精品解析：北京市第五十七中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

北京市第五十七中学2026届高三三模 数学试题 一、选择题，每题4分，共计40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】， 故， 故选：D. 2. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可. 【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得. 故选：C. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例排除A，结合幂函数性质判断B，结合对数函数，正弦函数性质判断CD. 【详解】因为，又，故不能确定， 反例为：，，此时，，A错误， 因为，所以，又函数为增函数， 所以，故，B正确， 当时，，C错误， 当时，，D错误. 故选：B. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点．若的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可得，结合条件可得，进而可得，即得. 【详解】由题可知，， 因为的一条渐近线方程为， 所以，， 所以. 故选：C. 5. 已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】A 【解析】 【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式，得出，确定数列中项的正负，然后设，用作差法得出的单调性，从而可得数列的最值． 【详解】，，则，， ，，，，， ，显然第一项为正，第二项为负，时，奇数项都是负数，偶数项都是正数， 设， 则， 时，，，即数列从往后递减， 且， 所以中，最大， 又 所以是最小项． 故选：A． 6. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置，利用椭圆的定义判断求解即可． 【详解】椭圆的焦点为：， 由与方程可知 直线与直线的交点为，且两条直线经过定点， 它们的交点满足：，在椭圆内部且与椭圆的短轴端点相交 当与重合时，取最小值为： 当与短轴端点重合时，取最大值为： 的取值范围是： 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，关键能够通过直线经过的定点确定交点的位置． 7. 设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由是上的增函数得，即无零点，满足充分性；反之若对任意，，满足无零点，但不满足是上的增函数，不满足必要性，即可判断. 【详解】若是上的增函数，则对任意，显然，故，即无零点，满足充分性； 反之，若对任意，，即，满足无零点，但是上的减函数，不满足必要性， 故“是上的增函数”是“任意，无零点”的充分而不必要条件. 故选：A. 8. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为，所以的定义域为，， 当时，则在上单调递增，所以； 要使定义域和值域的交集为空集，显然， 当时， 若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若时在上单调递减，此时， 则， 所以，解得，即 故选：B 9. 在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为 （参考数据：，） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意，求出所求式子的常用对数，结合题中所给的条件，将其转化为与相关的量，借助于题中所给的范围以及两个对数值，求得结果. 【详解】由题意可知，，且， 所以， 因为，所以， ， 分析比较可知，所以可以为7， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关健康人体血液中的的求值问题，该题属于现学现用型，在解题的过程中，需要认真审题，明确题意，借助于题中所给的两个对数值，寻求解题思路，属于较难题目. 10. 已知分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性求得，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围． 【详解】因为分别为偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， ①②联立可得，， 不等式为，且， 设，，则，故在上是增函数，， 所以，则，又在时是增函数， 所以，故， 要使，在恒成立，则，即实数a的最大值是. 故选：D． 【点睛】方法点睛：本题不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性，解题方法是利用奇偶性求得函数的表达式，然后化简不等式，用分离参数法变形转化为求函数的最值或取值范围，从而得结论． 二、填空题：每题5分，共计25分． 11. 已知复数，则________，其中复数的虚部为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由，则， 所以，的虚部为． 12. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 【答案】 ①. 6 ②. 135 【解析】 【分析】利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 13. 若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在单位圆上，可得角与角的终边关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 所以角与角的终边关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 14. 已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）的取值范围是____________； （2）当取得最大值时，____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立以A为原点的坐标系，可得P的轨迹方程，由P的轨迹方程可知，即，从而得第一问答案；将代入P的轨迹方程得，设，利用三角函数求得当时，取最大值，代入即可得第二空答案. 【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示： 由可得P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设，则有， 所以， 又因为， 所以， 由P的轨迹方程可知， 即，所以， 所以的范围为：； 将代入，得， 所以点在圆上， 设， 则， 所以当时，取最大值，此时， 所以， 所以， 所以. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量的坐标运算，从代数角度出发进行解答，从而降低难度. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则. 其中，所有正确结论的序号为__________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解. 【详解】当时，， 当时，， 若，则当时，，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，， 则函数有最小值为满足题意； 若，则当时，，时，， 要使函数有最小值，则，解得； 综上，的取值范围是，①错误； 当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减， 作图如下， 因为无实根，所以或，②正确； 当时， 因为，所以函数在单调递减， 又因为所以由可得， ，即，解得，所以， 所以不等式的解集为，③正确； 函数在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，则由图象可知，时，， 设， 记直线与函数，，的交点的横坐标为， 因为经过点， 所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确； 故答案为:②③④. 【点睛】关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键. 三、解答题：共计6道题目，总分85分． 16. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长． 条件①：的面积为；条件②：；条件③：． 【答案】（1） （2）不能选①，选②或③，答案均为1 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及得到，结合，得到； （2）选①，由三角形面积和余弦定理得到，由推出矛盾； 选②，根据三角恒等变换得到，是以为斜边的直角三角形，由正弦定理得到，求出中线；选③，由余弦定理得到，设边上的中线长为，再由余弦定理得到边上的中线的长为1． 【小问1详解】 由正弦定理及， 得．① 因为， 所以．② 由①②得． 因为，所以． 所以． 因为， 所以． 【小问2详解】 选①，的面积为， 即，即，解得， 因为，由余弦定理得， 即，解得， 由基本不等式得，但， 故此时三角形不存在，不能选①， 选条件②：． 由（1）知，． 所以 ， 所以． 因为，所以． 所以，即． 所以是以为斜边的直角三角形． 因为， 所以． 所以边上的中线的长为． 选条件③：． 由余弦定理得，即． 设边上的中线长为，由余弦定理得 ， 所以边上的中线的长为1． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，， ，，是的中点，在棱上，且平面. （1）求证：是的中点； （2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质与平行公理，通过已知的中点条件证明另一组边的中点关系； （2）条件①：运用面面垂直的性质定理将空间垂直关系转化为线面垂直，从而建立空间直角坐标系；通过向量坐标运算求平面法向量，再利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值；条件②：基于已证的中点关系和垂直条件，建立坐标系，用向量法求平面法向量及夹角. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为是的中点，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面平面， 又平面ABCD∩平面EFG＝EG，平面ABCD∩平面PCD＝CD， 所以∥， 因为是的中点，所以是的中点. 【小问2详解】 选择条件①： 因为，平面平面，平面平面平面， 所以平面， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则, 取，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 选择条件②： 在矩形中，，所以， 又，所以，即， 因为平面， 所以平面， 后续过程同条件①． 18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表： （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列答案见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的所有可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； （3）求出快充充电桩中公用充电桩的个数，并求出日均使用超过次的快充充电桩中公用充电桩的个数，以及日均使用不超过次的快充充电桩中公用充电桩的个数，结合题意可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 随机抽取个充电桩中，日均使用次数不超过次的有：个， 设事件“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次”， 则. 【小问2详解】 设事件“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，其所需维护费用为元”， 依题意可得，，， 随机变量的所有可能取值有、、， ，，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 【小问3详解】 快充充电桩共个，公用和专用充电桩数量之比为，故公用充电桩的个数为， 日均使用超过次的快充充电桩的个数为个，其中公用占比为， 故公用充电桩的个数为， 日均使用不超过次的快充充电桩的个数为个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为， 由题意可得，解得，故. 19. 已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． （1）求椭圆的方程和焦距； （2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【答案】（1）椭圆C的方程为，焦距2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆的方程并计算焦距作答. （2）设出坐标，求线段中垂线方程得点，求圆在点处的切线方程得点，再借助均值不等式求解作答. 【小问1详解】 由题意知，，∴， ∴椭圆的方程为，焦距为． 【小问2详解】 由直线与轴平行，可设， 则，， 根据椭圆与圆的对称性，不妨取， ∵，， ∴直线的斜率为，线段的中点为， ∴线段的垂直平分线为， 令，则， 而，则， 圆在点处的切线方程为， 令，则， ∴线段长度为， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为． 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）若，且，证明：. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，列表即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【小问1详解】 由，所以 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即 【小问2详解】 由，定义域为， 令得或 因为，所以. 所以， 列表： 0 0 递减 递增 递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问3详解】 因为， 又，， 所以是方程的两个根. 依题意，有， 所以，即， 所以 ， 令，则， 令，则 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【点睛】关键点点睛：根据题意计算出是解题的第一个关键，再由二次求导判断出函数单调性，利用单调性求最值是解决问题的第二个关键所在. 21. 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. （1）若，求的值； （2）若，且，求； （3）证明：存在，满足 使得． 【答案】（1），，， （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）先求，根据题意分析求解； （2）根据题意题意分析可得，利用反证可得，在结合等差数列运算求解； （3）讨论的大小，根据题意结合反证法分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，则，故； 当时，则，故； 当时，则故； 当时，则，故； 综上所述：，，，. 【小问2详解】 由题意可知：，且， 因为，且，则对任意恒成立， 所以， 又因为，则，即， 可得， 反证：假设满足的最小正整数为， 当时，则；当时，则， 则， 又因为，则， 假设不成立，故， 即数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以. 【小问3详解】 因为均为正整数，则均为递增数列， （ⅰ）若，则可取，满足 使得； （ⅱ）若，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得； （ⅲ）若， 定义，则， 构建，由题意可得：，且为整数， 反证，假设存在正整数，使得， 则，可得， 这与相矛盾，故对任意，均有. ①若存在正整数，使得，即， 可取， 即满足，使得； ②若不存在正整数，使得， 因为，且， 所以必存在，使得， 即，可得， 可取， 满足，使得. 综上所述：存在使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十七中学2026届高三三模 数学试题 一、选择题，每题4分，共计40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为C右支上一点．若的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列（ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 6. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 设函数的定义域为，则“是上的增函数”是“任意，无零点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为 （参考数据：，） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 10. 已知分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每题5分，共计25分． 11. 已知复数，则________，其中复数的虚部为________． 12. 在的展开式中，若二项式系数的和等于，则________，此时的系数是_______.（用数字作答） 13. 若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 14. 已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）的取值范围是____________； （2）当取得最大值时，____________ 15. 已知函数给出下列四个结论： ①若有最小值，则的取值范围是； ②当时，若无实根，则的取值范围是； ③当时，不等式的解集为； ④当时，若存在，满足，则. 其中，所有正确结论的序号为__________. 三、解答题：共计6道题目，总分85分． 16. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长． 条件①：的面积为；条件②：；条件③：． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，， ，，是的中点，在棱上，且平面. （1）求证：是的中点； （2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取个，记录并整理数据如下表： （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，估计该充电桩日均使用不超过次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为元、元、元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取个，设为抽取的个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为.在日均使用不超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为.试比较与的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． （1）求椭圆的方程和焦距； （2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，求的单调区间； （3）若，且，证明：. 21. 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数. （1）若，求的值； （2）若，且，求； （3）证明：存在，满足 使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $