北京市第二中学2025-2026学年高三下学期考前校模数学试题

北京二中2025—2026学年度高三年级校模 数学试卷 第一部分（选择题 共40分） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分．选出符合题目要求的一项） 1．已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（ ）． A．1 B． C． D． 3．已知非零向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）． A．6 B． C． D．3 4．2023年，深度求索（）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至，并计划继续保持这一增长率．问：k的算力预计在哪一年首次突破？（ ）．（参考数据：，，） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 5．设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（ ）． A． B． C． D．1 6．设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知数列是等比数列，则“存在正整数，对于，恒成立”是“为递减数列”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（ ）． A． B． C． D． 9．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（ ）． A．80 B．96 C．100 D．112 10．曲线：，其中，均为正数，则下列命题错误的是（ ）． A．当，时，曲线关于中心对称 B．当，时，曲线是轴对称图形 C．当，时，曲线上的点与距离的最小值等于1 D．当，时，曲线所围成的面积小于 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________； 12．已知多项式，其中，，…，为实数，则________，________． 13．已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则________． 14．给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________；若为“函数”，则实数的取值范围为________． 15．在边长为的正方形中，点为中点，点为中点，现将沿直线翻折至位置，若为线段的中点，在翻折的过程中，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积最大值为； ②异面直线、所成角始终为； ③翻折过程中存在某个位置，使得大小为； ④点在某个圆上运动． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别为，，，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为9． 注：若选择条件不合要求，本小题得0分；若选择多个条件，按所选第一个条件计入． 17．（本小题满分13分）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（）和插电混动版（），在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（万/年） 中收入群体（20万/年万/年） 高收入群体（万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 70 30 70 50 40 40 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （Ⅰ）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（）的概率； （Ⅱ）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（）的人数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（）的概率估计值记为，试比较与的大小． 18．（本小题满分14分）如图，四棱锥，平面，，，．若点满足，平面交线段于点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 19．（本小题满分15分）已知椭圆：过点，过其右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，线段的中点为，在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分15分）已知函数，，． （Ⅰ）证明：在区间恒成立； （Ⅱ）若的最小值为0，求的值； （Ⅲ）若在区间内恒成立，求的取值范围． 21．（本小题满分15分）设和均为各项互不相等的项数列，其中，，，…，．记数列：，，…，，其中，，，…，． （Ⅰ）写出所有满足条件的数列和，使得数列:，，，； （Ⅱ）若，是公差不为的等差数列，求证：为定值； （Ⅲ）若为各项互不相等的数列，记中最大的数为，最小的数为，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $