25.2.1.1直接开平方法（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法”，系统梳理原理、适用形式、解题步骤及注意点，通过平方根求解问题导入，连接平方根定义与方程求解，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以正方体刷油漆问题引入，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，强调“降次”思想发展数学思维中的推理意识，分层练习题结合详细解析与易错总结，助学生用数学语言规范表达。学生能夯实基础提升解题能力，教师可直接用于分层教学提高效率。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月24日 25.2.1.1直接开平方法 第25章　一元二次方程 25.2.1.1 直接开平方法 练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 方法原理：直接开平方法是解一元二次方程最基础的方法，依据平方根的定义：若$$x^2=a(a\geq0)$$，则$$x=\pm\sqrt{a}$$；当$$a<0$$时，方程无实数根。 2. 适用方程形式：专门适用于不含一次项的一元二次方程，核心形式分为两类。一是最简形式$$x^2=a(a\geq0)$$；二是整体平方式形式$$(mx+n)^2=p(p\geq0,m eq0)$$，可将括号内整式视为整体开平方求解。 3. 解题步骤：首先将方程整理为平方等于非负数的标准形式；其次直接对等式两边开平方，注意保留正负双根；最后求解未知数，化简结果并判断是否有实数根。 4. 关键注意点：正数开平方有两个互为相反数的实数根，0的平方根为0，负数无平方根；解题不可遗漏负根，这是最常见易错点。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 方程$$x^2=16$$的解是（） A. $$x=4$$ B. $$x=-4$$ C. $$x=\pm4$$ D. 无解 2. 用直接开平方法解方程$$(x-2)^2=9$$，得到的正确结果是（） A.$$x=5$$ B. $$x=-1$$ C. $$x=5或x=-1$$ D. $$x=11$$ 3. 方程$$x^2+4=0$$的根的情况是（） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 （二）填空题 4. 方程$$x^2-25=0$$的解为________。 5. 若$$(x+1)^2=0$$，则方程的根为________。 6. 方程$$2x^2-8=0$$的解为________。 （三）解答题 7. 用直接开平方法解下列方程：$$(2x-3)^2=25$$。 8. 用直接开平方法解方程：$$3(x+2)^2-12=0$$。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：C。解析：根据平方根定义，16的平方根为$$\pm4$$，因此方程解为$$x=\pm4$$，切勿遗漏负根。 2. 答案：C。解析：两边开平方得$$x-2=\pm3$$，分别计算：当$$x-2=3$$时，$$x=5$$；当$$x-2=-3$$时，$$x=-1$$。 3. 答案：C。解析：整理方程得$$x^2=-4$$，负数没有平方根，因此该方程无实数根。 4. $$x=\pm5$$答案：。解析：移项得$$x^2=25$$，开平方得$$x=\pm5$$。 5. $$x_1=x_2=-1$$答案：。解析：0的平方根为0，因此$$x+1=0$$，方程有两个相等的实数根$$x=-1$$。 6. $$x=\pm2$$答案：。解析：移项化简得$$2x^2=8$$，系数化为1得$$x^2=4$$，开平方得$$x=\pm2$$。 7. 解析：对等式两边直接开平方，得$$2x-3=\pm5$$。①当$$2x-3=5$$，解得$$x=4$$；②当$$2x-3=-5$$，解得$$x=-1$$。综上，方程的根为$$x_1=4，x_2=-1$$。 8. 解析：先移项整理得$$3(x+2)^2=12$$，系数化为1得$$(x+2)^2=4$$。开平方得$$x+2=\pm2$$，分别求解得$$x_1=0，x_2=-4$$。 四、易错总结 1. 开平方时容易只取正根，忽略负根，导致解题答案不完整；2. 未先化简方程直接开方，增加计算出错概率；3. 忽略“负数无实数平方根”，误判无解方程的根的情况；4. 平方等于0时，方程有两个相等实数根，不可只写一个根。 能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. 能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. 体会“降次”的数学思想. 如果方程转化为x2=p,该如何解呢？ 求出下列各式中x的值，并说说你的理由. 1. x2=9 2. x2=5 x=± =±3 x=± 导入新知 【思考】 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 直接开平方法 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2， 可列出方程: 10×6x2=1500， 由此可得 x2=25. 开平方得 x=±5， 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． 探究新知 知识点 4 【试一试】 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 探究新知 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 = x2 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般地，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 探究新知 【归纳】 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 利用直接开平方解形如x2=p方程 素养考点 1 探究新知 7 巩固练习 解下列方程（分析:把方程化为 x2=p 的形式） (1) (2) 解： 移项，得 系数化为1，得 即 解： 移项，得 系数化为1，得 解：把x+3看做一个整体， 两边开平方得 ② 对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？ 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 巩固练习 由方程①得到②，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 例2 解下列方程：（1）（x＋1）2= 2 ； 解析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程 素养考点 2 探究新知 解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 探究新知 11 ∴ x1= ， x2= (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：（3）移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）²=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 探究新知 12 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 例3 解下列方程： 解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程 素养考点 3 探究新知 （1） （2） 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 D 随堂练习 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D 随堂练习 解：2x2 = 8 x2 = 4 x1=2， x2=－2 解： x2 = x1= ， x2= 4.解下列方程： （1）2x2-8 = 0； （2）9x2-5=3； 【选自教材P6 练习】 随堂练习 解：(x+6)2 = 9 x+6 = ±3 x1= －3， x2=－9 （3）(x+6)2-9 = 0； （4）3(x－1)2－6 = 0； 解： 3(x－1)2 = 6 (x－1)2 = 2 x－1 = ± x1=1+ ， x2=1－ 随堂练习 解： (x-2)2 = 5 x-2 =± x1=2+ ， x2=2－ 解： 9x2 =－4 x2 = 方程无实数根 （5）x2-4x +4 = 5； （6）9x2+5 = 1. 随堂练习 解： x2 = x1= ， x2= 解： x2 = x1 = ，x2 = （1）36x2-1 = 0； （2）4x2 =81; 5. 解下列方程： 【选自教材P16 习题21.2 第1题】 随堂练习 解： x+5 =±5 x1=0， x2=-10 解： (x+1)2 = 4 x+1 =±2 x1=1， x2= -3 （3）(x+5)2 =25； （4）x2+2x+1= 4. 随堂练习 知识点1 方程 的解法 1. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答 案：甲：；乙：;丙： ；丁： , .下列判断正确的是( ) D A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 中考考法 21 2. 若一元二次方程的两根分别是 和 ，则 的值为( ) B A. 16 B. C. 25 D. 或25 【点拨】 一元二次方程的两根分别是 和 ，，解得 . ． 中考考法 22 3.解方程： （1） ； 【解】 , ， ， ， . 中考考法 23 （2） . ， ， ， ， ， . 中考考法 24 知识点2 方程 的解法 4. 如果关于的方程 可以用直接开平方法求 解，那么 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 5.在等式（□） 中，□内的数是________. 2或 中考考法 25 6. 解方程： （1） ; 【解】 ， ， ， . 中考考法 26 （2） . ， ， ， ， . 中考考法 27 7. 若一元二次方程的两根为， ，则点 位于平面直角坐标系中的( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】，，， , ，故 在第二象限. 8. 若,则 的值为___. 7 中考考法 28 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 课堂小结 $