21.2.3 三角形的中位线分层题型专练（2夯基题型+3进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦三角形中位线性质，通过基础理解、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一性质到跨情境综合应用的递进，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|中位线性质直接应用（求线段长、角度）|选择填空为主，如已知中点求线段长度，培养几何直观| |技能应用|中位线与平行四边形、三角形性质结合（证明、实际测量）|解答题占比提升，如证明中点四边形性质、测量池塘距离，发展推理意识| |综合拓展|中位线与四边形、动态问题、折叠等综合应用|探究题与综合解答题，如梯形中位线证明、动点路径分析，提升创新意识|

第二十一章 四边形 21.2.3 三角形的中位线 （分层题型专练） 题型一 利用中位线的性质求线段的长 1．如图，在中，，分别是，的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解： ，分别是，的中点 是的中位线， 又 ， ． 2．如图，中，点，分别是，的中点，若，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【详解】解：根据题意，得是三角形的中位线，且， 故； 3．如图，点D，E，F分别是各边上的中点，若，则四边形的周长为（　 ） A．7 B．14 C．21 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中位线性质得出，，再根据，，求出四边形的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是各边上的中点， ∴，， ∵，， ∴． 4．如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】A 【分析】本题考查考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得，可知点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变，于是得到问题的答案． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， 点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变， 故选： A． 5．如图，点D、E、F分别为三边的中点，若，，，周长为______． 【答案】 7.5 【详解】解：∵点D、E、F分别为三边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴周长 ． 6．如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 【答案】5 【分析】本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解的长度．首先，根据等腰三角形的性质确定；然后，利用三角形中位线定理计算的长度． 【详解】 又 ∴是的中位线， 故答案为：5. 题型二 利用中位线的性质求角度 1．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 2．如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【答案】C 【分析】本题考查求角度，涉及三角形中位线的性质、平行线的性质等知识，先由中位线的性质得到，再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记三角形中位线的性质、平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，为其中位线， , , , 故选：C． 3．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点，由题意得分别是的中位线，推出，，，；进而得四边形是平行四边形，；根据推出，即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，，，； ∴，，； ∴四边形是平行四边形，； ∵ ∴， ∴， 故选：C 4．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 由条件可证得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 5．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质，根据已知条件证明是解题关键． 根据题中所给的中点关系，由中位线定理可得，，进而可得，即是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】点是对角线的中点，点分别是的中点， 是的中位线，即， 同理，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：． 6．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 7．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点， ∴，分别是与的中位线， ∴，， ∵， ∴， 故是等腰三角形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 题型一 与中位线的性质有关的证明 1．如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质；根据平行四边形的性质可得，根据可得是的中位线，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 而，，不一定成立； 故选：C． 2．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查中位线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．利用中位线的性质得，，，，，，可判断选项A，利用可判断选项B，利用证明可判断选项C，利用，，可判断选项D． 【详解】解：∵、、分别是、、中点， ∴，，，，，， 故选项A正确； ∵， 故选项B错误； ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D正确； 故选：B． 3．如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理，可得，，，，，，得出四边形、四边形、四边形都为平行四边形，可判断①；由平行四边形的性质可得，图中的四个小三角形为全等三角形，可判断②；利用平行四边形的周长公式可判断③；利用中点的定义可判断④，即可得出结论． 【详解】解：点分别是的边的中点， ，，，，，， 四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确； 图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确； 四边形为平行四边形， 四边形的周长，故③正确； 点分别是边的中点， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 4．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④，其中正确结论的序号是________．      【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据三角形的中位线定理与判定四边形是菱形是解答本题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与可得四边形是菱形，然后根据菱形的性质可判断②③，而只有当时，④才成立，通过构造全等三角形证明即可． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ∴四边形是菱形，故①正确； ∴，平分故②、③正确； 当，如图所示：，分别为，中点， 连接并延长交于点，    ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴只有当时，④才成立， 故④错误， 故答案为：①②③． 5．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 【答案】③ 【分析】图2是③的反例示意图，可利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质证明命题①和②是真命题．本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：图2是③的反例示意图． 真命题为命题①和②， 命题①的证明： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， 又 ， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ，， 命题②的证明如下： 证明：如图，延长至点， 使，连接， 是边的中点， ． 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ， ， 是边的中点， 是的中位线． 故答案为：③． 6．已知：在中，D，E，F分别是边的中点． 求证：四边形的周长等于． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ， ，即可求证． 【详解】解：如图， D，E，F分别是边的中点， 、 是 的中位线， ， ， 四边形的周长 ， 即四边形的周长等于． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键． 7．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】先根据三角形中位线定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证． 【详解】证明：∵点分别为的中点， 是的中位线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 8．如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点．连接，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据三角形中位线定理，证明，即可证明结论． 【详解】证明：，且F是中点， ， 点D，E分别是，的中点， 是的中位线， ， ． 9．如图，在中，D，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】首先根据三角形中位线的性质证明，，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论即可． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型二 三角形中位线的性质的实际应用 1．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理解题． 【详解】解：由题意知，点为的中点， ∴，故选项C不合题意； 为的中位线， ∴，且， ∴，故选项A和选项B不合题意； ∵点为的中点， ∴，无法得到，故选项D符合题意． 2．如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解： 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 3．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴是的中位线， ， 故选：C． 4．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】根据已知得出、、是的中位线，然后根据中位线的性质得，，，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20米， ∴（米）， ∵，，分别为，，的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∴的周长（米）． 5．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 6．校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 【答案】16 【分析】根据题意可知、分别为、的中点，从而判断为的中位线，利用三角形中位线定理可得，代入数据计算即可求解． 【详解】解： 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ． 7．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 题型三 三角形中位线性质的综合应用 1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接 根据勾股定理得：， ∵D，E分别是，的中点， ． 2．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ． 3．如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】利用三角形的中位线以及勾股定理进行求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∵是的中位线， ∴， 由勾股定理得， ∴． 4．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】连接，勾股定理求出的长，再根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E，G分别是的中点， ∴. 5．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为______． 【答案】/1.5/ 【分析】延长、交于点，证明，得到，，证明是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如图所示，延长、交于点F， ∵平分， ， ， ， ∵， ∴， ，， 又， ， ∵点D是的中点， 是的中位线， ． 6．如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 【答案】 【分析】先根据中位线的判定和性质求出，再结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， 故， 又∵四边形为平行四边形， ∴． 7．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 8．如图，在中，平分，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了根据等角对等边证明等腰三角形、三线合一以及与三角形中位线有关的证明，掌握相关结论即可； （1）由推出，由翻折可知：，即可求证； （2）证，得；根据是的中线，点是的中点， 推出是的中位线，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴； 由翻折可知：； ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵是等腰三角形，平分， ∴是的中线， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是的中线，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：； 9．（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的辅助线问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、中位线的性质是解题的关键．连接，并延长交于点G，易证得，即可求得，继而可得是的中位线，则可推知结论． 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 10．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 【答案】 [问题情境] [解决问题]改造总费用为65000元 【分析】[问题情境]作，根据三角形的面积公式得到，，由于是的中线，于是得到结论； [解决问题]连接，根据点A、B、C分别是的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：[问题情境]作，则，， ∵是的中线，， ∴； 故答案为：； [解决问题]连接， ∵点A、B、C分别是的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）， 答：改造总费用为65000元． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线、高线，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 11．【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 【答案】中位线定理：；应用：；拓展：证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 三角形中位线定理：根据三角形中位线定理即可得到结论； 应用：连接，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； 拓展：取的中点H，连接，则分别是的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：【三角形中位线定理】； 理由：∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴； 【应用】连接，如图所示， ∵E、F分别是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【拓展】证明：取的中点H，连接． ∵M、H分别是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分别为，的中点，可知是的中位线，根据中位线定理可以求出，根据角平分线的性质可证，根据线段之间的关系可以求出的长度． 【详解】解：，，， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ． 2．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 【答案】A 【分析】延长交于F，证，得，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 3．如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（   ） A． B． C．6 D．不确定，随着四边形的形状改变 【答案】A 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理将已知的对角线和的长度及垂直关系转化到中，从而求解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，根据三角形中位线的性质得出，当时，的值最小，此时的值也最小，根据三角形的面积公式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， 连接，如图： ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值最小． 若， 则， ∴， ∴． ∴的最小值是． 5．如图，在中，，是延长线上一点，是上一点，，，分别是的中点，则的长为____． 【答案】 【分析】先根据三角形的中位线定理可得，，再得出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 6．如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 【答案】 4 【分析】①根据中点的性质及等边三角形的判定和性质得出，为等边三角形，即可求解； ②连接，根据三角形中位线的判定和性质得出，再由三角形外角的性质得出，确定，得出，再由勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：①∵，E为边中点， ∴， ∵，， ∴，为等边三角形， ∴； ②连接， ∵， ∴O为中点， 由①得E为中点， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵F是线段中点， ∴， ∴． 7．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与交于点．且与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，且，分别为、的中点，若．求前支架脚与后支架脚之间的距离． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再得到是的中位线，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵，分别为、的中点， ∴． 8．探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 【答案】(1)；；；； (2)平行； (3)见详解 【分析】（1）作平行线，构造三角形全等，得到边相等，再证明四边形是平行四边形，最终证明中位线平行于底边，且等于底边一半； （2）四边形是梯形，是中位线，平行于底边，等于两底边和的一半； （3）连接，并延长交的延长线于点G，先证明，得到边相等，是的中位线，底边是梯形上下底之和，利用三角形的中位线性质，即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， 又 ， ， ， D是中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ，． （2）平行；，证明过程见（3）详解， （3）证明：连接，并延长交的延长线于点G，如下图 ， ， ， ， ， ． 9．按要求解答问题： 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，在如图1的，若是的中位线．则与的关系为______．（用符号语言表达） 【方法迁移】 (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①如图2，已知梯形中，，点、分别为、的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段、、之间的关系，并说明理由． ②已知梯形的中位线长为5cm，高为8cm，则梯形面积是______cm2． 【理解内化】 (3)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和正方形，连接，点、分别是、的中点．已知，则______． 【答案】(1) (2)①，理由见详解；②40 (3)4 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，即可得到结果； （2）①连接，交的延长线于点E，证明，在中底边等于梯形上下底之和，是中位线，根据三角形的中位线定理，即可得到结论； ②根据梯形中位线的长度公式（上底+下底），梯形的面积公式可以转换成：“中位线高”，即可得出结果； （3）过点C，点E，点F，作及其延长线的垂线，四边形是梯形，是梯形的中位线，证明，，得到梯形上下底之和等于的底边，所以，即可求出结果． 【详解】（1）解： 是的中位线， ． （2）解：①，理由如下： 连接，并延长交的延长线于点E，如下图所示 ， ， ， ， ， ， ， 即． ②根据梯形面积公式， 梯形面积=中位线高． （3）解：过点作的垂线，垂足为H； 过点E作的垂线，交的延长线于点L，过点F作的垂线，交的延长线于点K； 如下图所示 ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， ， 四边形是梯形，是中位线， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 四边形 21.2.3 三角形的中位线 （分层题型专练） 题型一 利用中位线的性质求线段的长 1．如图，在中，，分别是，的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，中，点，分别是，的中点，若，则（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 3．如图，点D，E，F分别是各边上的中点，若，则四边形的周长为（　 ） A．7 B．14 C．21 D．无法确定 4．如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大 5．如图，点D、E、F分别为三边的中点，若，，，周长为______． 6．如图，在中，D是上一点，于点E，点F是的中点，若，则的长为___________． 题型二 利用中位线的性质求角度 1．如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为其中位线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D．条件不足，无法计算 3．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　) A． B． C． D． 4．如图，已知中，，分别是，的中点，连接并延长至．使，连接．若，则的度数为___________． 5．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是________． 6．如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于______． 7．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数． 题型一 与中位线的性质有关的证明 1．如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，、、分别是、、中点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．四边形是平行四边形 3．如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是，，，的中点，且，下列结论：①四边形是菱形；②；③平分；④，其中正确结论的序号是________．      5．如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶ ①若 ，则 ． ②若 ，则 是 的中位线． ③若 ，则 ． 图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是___ (选填①②③中其一) 6．已知：在中，D，E，F分别是边的中点． 求证：四边形的周长等于． 7．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证： 8．如图，在中，，D，E，F分别是，，的中点．连接，．求证：． 9．如图，在中，D，E，F分别是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 题型二 三角形中位线的性质的实际应用 1．如图，两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了间的距离：先在外选一地点C，然后测出的中点，并测出的长为，由此他就知道了间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 3．如图是一块三角形实验基地，在这块基地中分出一块（阴影部分）进行新实验，尺寸如图所示，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，某建筑房梁构成了一个三角形，现选取，，的中点，，，用木条将三个中点相连进行修复加固．经测量的周长为20米，则加固木条所组成的的周长为（    ） A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 5．2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 6．校园池塘周围种了几棵垂柳，数学实验小组为测量点，处的两棵垂柳的距离，先在地面上选一点，连接，，分别取边，的中点，测得的长为，则这两棵垂柳的距离为__________． 7．游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为____________． 题型三 三角形中位线性质的综合应用 1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 2．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（    ） A． B．3 C． D．5 4．如图，四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，连接，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为______． 6．如图，在中，，分别是，的中点，若，则________． 7．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 8．如图，在中，平分，点是的中点，连接，将沿着翻折得到，且，点是上一点，连接并延长交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 9．（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 10．【问题情境】如图①，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小琼的思路如下： 作，则，， ∵是的中线，　　　　　　， ∴；（请完成填空） 【解决问题】如图②，为提高全民健身环境，公园管理部门打算将原有的健身区域进行改造，改造方案如下：分别延长的至点D，E，F，使得A，B，C分别为的中点，依次连接点D，E，F得，已知的面积为，改造甲区域成本为100元，扩建乙区域成本为200元，求改造总费用． 11．【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F，G，．求证：． 1．如图，在中，，，，，分别为，的中点，连接，平分，交于点，则的长是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（  ） A．3 B．6 C．4 D．5 3．如图，在四边形中，对角线，且，，点E、F分别是边、的中点，则的长度是（   ） A． B． C．6 D．不确定，随着四边形的形状改变 4．如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值是_______． 5．如图，在中，，是延长线上一点，是上一点，，，分别是的中点，则的长为____． 6．如图，中，，，，E为边中点，对角线相交于点O，F是线段中点，连接． ①线段的长是______； ②线段的长是______． 7．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与交于点．且与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，且，分别为、的中点，若．求前支架脚与后支架脚之间的距离． 8．探究解题 (1)问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ (2)问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； (3)拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 9．按要求解答问题： 【知识回顾】 (1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质，在如图1的，若是的中位线．则与的关系为______．（用符号语言表达） 【方法迁移】 (2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线． ①如图2，已知梯形中，，点、分别为、的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段、、之间的关系，并说明理由． ②已知梯形的中位线长为5cm，高为8cm，则梯形面积是______cm2． 【理解内化】 (3)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和正方形，连接，点、分别是、的中点．已知，则______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $