选项中，由正弦定理可得： ， 则， 由A选项可知，中点为，所以， 所以， 即表示与共线， 所以动点在边上的中线上， 因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心， 所以动点不经过的外心，C选项错误， 在D选项中，，因为， 所以，则， ， 根据向量数量积公式可得：， ，所以 ，所以 所以， ， 即，所以，即， 因为垂心是三角形三条高的交点， 所以动点经过的垂心，D正确.    72．【多选】（2026高一·内蒙古赤峰·阶段检测）设 O为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ） A．若满足，则 O 是 的垂心 B．若满足，则 O 是 的外心 C．若满足，则 P的轨迹过的内心 D．若满足，则 P 是 的重心 【答案】BC 【详解】记边的中点为，则， 由，得，所以点在中线上，且， 所以是的重心，所以A错误； 若满足，则 O到 各顶点距离相等，所以O 是 的外心，所以B正确； 若满足，则， 即，所以点的轨迹为角的平分线，所以经过的内心，所以C正确； 由，得，所以， 同理可得，， 即 ，所以 P 是 的垂心，所以D错误. 73．【多选】（2026高一·贵州黔南·阶段检测）已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（   ） A．若，则O为垂心 B．若，则O为外心 C．若，则O为内心 D．若，则O为重心 【答案】BD 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 74．【多选】（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则. 【答案】ACD 【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D. 【详解】因为为的垂心，所以，故， 所以，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知， 所以，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 由余弦定理得，所以， 内切圆半径为，所以， 所以，而，所以， 所以，故D正确. 75．【多选】（2026高一·四川南充·期中）在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（   ） A．若为的垂心，，则 B．若为的重心，，则 C．若为的外心，，则 D．若为的内心，，，（），则 【答案】ACD 【分析】对于A选项，利用为垂心得到，进而有；对于B选项，利用为重心得到，再根据数量积运算律计算；对于C选项，利用为外心，得到，再根据数量积运算律计算；对于D选项，结合已知边长并运用三角形内心的相关性质计算出和，进而得到，根据平面向量的基本定理可得. 【详解】对于A选项，因为为的垂心，所以，又因为， 所以 ，A正确； 对于B选项，因为为的重心，， 可得，B错误； 对于C选项，因为为的外心，设的中点为，则垂直平分， 所以，同理，所以 ，C正确； 对于D选项，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且，因为， 可得，由内心性质得， 即，得，所以 ， 因为且不共线，所以，D正确． 76．【多选】（2026高一·安徽宿州·期中）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．满足，则点是的外心 B．满足，则点是的内心 C．满足，则点是的垂心 D．满足，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【分析】选项，根据垂直平分线的性质定理，可判断点为三角形三边垂直平分线的交点，即为外心； 选项，取边中点，根据平行四边形法则可得，结合已知条件可推出，即，可判断点为重心，而不是内心； 选项，根据已知条件结合向量减法运算，易得，，进而可得点为垂心； 选项，由单位向量的模长相等，结合和向量与数量积为，可推出三角形为等腰三角形，再由，进而求出内角，从而判断出为等边三角形. 【详解】解：对于选项，由，所以点到的三个顶点的距离相等，所以是的外心，正确； 选项，如图所示， 取边中点，连接，则， 又，则，所以，因此， 所以点是的重心，错误； 选项，由可得，即，所以； 同理可得，所以点是的垂心，正确； 选项，由，分别表示在，方向上的单位向量，则它们的和向量在的平分线上， 又，所以的角平分线垂直于，根据等腰三角形性质可得. 因为，所以根据数量积的定义， ，所以，因此为等边三角形，正确. 77．【多选】（2026高一·山东临沂·阶段检测）已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．，则为内心 C．若，则为的外心 D．若，则点的轨迹经过的重心 【答案】AD 【分析】对A，由向量的意义可知表示在的角平分线上的向量，再结合向量的数量积的性质可得；对B，由条件可得为的重心；对C，由得，同理可得，，进而可得为的垂心；对D，由正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】A，因为是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 所以表示在的角平分线上的向量，如图： 又因为，所以的角平分线与垂直， 所以，故为等腰三角形，所以A正确； B，设是的中点，则是三角形的中线，所以， 因为，所以，得三点共线，且是中线上靠近的三等分点， 所以为重心，故B错误；如图： C，因为，所以，即，所以. 同理，得；，得， 所以为的垂心，故C错误； D，由正弦定理：，所以， 设， 由， 所以与中线向量共线，即点的轨迹经过的重心，故D正确. 题型10 奔驰定理与三角形的“四心” 78．（2026高一·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 79．（2026高一·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 80．（2026高一·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 81．【多选】（2026高一·广东·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 82．【多选】（2026高一·重庆万州·期中）奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据垂心性质判断AB，结合垂心性质及数量积的定义可得，结合已知根据奔驰定理得，根据面积公式可得，设，由及两角和的正切公式列方程求得，即可得解. 【详解】因为为的垂心，所以，A正确，B错误. 由上知， 同理，. 因为，所以， 所以，同理，， 所以. 因为，所以. 设， 因为，所以， 所以，解得，所以，C正确，D错误. 故选：AC 83．【多选】（2026高三·河北保定·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】BC 【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项；由外心可知，即可判断C选项；由内心可知，满足勾股定理，D选项正确. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：BC. 84．【多选】（2026高一·江苏苏州·阶段检测）如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 85．【多选】（2026高一·宁夏银川·阶段检测）三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 86．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 87．（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【答案】/ 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，∴，， ∴，， ∴ ， 同理可得， 延长交于点，则. ∴ ， 同理可得，∴， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾； 故，则， ∴是锐角，， 于是，解得. $