精品解析：山东省临沂市临沭县2025—2026学年度九年级二轮复习学情调研数学试题

2025—2026学年度九年级二轮复习学情调研 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题纸的规定位置．答案填涂在答题纸上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 3. 石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，其理论厚度仅为，是目前已知最薄的材料之一．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 6. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. 5 D. 10 7. 如图，在中，，已知，则的长为（ ） A. B. C. 12 D. 20 8. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为边上任意一点（不与点，重合），将绕点逆时针旋转至，连接，取的中点，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________1（填“>”，“<”或“=”号）． 12. 随着人工智能的迅速发展，某企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税万元．若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平均增长率是________． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________． 14. 具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为4，则该置物架所占用墙面的长度的值为________． 15. 如图所示，已知矩形，，，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，则线段的最大值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、解分式方程 （1）计算：； （2）解分式方程：． 17. 随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充．某校为了解学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 1．了解学生最感兴趣的线上学习方式； 2．优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习． 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ A．同步在线阅读 B．名师在线听课 C．互动在线答疑 D．小组在线讨论 E．拓展类资源学习 调查结果 建议 … 请结合以上信息回答下列问题： （1）本次调查方式属于________调查（填“普查”或“抽样”）； （2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ （4）请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议． 18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，的值及反比例函数的解析式． （2）若将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 19. 一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，其半径为；如图2，当该汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（轮胎截面与斜坡相切于点），连接并延长交水平地面于点，已知． （1）的长度约为________； （2）求车轮轮胎中心到水平地面的距离的长（结果保留小数点后一位．参考数据：，，）． 20. 如图1，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． （2）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 21. 四边形是的内接四边形，且，垂足分别为，． （1）如图1，当过圆心时，猜想与的数量关系并证明． （2）如图2，当不过圆心时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． （1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若，且当时，的最大值是，求的值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，已知点和点，若线段与新图象只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 23. 在四边形中，，，且，．点是线段上一动点（点不与点重合），连接，作关于直线的对称，点的对应点为点． （1）观察思考：如图1，________，连接，，当点为的中点时，的形状是________； （2）探究证明：如图2，设与的延长线相交于点，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级二轮复习学情调研 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题纸的规定位置．答案填涂在答题纸上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案． 【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数为， 故选：B． 2. 把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的展开；由图知，几何体由三个长方形和两个三角形围成，从而知是三棱柱，由此得解． 【详解】解：由图知，这个几何体是一个三棱柱； 故选：D． 3. 石墨烯是一种由单层碳原子构成的二维材料，其理论厚度仅为，是目前已知最薄的材料之一．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，需满足，为整数． 【详解】解：． 4. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∴， 解不等式， 两边同乘得 ， 移项得 ， ∴， 取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为． 5. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 6. 如果，那么的值是（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先化简原式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式， 又∵， ∴原式的值为． 7. 如图，在中，，已知，则的长为（ ） A. B. C. 12 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得且，从而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 8. 如图所示，某动点从点出发，随机向正上或正右走，到达或点后，继续向正上或正右走，最终可到达、、三点．其中到达点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中到达E的结果有2种， ∴到达点E的概率为． 9. 如图，正方形中，为边上任意一点（不与点，重合），将绕点逆时针旋转至，连接，取的中点，若，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，证明，得点共线，再证明，得到，则，证明，得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转至F， ∴， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴点共线， ∵点P是中点， ∴在中，，在中，， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“零和点”的定义，“零和点”满足，即，将代入各函数解析式，判断方程是否有实数解，无实数解的函数图象不存在“零和点”． 【详解】解：∵“零和点”满足横坐标与纵坐标之和为0， ∴， ∴， A、代入得 解得， ∴存在“零和点”，不符合题意； B、代入得 ， 方程无实数解， ∴不存在“零和点”，符合题意； C、代入得 ， ∴， ∴方程有实数解，存在“零和点”，不符合题意； D、代入得 解得， ∴方程有实数解，存在“零和点”，不符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________1（填“>”，“<”或“=”号）． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，即， 不等式两边同时减，得， 12. 随着人工智能的迅速发展，某企业近两年的总收入逐年递增．该企业2023年缴税40万元，2025年缴税万元．若每年保持相同的增长率，则该企业这两年缴税的年平均增长率是________． 【答案】 【解析】 【分析】设年平均增长率为，根据2023年和2025年的缴税额列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到结果． 【详解】解：设该企业这两年缴税的年平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）． ∴该企业这两年缴税的年平均增长率是． 13. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知三边长代入公式，根据运算法则计算即可． 【详解】解：将，，代入得： ． 14. 具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，还能与多种设计风格相融合．如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为4，则该置物架所占用墙面的长度的值为________． 【答案】 38 【解析】 【分析】根据题意可得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接并延长到点H，则， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴该置物架所占用墙面的长度d的值为38． 15. 如图所示，已知矩形，，，点为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，则线段的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 的最大值为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、解分式方程 （1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原方程可整理为， 方程两边同乘得， 展开得， 合并得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 17. 随着“教育数字化战略行动”的推进，线上线下融合学习已成为中小学常态化教学的重要补充．某校为了解学生对多样化线上学习资源的使用需求，随机对本校部分学生进行了“你对哪类线上学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 1．了解学生最感兴趣的线上学习方式； 2．优化学校线上学习资源配置，助力“双减”背景下的个性化学习． 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类线上学习方式最感兴趣？ A．同步在线阅读 B．名师在线听课 C．互动在线答疑 D．小组在线讨论 E．拓展类资源学习 调查结果 建议 … 请结合以上信息回答下列问题： （1）本次调查方式属于________调查（填“普查”或“抽样”）； （2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有1600名学生，请你估计该校喜欢互动在线答疑的有多少名学生？ （4）请你根据调查结果，给学校优化线上学习资源配置提出一条合理的建议． 【答案】（1）抽样 （2）本次被调查的总人数为400人，条形统计图见解析 （3）该校喜欢互动在线答疑的有320名学生 （4）建议见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据调查对象为“部分学生”，判断调查方式为抽样调查； （2）用已知的类人数和占比求出总人数，再依次算出、类人数，补全条形统计图； （3）用样本中选择互动在线答疑的学生人数占比，乘以全校总人数，估计出该校喜欢互动在线答疑的学生人数； （4）根据调查数据中最受欢迎的学习方式，提出合理的课程设置建议． 【小问1详解】 解：根据题意可知，调查方式为抽样调查； 【小问2详解】 解：根据题图可知，对类学习方式感兴趣的人数为60，占比， 故被调查的总人数为（人）， 对类学习方式感兴趣的人数为（人）， 则对类学习方式感兴趣的人数为（人）， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：根据题图可知，选择互动在线答疑的学生人数为80， 故该校喜欢互动在线答疑的学生人数为（名）； 【小问4详解】 解：根据调查数据可知，在所有线上学习方式中，学生对同步在线阅读最感兴趣，故该校应该设置同步在线阅读课程． 18. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，的值及反比例函数的解析式． （2）若将直线向下平移个单位长度使之经过点，求的值． 【答案】（1） ，，反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】（1）将坐标代入一次函数的解析式，求出的值，进而求出反比例函数的解析式和的值即可； （2）根据平移得到新的解析式，将点代入，进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 【小问2详解】 解：由题意，平移后的解析式为， 由（1）可知：，代入，得， ∴. 19. 一辆汽车停放于积水水平路面上，如图1是该汽车轮胎的截面示意图，其半径为；如图2，当该汽车行驶到坡角为的斜坡上的点时（轮胎截面与斜坡相切于点），连接并延长交水平地面于点，已知． （1）的长度约为________； （2）求车轮轮胎中心到水平地面的距离的长（结果保留小数点后一位．参考数据：，，）． 【答案】（1）45 （2）车轮轮胎中心到水平地面的距离的长为 【解析】 【分析】（1）在中，由正切函数定义列式计算即可； （2）先由“8字形”的两个三角形角度关系得到，再由余弦函数定义列式得到，然后求出长，代入计算即可． 【小问1详解】 解：轮胎截面与斜坡相切于点， ， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示： 由题意得，，，， ， 在中，，则， 由题意得，轮胎的半径为； 由（1）得，； ∴， ． 20. 如图1，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． （2）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 【答案】（1）见解析，平行四边形的对角线互相平分 （2）作图见解析，说明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，则点O即为所求； （2）过点A作的垂线，垂足为E，以A为圆心，的长为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，点O即为所求，依据是平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求；由平行四边形的性质得到，由作图可得，则四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是矩形． 21. 四边形是的内接四边形，且，垂足分别为，． （1）如图1，当过圆心时，猜想与的数量关系并证明． （2）如图2，当不过圆心时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），证明见解析 （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）为直径则，结合，推得，故；由垂径定理与中位线定理得，等量代换证得结论； （2）作直径，连接，由垂直与圆周角性质证，得；利用中位线定理得． 【小问1详解】 解：猜想：，证明如下： 由图可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 是的中位线， ， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论还成立，理由如下： 如图，连接并延长，与相交于点，连接， 则，， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 又∵， 是的中位线， ， ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． （1）若抛物线经过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若，且当时，的最大值是，求的值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，已知点和点，若线段与新图象只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） 抛物线的解析式为，顶点坐标为 （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据增减性，列出方程进行求解即可； （3）求出翻折后的解析式，求出新的抛物线过点或点时的的值，确定一个范围；然后求的解析式，与抛物线联立得到一元二次方程，根据两条图象只有一个交点，得到，求出的值即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式化为， 把点，代入，得，解得， ∴， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，的最大值是，， ∴当时，， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）可知：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线沿着直线翻折后的抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∵线段与新图象只有一个公共点， 当过点时，则，解得； 当过点时，则，解得； 故当 时，线段与新图象只有一个公共点； 设的解析式为，把代入，得，解得， ∴的解析式为， 令，整理，得 ， 当， 解得时，线段与新图象只有一个公共点，符合题意； 综上：或. 23. 在四边形中，，，且，．点是线段上一动点（点不与点重合），连接，作关于直线的对称，点的对应点为点． （1）观察思考：如图1，________，连接，，当点为的中点时，的形状是________； （2）探究证明：如图2，设与的延长线相交于点，连接，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：已知，当与四边形的边垂直时，直接写出的长． 【答案】（1）；直角三角形； （2）四边形为菱形，理由见解析 （3）的长为4或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据矩形的判定和性质得到，结合已知可得，即可求解；再根据折叠的性质结合等边对等角，利用三角形内角和定理求出，即可得到的形状； （2）由（1）知，由折叠的性质得，，易证，，得到；证明是等边三角形，得到，进而证明四边形是平行四边形，结合即可得出结论； （3）根据题意先求出，当时，则，，由折叠的性质可得，求出，，，由即可求解；当时，则与重合，由折叠的性质可得，过点作于点，易证是等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：猜想：，的形状是直角三角形； 过点作于点，如下图， 则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 当点为的中点时，则， 由折叠的性质得， ， ，， ，即， ，即， 的形状是直角三角形； 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 由（1）知， 由折叠的性质得，， ， ， 即， ， ， ， ； ，， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：，， ， 当时，如图，设，交于点， 则， ，， 由折叠的性质可得， ，， ； 当时，则与重合，，如图， 由折叠的性质可得， 过点作于点，则， ， 是等腰直角三角形， 设， ，， ，， ， 解得或（舍去）， ； 综上，的长为4或． 【点睛】本题以折叠变换为核心，运用直角三角形边角性质、菱形判定定理，通过分类讨论垂直的不同情况，结合勾股定理与三角函数求解线段长，综合考查几何推理与计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $