精品解析：湖北武汉市吴家山中学2025-2026学年高一下学期数学期中复习卷4.19

吴家山中学高一下学期数学期中复习卷 （26-4-19） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z的虚部是（ ） A. i B. C. D. 1 2. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 3 D. 4 7. 某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（ ） A. 是的外心 B. 是的重心 C. D. 10. 在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则（ ） A. 的面积为 B. C. D. 11. 已知，下列说法正确的是（   ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________. 13. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 14. 已知，．则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 16. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为． （1）若，求； （2）设，当时，求以及的值． 17. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式以及函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，方程f(x)=m恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 18. 中，，，D为AC上一点，，． （1）请画出大致图形，求BD的长度； （2）四边形ABPD的四顶点共圆，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，函数在区间（且）上恰好有2026个零点，求的最小值； （3）在第（2）问条件下，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度后得到函数的图象.若关于的方程在上有且仅有四个解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴家山中学高一下学期数学期中复习卷 （26-4-19） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z的虚部是（ ） A. i B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以z的虚部是1. 故选：D 2. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么平面四边形的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测作图法，还原出原图形，根据原图形性质，求出原图形面积. 【详解】 设四边形交轴于， 由，则，则， 原图，且，所以平面四边形是平行四边形， 则原图面积， 故选：D． 3. 如图所示，在边长为4的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正八边形的边长为4，求出外接圆的半径和内切圆的半径，再根据平面向量的数量积求出的最小值和最大值，即可得出结果 【详解】正八边形中，， 所以，， 连接，过点作，交、于点、，交于点， 设， 中，由余弦定理得，， △OAF中，， 所以，解得， ，解得， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最小值为， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 此时取得最大值为， 因为点P是其内部任意一点，所以的取值范围是． 故选：A． 4. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 5. 在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 6. 如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】采用解析的方法，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 写出各个点的坐标，利用得到的坐标，进而求出的解析式，由此可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系： 因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以， 设，，则， 所以，故， 又因为，所以， 所以，故，， ，因为，所以 即的最大值与最小值的差为. 故选：D. 7. 某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将正三棱锥的侧面展开，利用几何关系求出山路的最短长度，再结合山路宽度求出山路面积的最小值. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，正弦定理知道，且， 解得．在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：A. 8. 若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的图象性质，初步缩小的范围，再由给定的范围，代入原函数，求出满足题目要求的的范围. 【详解】设函数的最小正周期为，则， 由题意可知，即，解得， 因为，，所以， 又，所以，， 则或， 解得或， 所以的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（ ） A. 是的外心 B. 是的重心 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理及运算法则，结合三角形面积公式逐项判断即可求解. 【详解】∵点为的中点，，，∴，，. 又，∴. 取的中点，的中点，连接，，如图所示. 则由向量的加法法则可知：，，∴，. ∴，，三点共线，，，三点共线，∴点为中线和的交点，即是的重心，故选项A错误，选项B正确； 又，故选项C正确； ∵，∴，故选项D错误. 故选：BC. 10. 在中，三个角所对的边分别为，其外接圆的半径为，若，则（ ） A. 的面积为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式结合条件可判断A；由余弦定理结合，利用基本不等式可得，从而得到的范围即可判断B；利用基本不等式及条件得到，即可判断C；设，则，，代入，解得的范围即可判断D. 【详解】对于A，在中，由正弦定理得，所以， 所以的面积为故A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得，当且仅当时等号成立，又因为，所以，故B正确； 对于C，因为，即，仅当时等号成立，又，所以，故C不正确； 对于D，设，则， 由，得，即， 因为，解得. 即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，下列说法正确的是（   ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【详解】A选项：当时，，因为，所以， 因为函数在上不单调，所以函数在区间上不单调. 故A错误； B选项：若关于直线对称，则或， 由；方程无解. 所以. 故B正确； C选项：时，为的一个对称中心，所以， 所以. 故C正确； D选项：当时，，其中，且. 当与关于某条对称轴对称时， 不妨设，此时，， 故在处取得最大值，在端点处取得最小值， 因此在区间上的最大值与最小值的差取得最小值； 当与都在的某一个单调区间内时， ， 其中，且. 当，时，. 故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，，面积为，为边上一点，是的角平分线，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为：1. 13. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故答案为：. 14. 已知，．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将化成关于的二次函数形式后，由题意可得，，则可得位于第一象限，结合三角恒等变换可得对称轴在区间内，即可得其，解出后与位于第一象限取交集即可得. 【详解】令 ， 则，， 故，则，， 对称轴为 ， 令，则， 故， 又，故使得最小的在区间内， 故对， 有， 即有，则， 即，又， 取交集可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 正方形的边长为，，，点是边所在直线上的一个动点． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立直角坐标系，再利用向量平行的坐标表示可计算实数的值； （2）设，根据向量垂直的坐标表示可求，再利用向量夹角的计算公式可求. 【小问1详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， ，， 所以， 又因为，所以，解得. 【小问2详解】 因为点是边所在直线上的一个动点，所以设，则， 因为，所以，所以， 所以，， 设与的夹角为，则. 16. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为． （1）若，求； （2）设，当时，求以及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设，结合向量性质与余弦定理计算即可得； （2）设，结合正弦定理计算可用表示出，即可计算出，从而可用表示出的值并计算. 【小问1详解】 因为，所以，记，则， 在中，由余弦定理得 ， 所以； 【小问2详解】 法一：设，则， 在中由正弦定理得（其中为外接圆半径）， 所以，得， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 所以，即； 法二：设，则， 在中由正弦定理得（其中为外接圆半径）， 而.（以下同法一） 17. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式以及函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，方程f(x)=m恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用两角和差的余弦公式，二倍角公式，以及辅助角公式化简函数的解析式，根据周期求，利用代入法求函数的单调区间； （2）根据正弦函数的性质和图象求解； （3）首先求的范围，根据正弦函数的性质和图象，求的取值范围，再根据对称性求零点的和. 【小问1详解】 ， 因为，所以，所以， ，，当时，即时函数单调递增， 所以函数在区间上的单调递增区间是； 【小问2详解】 因为，即， 所以，， 解得，， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 当时，，此时， 在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 根据对称性，，所以. 18. 中，，，D为AC上一点，，． （1）请画出大致图形，求BD的长度； （2）四边形ABPD的四顶点共圆，求的取值范围． 【答案】（1）图形见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合余弦定理，建立方程，即可求解； （2）由条件可知，根据四点共圆的几何性质，结合正弦定理，讨论点在圆弧的不同位置，将的取值范围转化为三角函数问题，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 设，，则， 因为， 则，即， 解得：，则 【小问2详解】 由（1）知，在中，，，为外接圆的直径，为外接圆上任意一点，当在点时，， 当在点时，， 当点在优弧上时，，设， ，在中，由正弦定理可知，， 则，， ， 其中，，，， 因为，所以， ，， 当时，为， 当时，的最大值为， 所以此时的取值范围是； 当点在劣弧上时，，设， ，在中，由正弦定理可知，， 则，， ， 当时，即时，的最大值为，但， ，所以，则的范围是， 综上可知，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的综合应用问题，本题第二问利用正弦定理，边角互化，将边转化为三角函数求取值范围，本题的难点是需讨论点的位置，需分情况讨论. 19. 已知函数. （1）若对于任意都有，且，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，函数在区间（且）上恰好有2026个零点，求的最小值； （3）在第（2）问条件下，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度后得到函数的图象.若关于的方程在上有且仅有四个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，解得，代入结合正弦函数的对称性运算求解即可； （2）分析可知，根据函数零点可得，求函数的零点，分析可知要使最小，则m、n恰好为的零点，进而可得结果； （3）换元令，且，结合正弦函数图象可知在区间上有两个相异零点，结合二次函数零点分布运算求解. 【小问1详解】 因为的最小正周期为， 又因为，且， 则，解得， 当时，， 令，解得， 所以的对称中心为； 当时，， 令，解得， 所以的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. 【小问2详解】 将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， 则， 因为是的一个零点， 则，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以，最小正周期. 令，可得， 则或，， 解得或，， 若函数在（且）上恰好有2026个零点， 要使最小，则m、n恰好为的零点， 故. 【小问3详解】 由题意知，且， 令，且，则， 因为，则， 当时，满足方程组的值有且仅有四个， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 令，可得必有两个相异零点，， 由直线与和，的图象分别有两个交点， 作出直线与和，的图象，如图所示， 由图象可得，，即在区间上有两个相异零点， 则满足，解得， 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $