21.2.3　三角形的中位线 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念-应用-综合”分层设计，通过基础巩固、综合辨析、拓展探究三阶路径，强化三角形中位线定理的理解与应用，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形中位线定义及定理直接应用|概念填空（定义、定理）、简单选择（中位线长度计算）、实际情境题（跷跷板高度），培养几何直观| |综合层|中位线与平行四边形结合、动态问题|图形旋转（剪开旋转得平行四边形）、动点问题（P移动时EF长度），发展推理意识| |拓展层|跨四边形综合应用、逻辑推理|实际测量母题变式（池塘距离）、多步推理证明（如BD=AC），提升应用意识与创新意识|

21．2.3　三角形的中位线 1．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线． 2．中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【典例】如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN； (2)求△ABC的周长． (1)证明：∵AN平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND. 在△ABN和△ADN中， ∴△ABN≌△ADN(ASA).∴BN＝DN. (2)解：∵△ABN≌△ADN， ∴AD＝AB＝10. ∵BN＝DN，∴N是线段BD的中点， 又∵M是BC边的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6. 故△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41. 本题考查了三角形的中位线等于第三边的一半．三角形的中位线定理是得出线段数量关系的重要方法，当所给图形有较“多”边的中点时，可以考虑利用中位线定理. 【变式训练】 　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，F是BC延长线上的一点，且CF＝BC.试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由． DE＝CF. 理由如下：∵D，E分别是AB，AC边的中点， ∴DE＝BC.∵CF＝BC，∴DE＝CF. 知识点1　三角形的中位线定理 1．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE＝2，DF＝1，则边BC的长为(B) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为80 cm. 3．在周长为600 m的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为300m. 4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点为C(1，n)，D(4，m)，则点B的坐标为(6，0). 知识点2　三角形的中位线与平行四边形 5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是(C) A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕CB的中点D逆时针旋转180°，点E到点E′位置，则四边形ACE′E的形状是(A) A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形 易错易混点　不能正确理解三角形中位线导致出现错误 7.如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是边DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是(C) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长的变化情况不能确定 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是BC，AC边的中点，连接DE.以A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB边于点M，N；以D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线DQ，交AB于点F.则AF的长为(C) A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，若EF＝2，则AD的长为4． 　 10．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，E，F分别是边AD，BC的中点．若CD＝2AB＝4，∠ABC＝2∠C＝60°，则EF的长为. ∵∠ABC＝2∠C＝60°，∴∠C＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠BDC＝120°. 取BD的中点G，连接EG，FG，如图， ∵E，F分别是边AD，BC的中点， ∴EG∥AB，EG＝AB，FG∥CD，FG＝CD， ∴∠EGD＝∠ABD＝30°，∠FGD＝180°－∠BDC＝60°，∴∠EGF＝90°. ∵CD＝2AB＝4，∴AB＝2，FG＝CD＝2，∴EG＝AB＝1， ∴EF＝＝. 11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为1.5． 12．如图，在四边形ABCD中，G，H是对角线AC的三等分点，延长DG，DH，分别与AB，BC交于E，F两点，若E，F分别是AB，BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 如图，连接BD交AC于点O，连接BG，BH. ∵E是AB的中点，AG＝GH， ∴EG是△ABH的一条中位线， ∴EG∥BH，即GD∥BH. 同理，可证BG∥DH， ∴四边形BHDG是平行四边形， ∴BO＝OD，GO＝OH. 又∵AG＝HC，∴AG＋GO＝HC＋OH，即AO＝OC. 又∵BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形． 【母题P65练习T3】如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？ 如图所示， 取AC的中点E，BC的中点F，连接EF，量得BF的长，则A，B两点间的距离为2EF. 理由如下： ∵E，F分别是AC，BC的中点． ∴EF是△ABC的中位线． ∴EF＝AB，∴AB＝2EF. ∴只要量出EF的长度乘2，就是A，B两点间的距离了，根据是三角形中位线性质定理． 【变式】在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则PQ的长度是(B) A.1 m B．2 m C.3 m D．4 m 13．(逻辑推理)【三角形中位线定理】已知：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG. 求证：BD＝AC. 【三角形中位线定理】DE∥BC，DE＝BC； 理由：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC； 【应用】连接BD，如图1所示， 图1 ∵E；F分别是边AB，AD的中点，∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°. ∵BC＝5，CD＝3，∴BD2＋CD2＝25，BC2＝25. ∴BD2＋CD2＝BC2，∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°； 【拓展】如图2，取DC的中点H，连接MH，NH. 图2 ∵M，H分别是AD，DC的中点，∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC且MH＝AC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半)， 同理可得NH∥BD且NH＝BD. ∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF. ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM，∴MH＝NH，∴BD＝AC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 21．2.3　三角形的中位线 1．三角形的中位线：连接三角形 的线段叫作三角形的中位线． 2．中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 ． 【典例】如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN； (2)求△ABC的周长． 本题考查了三角形的中位线等于第三边的一半．三角形的中位线定理是得出线段数量关系的重要方法，当所给图形有较“多”边的中点时，可以考虑利用中位线定理. 【变式训练】 　如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，F是BC延长线上的一点，且CF＝BC.试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由． 知识点1　三角形的中位线定理 1．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D.若AE＝2，DF＝1，则边BC的长为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM＝40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为 cm. 3．在周长为600 m的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 m. 4．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点为C(1，n)，D(4，m)，则点B的坐标为 . 知识点2　三角形的中位线与平行四边形 5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是( ) A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕CB的中点D逆时针旋转180°，点E到点E′位置，则四边形ACE′E的形状是( ) A．平行四边形 B．菱形 C．长方形 D．正方形 易错易混点　不能正确理解三角形中位线导致出现错误 7.如图，已知四边形ABCD中，点R，P分别是边DC，BC上的点，点E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，下列结论成立的是( ) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长的变化情况不能确定 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是BC，AC边的中点，连接DE.以A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AC，AB边于点M，N；以D为圆心，AM长为半径作弧交DE于点P；以P为圆心，MN长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线DQ，交AB于点F.则AF的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF，若EF＝2，则AD的长为 ． 第9题图 　 第10题图 10．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，E，F分别是边AD，BC的中点．若CD＝2AB＝4，∠ABC＝2∠C＝60°，则EF的长为 . 11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为 ． 12．(湖北黄石阳新县期末)如图，在四边形ABCD中，G，H是对角线AC的三等分点，延长DG，DH，分别与AB，BC交于E，F两点，若E，F分别是AB，BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【母题P65练习T3】如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？ 【变式】在一个三角形地块中分出一块(阴影部分)种植花草，尺寸如图，则PQ的长度是( ) A.1 m B．2 m C.3 m D．4 m 13．(逻辑推理)【三角形中位线定理】已知：如图①，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】如图②，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG. 求证：BD＝AC. 【拓展】如图2，取DC的中点H，连接MH，NH. 图2 学科网（北京）股份有限公司 $