黑龙江哈尔滨市南岗区2026年中考第三次学情自测数学试题

2026年九年级学生学习水平监测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答、超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．9的相反数是（ ）． A． B． C． D．9 2．已知，则下列运算正确的是（ ）． A． B． C． D． 3．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）． A． B． C． D． 4．地球距太阳约有120000000千米，数120000000用科学记数法表示为（ ）． A． B． C． D． 5．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体从正面看到的图形是（ ）． A． B． C． D． 6．解方程方程两边乘得到的方程为（ ）． A． B． C． D． 7．学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏．当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（ ）． A．30 B．36 C．37 D．43 8．如图，在中，点D，E分别为边，的中点，连接．下列结论中，错误的是（ ）． A． B． C． D． 9．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 10．如图1，在矩形的边上有一点E，连接，点P从点A出发沿A→D→C以的速度运动到点C，图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：s）的变化的函数图象，则的长为（ ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷非 选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．在函数中，自变量x的取值范围是______． 12．把多项式分解因式的结果是______． 13．不等式组的解集是______． 14．抛物线的顶点坐标为______． 15．一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为______． 16．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，如图所示其图象经过点A，则反比例函数的解析式为______． 17．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P、Q两点为“等距点”．若、两点为“等距点”，且点Q在第三象限，则k的值为______． 18．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点C，D，延长、交于点P．若，的半径为，则图中劣弧的长为______cm．（结果保留） 19．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为______度． 20．如图，点E、F分别在菱形的边、上，连接、、，交于点G，，于点H．下列结论：①；②；③当时，则；④点P在上，连接、，当，时，则的最小值为3，请把正确结论的序号填在横线上______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21．（本题7分） 先化简，再求代数式的值，其中． 22．（本题7分） 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．与的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，保留作图痕迹，体现作图过程． （1）如图，作的角平分线； （2）如图，在上画点H，连接，使得． 23．（本题8分） 某校为了解七年级学生的体重情况，随机抽取了七年级m名学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 组别 体重(千克) 人数 A 10 B n C 40 D 20 E 10 请根据图表信息回答下列问题： （1）填空：①______，②______； （2）填空：在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于______度； （3）如果该校七年级有1000名学生，请估计七年级体重低于47.5千克的学生有多少人？ 24．（本题8分） 已知：点E在正方形的边的延长线上，连接交于点G，过点B作，垂足为点M，的延长线分别交，的延长线于点F，H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，连接，过点G作，分别交，于点K，N，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使写出的每条线段的长度是的长度的2倍． 25．（本题10分） A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） A型号 35 a B型号 42 b 若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求a、b的值； （2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 26．（本题10分） 已知：内接于，与相切． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，连接，点E在上，连接，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为的直径、点F在上，过点F作交于点G，其中点G与点B在的两侧，连接、，过点E作于点H，且，点M在上，连接交于点N，且，当，时，求的长． 27．（本题10分） 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C，过点C作轴交抛物线于点D，且点D的横坐标为3． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P在第一象限抛物线上，连接、，设点P的横坐标为t（），的面积为S，求S与t之间的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点E在上，连接、、，且平分，点F在上，点H在x轴的负半轴上，连接、、，其中，过点H作交的延长线于点T，的延长线交于点G，且，当时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年九年级学生学习水平监测 数学科参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共计30分） 5 10 A A D W D C 二、 填空题（每小题3分，共计30分） 题号 11 12 13 14 15 答案 2(a-b)2 -2<x≤2 (1,0) 6 题号 16 17 18 19 20 80 答案 P=V -7 3 10或60 ②③④ 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21.(本题7分) x+2 3 x-2 解：原式 (x+2)(x-2)(x+2)x-2)x-1 2分 x-1 xx-2 （x+2)(x-2)x-1 1分 、1 x+2 1分 x=2x 2 -2x1=5-2 2分 ∴原式3-2+23 1分 22.(本题7分)》 解：(1)正确画图 3分 (2)正确画图 4分 23.(本题8分) 解：(1)100 2分 20 2分 (2)144 2分 1000×10+2 100 =300 (3) (人) 1分 答：估计七年级体重低于47.5千克的学生有300人 1分 24.(本题8分) (1)证明：：四边形ABCD为正方形 ∴.BC=CD,∠BCD=∠EDC=90°， 1分 ∴.∠H+∠DFH=90°，：BM⊥CE,∴.∠EMF=90°，∴.∠E+∠EFM=90°，.∠EFB=∠HFD, ∴.∠E=∠H, 1分 ∴.△CDE≌△BCH, 1分 ∴.CE=BH 1分 (2)GN EG FG FH, 4分 25.(本题10分) 8a+7b=670 解：(1)根据题意得4a+5b=410 2分 a=40 解得(b=50 2分 (2):购买4种型号吉祥物的数量x个，则购买B种型号吉样物的数量(90-)个， 4 根据题意得 x≥390- 1分 解得 ≥513 1分 根据题意得y=(40-35)x+(50-42)(90-x) 1分 整理得y=-3x+720 1分 :k=-3<0,y随x的增大而减小 1分 ∴当x=52时，y的最大值为y=-3×52+720=564 1分 26.(本题10分) (1)证明：如图1作直径CP,连接BP :CD与⊙O相切于点C,∴.CP⊥CD, 1分 ∠DCP=90°，∠BCD+∠BCP=90°，CP为⊙0的直径，.∠PBC=90°， 1分 .∠BCP+∠P=90°，∴∠BCD=∠P,又：∠BAC=∠P,∴∠BCD=∠BAC. 1分 (第26题答案图1) (第26题答案图2) (第26恩答案图3) (2)证明：如图2，·∠DBE=∠ABC,∴.∠DBE-∠CBE=∠ABC-∠CBE, 即∠DBC=∠EBA, 1分 又：AB=BC,∠BCD=∠BAC,'.△BAE≌△BCD, 1分 ∴.AE=CD 1分 (3)解：如图3，：AC为直径，∴∠ABC=90°，∠BAC+∠BCA=90°， :ABE BC BCAZB4C-4565Z8C4-4C c0s450= AC 2, 52V2 AC2,.AC=10, 1分 作EK⊥AG于点K,∴.∠EKG=90°，：AC为直径，“∠AGC=90, :EH⊥CG,∴.∠EHG=90°，.四边形KEHG为矩形，∴.EK=GH, :∠AKE=90°，∴∠AEK+∠EAK=90°，：∠AGC=90°，∴.∠ACG+∠CAG=90° ∴.∠AEK∠ACG,.FG⊥AC. cos∠FCG=CF :cos∠AEK= CF EK CF CG CG. AE,cos∠FCG=cos∠AEK,…CGAE,…EKAE」 .CF=2GH =2EK ..CG=2AE=2CD 1分 设∠CMD=a,则∠CAG=2a,∠ACG=90°-2a,:∠DNC=∠CMN+∠MCN=90°-a :∠DCA=90°，∴.∠CDN=90°-∠DNC=a=∠CMD, .CD=CM,∴.CG=2CM,∴.CM=GM 1分 连接OM,∴.OM⊥CG,∴∠OMC=90°，.∠OMN=90°-∠CMD=90°-a, :∠ONM=∠CND=90°-a,∴.∠OMN=∠ONM,∴.OM=ON,:CD=CM=4,OC=5, OM =OC2-CM2=3=ON CN=OC-ON=5-3=2.cOSZ0CM=CM Γ0C5, C0=2CM=8,cos∠FcG-C号：Cr-32 CG 5. 5, :FN=CF-Cw=32-2=2 5 5. 1分 27.(本题10分) 解：(1)当x=0时，y=6,C(0,6) :CD∥x轴，且点D的横坐标为3，·D(3,6) 1分 3×32+3汤+6=6 1 y=- 2+x+6 解得b=1,∴抛物线的解析式为 3 1分 (2)作PVLx轴于点N,延长NP交CD的延长线于点Q P21x轴，÷点Q的横坐标为t,C0∥x轴，且C(0,6) ∴.9(t,6) 1分 :P01x轴， 0=6-(写+*6小- 1分 D(3,6)..CD=3, 5cD-P0-3传- 123 ∴.S=二t2-2t 22 1分 0 ND (第27题答案图1) (3)作BZ⊥CD交CD的延长线于点Z,BL⊥ED于点L. BZ⊥CD,∴∠COD=∠DC0=∠CZB=90°，四边形COBZ为矩形，∴.∠OBZ=90°， 'OC=OB=6,∴四边形COBZ为正方形，∴.BZ=BO,EB平分∠DE0,∴.∠OEB=∠DEB, BL⊥ED,∠BLE=9O°，∴.∠BLE=∠BOE,BE=BE,△BOE≌△BLE, ∴.BO=BL=BZ,∠OBE=∠LBE, 1分 'BD=BD,BL=BZ,∴Rt△BDL≌Rt△BDZ,∠DBL=∠DBZ ∠DBE=∠LBE+∠LBD=(∠LBO+∠LBZ)=45° 1分 .CD=3,CZ=6,..DZ=3=CD, DC=DZ,∠DCO=∠DZB,∴△DCO≌△DZB,:∠DOC=∠DBZ 设∠EBO=a,则∠GEF=∠BEO=90°-，'∠FGB=∠DBE+∠POB, ∴.∠FGB=45°+∠POB, .∠GFO=180°-∠GEF-∠FGE=45°+a-∠POB ·∠DOC=∠DBZ=90°-∠DBE-∠EBO=45°-a, ∴∠DOP=90°-∠DOC-∠POB=45°+a-∠POB,∴∠GFO=∠DOP」 1分 连接OD,作PR⊥OD于点R,PK⊥OB于点K,RS⊥OF,延长SR交KP的延长线于点M, ∴.∠MSO=∠SOK=∠MKO=90°，四边形SOKM为矩形，SO=MK,SM=OK, :HT⊥AB,.∠THO=∠FOK=∠PKB=90°，.HT∥FO∥PK, :.FT:PF=OH:OK=5:3, ∠GFO=∠DOP,FH=OP,∠HOF=∠PRO,.△HOF≌△PRO,.PR=OH, :在Rt△COD中， tan∠CoD=CD1 0C2, an∠SOR=Sg=an∠cOD=】 在Rt△RSO中， OS ∴.OS=2RS,∠SRO+∠SOR=90°，∠SRO+∠MRP=90°，.∠MRP=∠SOR, ZMRP==ZSOR=2RM=2PM PR=MR+PM=5P RM i设PR=V5n,则OK=SM=3n,∴PM=n,RM=2n,∴SR=SM-RM=n, .MK=OS =2n,PK MK-PM=n,P(3n,n) 1分 (8+3n+6=n 乃= 1+V19.1-19 3. n2= 解得 3,(舍) 1分 (第27题答案图2) (以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分)